2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則這四個(gè)頂點(diǎn)組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對(duì)稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點(diǎn)π12，0對(duì)稱 D．3．等于（）A．B．C．1D．4．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．3 B．4 C．5 D．65．一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm6．“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．函數(shù)f(x)＝x2－ln2x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A． B． C．， D．，8．已知函數(shù)的圖像為曲線C，若曲線C存在與直線垂直的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．9．的值是（）A．B．C．D．10．若直線把圓分成面積相等的兩部分，則當(dāng)取得最大值時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（）A．4B．C．2D．11．已知高一（1）班有48名學(xué)生，班主任將學(xué)生隨機(jī)編號(hào)為01，02，……，48，用系統(tǒng)抽樣方法，從中抽8人，若05號(hào)被抽到了，則下列編號(hào)的學(xué)生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3312．已知是四面體內(nèi)任一點(diǎn)，若四面體的每條棱長均為，則到這個(gè)四面體各面的距離之和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)滿足（其中為的導(dǎo)函數(shù)）且，則不等式的解集是__________．14．設(shè)直線l：x+y﹣2＝0的傾斜角為α，則α的大小為_____．15．已知函數(shù)為的極值點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為________.16．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，．（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都不是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．18．（12分）如圖，二面角的大小為，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）已知正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，高為，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明（1）中的猜想.21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．22．（10分）如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C作與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點(diǎn)D．（Ⅰ）證明：CD⊥AB；（Ⅱ）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

本題是一個(gè)等可能事件的概率，從正方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法是，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有4×6個(gè)，根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可求得．【詳解】由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，從長方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)的選法是，以A為頂點(diǎn)的四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有：共個(gè)．同理以為頂點(diǎn)的也各有個(gè)，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐有個(gè)，所求的概率是故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型問題，解題關(guān)鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個(gè)頂點(diǎn)問題，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.2、B【解析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=π故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題3、A【解析】試題分析：因?yàn)?，故選A．考點(diǎn)：定積分的運(yùn)算．4、C【解析】分析：根據(jù)方差的定義計(jì)算即可.詳解：隨機(jī)變量的分布列為，則則、故選D點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．5、D【解析】

利用等體積法求水面下降高度。【詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【點(diǎn)睛】利用等體積法求水面下降高度。6、B【解析】

解得方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯(cuò)點(diǎn)是不注意7、A【解析】

先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，令f′(x)≤0即可解出答案（注意定義域）【詳解】由題意知，函數(shù)f(x)定義域?yàn)閤>0，因?yàn)閒′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0得解得0<x≤.【點(diǎn)睛】本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的問題．屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線垂直的等價(jià)條件，轉(zhuǎn)化為有解，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若曲線C存在與直線垂直的切線，則切線的斜率為，滿足，即有解，因?yàn)橛薪?，又因?yàn)?，即，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及方程的有解問題，其中解答中把曲線存在與直線垂直的切線，轉(zhuǎn)化為有解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.9、B【解析】試題分析：設(shè)，結(jié)合定積分的幾何意義可知定積分值為圓在第一象限的面積的值是考點(diǎn)：定積分的幾何意義10、D【解析】依題意可知直線過圓心，代入直線方程得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)當(dāng)好成立，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.11、C【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可.【詳解】樣本間隔為48÷18=6，則抽到的號(hào)碼為5+6（k﹣1）=6k﹣1，當(dāng)k=2時(shí)，號(hào)碼為11，當(dāng)k=3時(shí)，號(hào)碼為17，當(dāng)k=4時(shí)，號(hào)碼為23，當(dāng)k=5時(shí)，號(hào)碼為29，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于簡(jiǎn)單題．12、A【解析】

先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個(gè)面的距離.【詳解】解：因?yàn)檎拿骟w的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和，

設(shè)它到四個(gè)面的距離分別為，

由于棱長為1的正四面體，四個(gè)面的面積都是；

又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心，此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的，

又高為，

所以底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是；

由此知頂點(diǎn)到底面的距離是；

此正四面體的體積是.

所以：，

解得.

