滬科版八年級數(shù)學下冊教學設計

正方形的判定

教學目標:：

1、知道正方形的判定方法，會運用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條

件進行有關的論證和計算。

2、經歷探究正方形判定條件的過程，發(fā)展學生初步的綜合推理能力，主動探究

的學習習慣，逐步掌握說理的基本方法。

3、理解特殊的平行四邊形之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證看問題

的觀點。

教學重點：掌握正方形的判定條件。

教學難點：合理恰當?shù)乩锰厥馄叫兴倪呅蔚呐卸ㄟM行有關的論

證和計算。

教學過程：

一、創(chuàng)設問題情景，引入新課

我們學習了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間

有怎樣的包含關系？請?zhí)钊胂聢D中。

通過填寫讓學生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，還是

特殊的平行四邊形；而正方形、矩形、菱形都是平行四邊形；矩形、菱形都是特

殊的平行四邊形。

1、怎樣判斷一個四邊形是矩形？

2、怎樣判斷一個四邊形是菱形？

3、怎樣判斷一個四邊形是平行四邊形？

4、怎樣判斷一個平行四邊形是矩形、菱形？

議一議：你有什么方法判定一個四邊形是正方

形？

二、講授新課

1、探索正方形的判定條件：

學生活動：四人一組進行討論研究，老師巡回其間，進行引導、質疑、解

惑，通過分析與討論，師生共同總結出判定一個四邊形是正方形的基本方法。

（1）直接用正方形的定義判，即先判定一個四邊形是平行四邊形，若這

個平行四邊形有一個角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么臨就可以判定這個平

行四邊形是正方形；

（2）先判定一個四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形，那么這個四邊

形是正方形；

（3）先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形，那么這個四邊形是

正方形。

后兩種判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是

判定正方形的基礎。這三個方法還可寫成：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等

的四邊形是正方形；有一組鄰邊想的相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱

形是正方形。

上述三種判定條件是判定四邊形是正方形的一般方法，可當作判定定理

用，但由于判定平行四邊形、矩形、菱形的方法各異，所給出的條件各不相同，

所以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件也相應可作變化，在應用時要仔

細辨別后才可以作出判斷。

【例1】判斷下列命題是真命題還是假命題？并說明理由。

（1）四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

（2）四個角相等且對角線互相垂直的四邊形是正方形；

（3）對角線互相垂直平分的四邊形是正方形；

（4）對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；

（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。

師生共析：

（1）是真命題。因為四條邊相等的四邊形是菱形，又四個角相等，根據(jù)

四邊形內角和定理知每個角為90°，所以由有一個角是直角的菱形

是正方形可以判定此命題是真命題。

（2）真命題。四個角相等可知每個角都是直角，是矩形，由對角線互相

垂直可判定這個矩形是菱形，所以根據(jù)是矩形又是菱形的四邊形是

正方形，可判定其為真。

（3）假命題。對角線平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的四邊形

是菱形，所以它不一定是正方形。如下圖，滿足AO=CO，BO=DO且

AC⊥BD但四邊形ABCD不是正方形。

（4）假命題。它可能是任意四邊形。如上圖，AC⊥BD且AC=BD，但四邊

形ABCD不是正方形。

（5）真命題。

方法一，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的

平行四邊形是矩形，對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以是矩形又是菱

形的四邊形是正方形?？膳卸ㄆ錇檎妗?/p>

方法二，對角線平分平行四邊形

菱形

對角線垂直

正方形

平行四邊形

矩形

對角線相等

方法三，由對角線互相垂直平分可知是菱形，由對角線平分且相

等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四邊形就是正方形。

總結：通過辨析，掌握判定正方形的各種方法和思路，從題中所給各種不

同條件出發(fā)尋找命題成立的判定依據(jù)，以便靈活應用。

【例2】如下圖E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠

EAF=45°，試說明EF=BE+DF。

師生共析：要證EF=BE+DF，如果能將DF移到EB延長線或將BE

移到FD延長線上，然后證明兩線段長度相等。此時可依靠全等

三角形來解決。

像這種在EB上補上DF或在FD補上BE的方法叫做補短法。

解：將△ADF旋轉到△ABC，則△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG

∵∠EAF=45°且四邊形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴∠GAB﹢∠BAE=45°

即∠GAE=45°

∴△AEF≌△AEG（SAS）

∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF

【例3】畫一個正方形，使它的對角線長為30，并說明畫法的依據(jù)。

3

畫法：1、畫線段=30cm，取AC的中點O。

2、過點O畫AC的垂線，并分別在AC的兩側取OB=OD=15cm。

3、連結AB﹑BC﹑CD﹑DA.

則四邊形ABCD就是所要畫的正方形.

證明：∵AO=CO,BO=DO

四邊形ABCD是平行四邊形。

又∵AC=BD,∴平行四邊形ABCD是矩形。

∵AC⊥BD

∴平行四邊形ABCD是菱形。

∴四邊形ABCD是正方形（四邊形既是矩形又是菱形，則四邊形是正方形）。

說明:由學生分析畫法,在證明過程中讓學生逐一說出判斷理由,以加深對

正方形的判定方法的認識.

三、隨堂練習課本練習。

通過練習進一步鞏固正方形的判定方法的應用。

四、課時小結

師生共同總結，歸納得出正方形的判定方法，同時展示下圖，通過直觀感

受進一步加深理解正方形判定方法的應用。

五、課后作業(yè)

習題

補例、如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、F兩點，使∠EAF=45°，

AG⊥EF于G.求證：AG=AB

解析：欲證AG=AB，就圖形直觀來看，應證Rt△ABE與Rt

△AGE全等，但條件不夠.