《菱形》典例精析【例1】（中）如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．【分析】從圖中找不到∠AFD與∠CBE所在的三角形全等，欲證∠AFD與∠CBE相等，可以找一個(gè)中間角與∠AFD與∠CBE分別相等．【解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠CDE，∴∠AFD=∠CBE．【小結(jié)】此題考查對(duì)菱形有關(guān)性質(zhì)的掌握．需要我們熟悉菱形的性質(zhì)，能找到等量關(guān)系和位置關(guān)系，并靈活應(yīng)用．【例2】（中）已知菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩條對(duì)角線之比為3∶4，則菱形的面積是_________．【解析】如圖所示，由菱形的性質(zhì)可得△OAB是直角三角形，它的兩條直角邊OA，OB之比等于菱形的兩條對(duì)角線之比，用勾股定理列方程求解，可求出OA，OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AC，BD的長(zhǎng)，再套公式求出面積．【答案】96cm2．【小結(jié)】根據(jù)性質(zhì)，菱形的兩條對(duì)角線和一邊組成的三角形（如圖中△OAB）是直角三角形，掌握這一點(diǎn)，對(duì)于解決菱形的問題大有益處．菱形的邊長(zhǎng)、對(duì)角線、周長(zhǎng)、面積等都可以轉(zhuǎn)化到該直角三角形中求解．【例3】（易）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，則對(duì)角線AC等于（）A．20B．15C．10D．5【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及已知可得△ABC為等邊三角形，從而得到AC=AB．【答案】D．【小結(jié)】當(dāng)菱形有一內(nèi)角等于60°時(shí)，60°角的兩邊與所對(duì)的對(duì)角線構(gòu)成等邊三角形，菱形被這條較短的對(duì)角線分成了兩個(gè)等邊三角形．掌握這一點(diǎn)，對(duì)于解決菱形的問題大有益處．【例4】（易）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD和∠BCD的角平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個(gè)條件可以是___________________．（只需寫出一個(gè)即可，圖中不必再添加別的“點(diǎn)”和“線”）【解析】本題主要考查菱形的判定方法，利用平行四邊形的性質(zhì)與角平分線的定義，可先判定四邊形AECF是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形到菱形的判定思路，即可寫出添加的條件．【答案】AE＝AF（或AC⊥EF等）．【小結(jié)】這類問題要先從已知條件中得到該四邊形的數(shù)量或位置關(guān)系，看能否判定為平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定方法添加必要的條件．【例5】（難）已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求證：四邊形CEHF為菱形．【分析】要證四邊形CEHF為菱形，應(yīng)先證四邊形CEHF為平行四邊形，再由BE平分∠ABC可得CE=EH，根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”來判定．【解】證明：∵CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，∴∠EHD=∠CDB=90°，CF∥EH，∵BE平分∠ABC，且∠ACB=90°即EC⊥CB∴CE=EH，又在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°．∵∠CBE=∠DBF，∴∠CEB=∠DFB．又∵∠CFE=∠DFB，∴∠CFE=∠CEF．∴CE=CF．∴CF=EH，則由CF=EH，CF∥EH，可判定四邊形CEHF為平行四邊形再由CE=CF可判定□CEHF是菱形．【小結(jié)】此題考察菱形的判定．圖形較為復(fù)雜，應(yīng)具有一定的識(shí)圖能力，同時(shí)還要與以前學(xué)過的知識(shí)相結(jié)合，進(jìn)行靈活應(yīng)用．【例6】（難）如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)題意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，由此判定四邊形ABFE為平行四邊形，進(jìn)而得出S□ABFE=2S△EAF，則△ABC掃過圖形的面積為S△ABC+S□ABFE；（2）由AB=AC=AE=EF，可判定□ABFE為菱形，故AF與BE互相垂直且平分；（3）由∠AEB=∠ABE=15°，可得∠BAD=30°，再作出△ABC中AC邊上的高，通過面積的計(jì)算可得AC的長(zhǎng)度．【解】連接BF，（1）由題意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，∴四邊形ABFE為平行四邊形．∴S□ABFE=2S△EAF∴△ABC掃過圖形的面積為S△ABC+S□ABFE=3+6=9；（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，又AB=AC=AE=EF，∴□ABFE為菱形，∴AF與BE互相垂直且平分．（3）過點(diǎn)B作BD⊥CA于點(diǎn)D，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE=15°．∴∠BAD=∠AEB+∠ABE