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的體積計(jì)算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力與計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)題意，令g（x）=，對(duì)其求導(dǎo)可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；結(jié)合f（1）=e可得g（1）=，則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），借助函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，令g（x）=，則其導(dǎo)數(shù)g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），則有g(shù)′（x）＜0，即函數(shù)g（x）為減函數(shù)；且g（1）=；則不等式f（x）＞ex?＞1?g（x）＞1?g（x）＞g（1），又由函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則有x＜1；則不等式f（x）＞ex的解集為（-∞,1）；故答案為：．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=求其單調(diào)性,再利用單調(diào)性解不等式g（x）＞g（1）.14、【解析】

根據(jù)直線方程可得斜率，由斜率可得傾斜角.【詳解】由直線方程可得斜率為，所以，又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了由直線方程求傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

首先利用為的極值點(diǎn)求出參數(shù)，然后利用符號(hào)法則解分式不等式即可?！驹斀狻?，由題意，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為的極值點(diǎn).所以.或，的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及分式不等式的解法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。16、【解析】分析：先求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出的范圍，寫成區(qū)間形式，可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用反證法驗(yàn)證即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得和，根據(jù)可得在上單調(diào)遞增；根據(jù)可求得的解集，從而得到所求單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)椋瑒t這與矛盾對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)不可能是奇函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，，則；在上單調(diào)遞增又，則當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：【點(diǎn)睛】本題考查利用反證法證明、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，涉及到函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，屬于常規(guī)題型.18、(1)見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）由平面可證，由二面角為直二面角及是正方形可證，再由線面垂直判定定理得平面，即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，，由四邊形為正方形可證，，即可得為二面角的平面角，根據(jù)題設(shè)條件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等體積法，由即可得點(diǎn)到平面的距離.試題解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角為直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中點(diǎn)，連接，.∵四邊形為正方形，∴，∴，即為二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值為.（3）取的中點(diǎn)，連接，∵，二面角為直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.點(diǎn)睛：立體幾何的證明需要對(duì)證明的邏輯關(guān)系清楚，證明線線垂直，先由線面垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；用普通法求二面角，講究“一作、二證、三求”，通過輔助線先把二面角的平面角及計(jì)算所需線段作出來，再證明所作角是二面角的平面角；點(diǎn)到面的距離還原到體積問題，則利用等體積法解題.19、（1）見證明；（2）【解析】

（1）要證明平面，利用中位線可先證明即可；（2）找出直線與平面所成角為，利用正弦定理即可得到所成角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在四棱錐中，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以為的中位線，得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）設(shè)，由題意得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，故平面．所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，為直線與平面所成的角，又因?yàn)?，所以．由條件可得，，，，所以．在中，，，所以所以，故直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定，線面所成角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度中等.20、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）證明見解析【解析】

（1）分別令n＝1、2，通過解一元二次方程結(jié)合已知的遞推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根據(jù)它們的值的特征猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法，通過解一元二次方程可以證明即可.【詳解】（1）當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，即∴當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1，將a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.∴a2＝－（a2>0）.同理可得a3＝－.猜想an＝－（n∈N*）.（2）【證明】①由（1）知，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3，k∈N*）時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，將ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，∴ak+1＝－，即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立.根據(jù)①②可知，對(duì)所有n∈N*，an＝－成立.【點(diǎn)睛】本題考查了通過數(shù)列前幾項(xiàng)的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】

試題分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的普通方程．（2）由點(diǎn)到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．試題解析：⑴由得，∴由得⑵在上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為≤．∴當(dāng)－1，即時(shí)，.考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，2.點(diǎn)到直線距離公式.22、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接AC3交A3C于點(diǎn)E，連接DE．推導(dǎo)出BC3∥DE，由四邊形ACC3A3為平行四邊形，得ED為△AC3B的中位線，從而D為AB的中點(diǎn)，由此能證明CD⊥AB．（Ⅱ）過A作AO⊥平面A3B3C3垂足為O，連接A3O，以O(shè)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值．【詳解】（Ⅰ）連接AC3交A3C于點(diǎn)E，連接DE．因?yàn)锽C3∥平面A3CD，BC3?平面ABC3，平面ABC3∩平面A3CD＝DE，所以BC3∥DE．