數(shù)學(xué)思想方法的歸納及應(yīng)用1.函數(shù)方法函數(shù)方法就是應(yīng)用運動、變化的觀點來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象升華為函數(shù)的模型，進而解決有關(guān)問題的方法，函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題.例1利用圖象解二元一次方程組（分析）方程組中的兩個方程均為關(guān)于x,y的二元一次方程，可以轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的函數(shù).由①得y=2x-2，由②得y=-x-5，實質(zhì)上是兩個y關(guān)于x的一次函數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可確定它們的交點坐標(biāo)，即可求出方程組的解.解：由①得y=2x-2，由②得y=-x-5.在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=2x-2，y=-x-5的圖象如圖11-54所示.觀察圖象可知，直線y=2x-2與直線y=-x-5的交點坐標(biāo)是(-1，-4).∴原方程組的解是小結(jié)解方程組通常用消元法.但如果把方程組中的兩個方程看作是兩個一次函數(shù)，畫出這兩個函數(shù)的圖象，那么它們的交點坐標(biāo)就是方程組的解.例2我國是一個嚴(yán)重缺水的國家，大家應(yīng)該倍加珍惜水資源，節(jié)約用水，據(jù)測試，擰不緊的水龍頭每秒會滴下2滴水，每滴水約.小明同學(xué)在洗手時，沒有把水龍頭擰緊，當(dāng)小明離開x小時后，水龍頭滴了ymL水.（1）試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)?shù)瘟?620mL水時，小明離開水龍頭幾小時？（分析）已知擰不緊的水龍頭每秒滴2滴水，又∵1小時=3600秒，∴1小時滴水3600×2滴，又∵每滴水約，∴每小時約滴水3600×2×＝360mL.解：（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為x=360x(x≥0).（2）當(dāng)y=1620時，有360x=1620，∴x=.∴當(dāng)?shù)瘟?620mL水時，小明離開水龍頭小時.2.數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想方法.數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用.例3如圖11－55所示，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，如果A點的坐標(biāo)為A（2，0），且OA=OB，試求一次函數(shù)的解析式.（分析）通過觀察圖象可以看出，要確定一次函數(shù)的關(guān)系式，只要確定B點的坐標(biāo)即可，因為OB=OA=2，所以點B的坐標(biāo)為（0，-2），再結(jié)合A點坐標(biāo)，即可求出一次函數(shù)的關(guān)系式.解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k≠0).∵OA=OB，點A的坐標(biāo)為(2，0),∴點B的坐標(biāo)為(0，-2).∵點A，B的坐標(biāo)滿足一次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，∴∴∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y=x-2.【說明】利用函數(shù)圖象研究數(shù)量之間的關(guān)系是數(shù)形結(jié)合思想的具體運用，在解決有關(guān)函數(shù)問題時有著重要的作用.3.分類討論法分類討論法是在對數(shù)學(xué)對象進行分類的過程中尋求答案的一種思想方法.分類討論法既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的教學(xué)方法.分類的關(guān)鍵是根據(jù)分類的目的，找出分類的對象，分類既不能重復(fù)，也不能遺漏，最后要全面總結(jié).例4在一次遙控車比賽中，電腦記錄了速度的變化過程，如圖11－56所示，能否用函數(shù)關(guān)系式表示這段記錄？（分析）根據(jù)所給圖象及函數(shù)圖象的增減性，本題要分三種情況進行討論.電腦記錄提供了賽車時間t(s)與賽車速度υ(m/s)之間的關(guān)系，在10s內(nèi)，賽車的速度從0加速到7.5m/s，又減至0，因此要注意時間對速度的影響.解：觀察圖象可知，當(dāng)t在0～1s內(nèi)時，速度υ與時間t是正比例函數(shù)關(guān)系，υ=（0≤t≤1）；當(dāng)t在1～8s內(nèi)時，速度υ保持不變，υ=（1＜t≤8）；當(dāng)t在8～10s內(nèi)時，速度υ與時間t是一次函數(shù)關(guān)系，υ=+（8＜t≤10＝.例5某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果月初出售可獲利15%，并可用本利和再投資其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付倉儲費用700元，問他如何銷售獲利較多？（分析）兩種方式獲利多少與投入資金有關(guān)，需要分類討論，題中的三個百分比是對投資來講的，設(shè)該商場投入資金x元，則按不同方式銷售的獲利情況：月初出售共獲利15%x+(x+15%)·1O%；月末出售共獲利3O%x-700.然后比較兩種銷售方式獲利的多少.解：設(shè)商場計劃投資x元，在月初出售共獲利y1元，在月末出售共獲利y2元，根據(jù)題意，得y1=15%x+（x+15%x）·10%=，y2=30%x-700=.∴y1-y2==.①當(dāng)y1-y2=0時，有=0，∴x=20000.∵當(dāng)x=20000時，兩種銷售方式獲利一樣多.②當(dāng)y1-y2＞0時，有＞0，∴x＜20000.∴當(dāng)x＜20000時，y1＞y2.即月初出售獲利較多.③當(dāng)y1-y2＜0時，有＜0，∴x＞20000.∴當(dāng)x＞20000時，y1＜y2.即月末出售獲利較多.【說明】進行有關(guān)問題的分類討論，要全面考察，可根據(jù)圖形或題意找出所有可能的情況，然后進行總結(jié).4.方程方法方程方法是指對所求數(shù)學(xué)問題通過列方程（組）使問題得解的方法.在函數(shù)及其圖象中，方程方法的應(yīng)用主要體現(xiàn)在運用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中.例6已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點A（-3，-2）及點B(1，6),求此函數(shù)關(guān)系式，并作出函數(shù)圖象.(分析)可將由已知條件給出的坐標(biāo)分別代入y=kx+b中，通過解方程組求出k，b的值，從而確定函數(shù)關(guān)系式.解：由題意可知，∴函數(shù)關(guān)系式為y=2x+4.圖象如圖11－57所示.【說明】一次函數(shù)y=kx+b中含有兩個待定系數(shù)k,b，根據(jù)待定系數(shù)法，只要列出方程組即可.例7科學(xué)家通過研究得出：一定質(zhì)量的某種氣體在體積不變的情況下，壓強p(kPa)隨溫度t(℃)變化的函數(shù)關(guān)系式是p=kt+b，其圖象如圖11－58所示的直線.（1）根據(jù)圖象求出上述氣體的壓強P與溫度t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)壓強p為200kPa時，求上述氣體的溫度.(分析)要求出p與t之間的函數(shù)關(guān)系式，需知圖象上的兩個點的坐標(biāo)，由圖象可知，點（25，110）,(5