《矩形的性質(zhì)》同步練習(xí)一、選擇題1．如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．則EF的最小值為（）A．4 B． C． D．62．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．平行四邊形的對(duì)邊相等B．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．矩形的對(duì)角線相等3．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是（）A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少4．已知下列命題中：（1）矩形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；（2）兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（3）有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形；（4）兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形．其中正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（）A．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形6．下列關(guān)于矩形的說法，正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 D．矩形的對(duì)角線相等且互相平分7．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A．2 B． C． D．8．在四邊形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四邊形ABCD的周長（）A．10+2 B．8+2 C．8+3 D．10+29．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的最小值為（）A．2 B． C． D．二．填空題（共5小題）10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P為AB邊上（不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，則線段EF的最小值是_________．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE的最小值為_________．12．（如圖，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，則四邊形ACBE的周長是_________．13．如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是_________．14．如圖．△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長線于點(diǎn)E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是_________．三、解答題15．如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC與∠BAC的外角的平分線，BE⊥AE．求證：AB=DE．16．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片．把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，折痕為AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形；（2）求BF的長；（3）求折痕AF長．17．如圖：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1．求證：四邊形EFPH為矩形．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．（1）求證：四邊形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面積．19．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求證：四邊形EFGH是矩形．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，點(diǎn)P在AD邊以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度在CB間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形ABQP為矩形？

參考答案一、選擇題1．答案：B解答： 解：如圖，連接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四邊形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴當(dāng)PA最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)AP⊥CB時(shí)，PA最小，∵AB?AC=BC?AP，即AP===，∴線段EF長的最小值為；故選：B．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理的逆定理．2．答案：C解答： 解：平行四邊形的性質(zhì)有平行四邊形的對(duì)邊相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平行四邊形的判定定理有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；D、矩形的性質(zhì)有矩形的對(duì)角線相等，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．3．答案：C解答： 解：如圖，連接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂線段最短可得AP⊥BC時(shí)，AP最短，則線段EF的值最小，∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是先減小后增大．故選C．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短．4．答案：C解答： 解：已知如圖：（1）矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線是它的對(duì)稱軸，并且有兩條，故該選項(xiàng)正確；（2）只有兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）所有的平行四邊形對(duì)角都相等，但不一定是矩形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；（4）兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加對(duì)角線相等則為矩形，故該選項(xiàng)正確；所以其中正確的有（1）和（4）．故選C．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)．5．答案：B解答： 解：A、矩形的對(duì)角線互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，本選項(xiàng)正確；C、對(duì)角線相等的四邊形不一定為矩形，例如等腰梯形對(duì)角線相等，但不是矩形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，不一定為矩形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)．6．答案：D解答： 解：A、因?yàn)閷?duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)閷?duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等且互相平分，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等且互相平分，所以本選項(xiàng)正確．故選D．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)．7．答案：C解答： 解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP．因?yàn)锳P的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即，∴EF的最小值為，故選C．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理的逆定理．8．答案：A解答： 解：延長BC、AD交于O，∵∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B=∠CDO=90°，∠O=30°，∵AB=4cm，CD=2cm，∴OA=2AB=8cm，CO=2CD=4cm，由勾股定理得：OB==4（cm），OD==2（cm），∴BC=（4﹣4）cm，AD=（8﹣2）cm，∴AB+AD+DC+BC=4cm+（8﹣2）cm+2cm+（4﹣4）cm=（10+2）cm，故選A．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．9．答案：C解答： 解：連接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，過A作AP⊥BC于P，此時(shí)AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面積公式得：×4=×5×AP，∴AP=，即EF=，故選C．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．二、填空題10．答案：解答： 解：如圖，連接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四邊形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂線段最短可得CP⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，此時(shí)，S△ABC=BC?AC=AB?CP，即×4×3=×5?CP，解得CP=．故答案為：．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．11.答案：解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，連接CP，∵PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)E，∴四邊形DPEC是矩形，∴DE=CP，當(dāng)DE最小時(shí)，則CP最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CP⊥AB時(shí)，則CP最小，∴DE=CP==，故答案為：．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．12．答案：18解答： 解：∵AE∥BD，∴∠CDB=∠DAE，∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴∠C=∠ADE=90°，∴DE∥BC，∵D為AC中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADE和△DCB中∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE=BC=4，在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，由勾股定理得：DC=3，∴AD=DC=3，∵ED=BC，DE∥BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∴CD=BE=3，∴四邊形ACBE的周長是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18，故答案為：18．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．13．答案：解答： 解：連接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AC?BC=AB?PC，∴PC=．∴線段EF長的最小值為；故答案是：．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．14．答案：2解答： 解：∵AF=BF，即F為AB的中點(diǎn)，又DE垂直平分AC，即D為AC的中點(diǎn)，∴DF為三角形ABC的中位線，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四邊形BCDE為矩形，∵BC=2，∴DF=BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=，∴CD=AD=，則矩形BCDE的面積S=CD?BC=2．故答案為：2考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．三、解答題15．答案：AB=DE解答： 證明：∵AD、AE分別是∠BAC與∠BAC的外角的平分線，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四邊形AEBD為平行四邊形，且∠BEA=90°，∴四邊形AEBD為矩形，∴AB=DE．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)．16．答案：（1）四邊形ABCD為平行四邊形；（2）BF=5cm；（3）5cm解答： （1）證明：∵把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）解：設(shè)BF=x，則EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，F(xiàn)C=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）17．答案：四邊形EFPH是矩形解答： 證明：∵在矩形ABCD中，∴AB=DC，AD∥BC，∵ED=BP，∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四邊形AECP是平行四邊形，∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形，∵在矩形ABCD中，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，∴CE=，同理BE=2，∴BE2+CE2=BC2∴∠BEC=90°，∴四邊形EFPH是矩形．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)．18．答案：（1）平行四邊形ADBE是矩形；（2）12解答： 解：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四邊形ADBE是平行四邊形．∴平行四邊形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中線，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD?AD=3×4=12．考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．19．答案：（1）四邊形EFGH是平行四邊形；（2）四邊形EFGH是矩形考點(diǎn)： 矩形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．解答： 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四邊形ABCD