東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷

2001.7.16.

大題—?二三四五六匕八總分

成績(jī)

一、填空題（20分）

1.曲線x=cosf,y=e'sinf,z=2e'相應(yīng)于點(diǎn)f=0處的切線與oz軸夾角的正弦

sin/=()

2.設(shè)。:04x41,04y44,則JJFdxdy=()

D

3.設(shè)L是由y=x2及y=l所圍成的區(qū)域D的正向邊界，則

+x3y3)t￡x+(x2+x4y2)dy=()

4.周期為2萬(wàn)的周期函數(shù)/（x），它在一個(gè)周期上的表達(dá)式為

/（x）=X,-71<X<7t,設(shè)它的付立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S（x）,則5,（—）=

（）

5.微分方程半+半=。的通解是（）

________Vxyjy

二、求解下列各題（32分）

1.（8分）設(shè)z=/（〃,x,y）,〃=其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求之工。

oxoy

2.（8分）計(jì)算JJ"小，其中Q是由曲面z=j2-》2—。及.面+>2所圍成的

閉區(qū)域。

3.（8分）計(jì)算曲線積分k/s,其中L為由直線y=x及拋物線y=/所圍成的

區(qū)域的整個(gè)邊界。

4.（8分）求微分方程（2y+x）dy-）Wx=0的通解。

三（9分）計(jì)算曲面積分X是曲面2z=，+y2

上介于z=2及z=3之間部分的下側(cè)。

nn

"COS2

四（7分）判別級(jí)數(shù)￡的斂散性。

n=l2"

五（9分）求微分方程y"-5y'+6y=xe2,的通解。

六（9分）將函數(shù)f（x）=sin3龍展開(kāi)成（x+§的累級(jí)數(shù)，并指出收

斂區(qū)間。

七.（9分）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3,1）的平面中，求這樣的平面，使得該

平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的第一卦限中的立體體積最小。

八.（7分）設(shè)/（“）連續(xù)，試證：f/（x+y）dxdy=ff（u）du

高等數(shù)學(xué)試題答案2001.07.16

(1)—;(2)3；(3)0；(4)(5)石+G=C

3

dzv/?,G

二、1.法=eE；

?2不

2.cl6rdr

)zdz

=萬(wàn)1r(2-r2-r4)dr=

^xds=Jxds+Jxds=j：yflxdx+fxJl+4-2dx='石+631

3.

L4b12

史—三=2,x=J7、(Qjb'dy+C)=y(21nly|+C).

4.

dyyJ

三、Jj(z-3)dxdy=-+〉--3)dxdy

zo2

r2

(3--)rdr

3r2r4,V6

2加三一不加=支

2n7i

ncos—QQ

四、?.?"“=一—w==匕，且用比值法知道“收斂，再用比較法可知原

22〃=]

級(jí)數(shù)是收斂的。

五、解：對(duì)應(yīng)齊次方程y-5y+6y=0的特征方程根是2,3；

齊次方程的通解是y=Ge?'+。2小，

由于丸=2是特征根，故y=x(ax+b)e2x,代入原方程得到

〃=—；,/?=—1,所以y*=x(-—1)^2A；

2x3x22

故原方程通解為Y=Cie+C2e-^(x+x)e\

oo2n+l

六、sinx=^(-l)M———,-00<X<4-co,

士(2〃+1)!

冗71

sin3x=sinf3(x+§)-〃]=-sin3(x+―)

=t(—1)*'+守"'(Xe(—8,+8)，

S(2〃+l)!3

七、設(shè)所求平面為2+上+工=1,把(2,3,1)代入，則2+3+』=1,做V=-abc

abcabc6

在條件2+LLi的最小值，

abc

設(shè)L(a,b,c)-ahc+2+—+——1)

一

”

L-=c-/-o

L-c--o

%X2z

<nQ-pr-c-3于是-+.-

26,9,693

，

Lr=〃-o

々--

C2

231

—+—+—二

abc

11

uv--

x=—+—22

2

八、設(shè)2,則117T，所以

UV-

y=------22-

22

原式左邊=—=—1du￡f(u)du=JI右邊.

D、2211

東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷

2002.6.28.

大題—?二三四五六匕八總分

成績(jī)

一、填空（本大題20分，共5小題，每小題4分）

1.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程arctan(xe')+ze>'=1確定，則=

2.設(shè)密度為〃（其中〃=〃（x,y,z）是連續(xù)函數(shù)）的物體由曲面z=l+/,z=l

所圍成，則該物體的質(zhì)量在柱面坐標(biāo)系下的累次積分是

3.L為尤2+）2=1正向一周，則=

L

4.幕級(jí)數(shù)之旦01的收斂半徑R=

占〃4"

5.微分彳程y”-y"+?，=x稱做階微分方程。

二、求解下列各題（每小題8分，共32分）

1.z=ex,求全微分dz。

2.設(shè)48是連接點(diǎn)A（0,2）及點(diǎn)B（3,0）的直線段，計(jì)算曲線積分j（x2+y2）ds。

2AB

3.求微分方程xdy+（xy+y-/）公=0的通解。

4.將函數(shù)/（x）=cos2］展開(kāi)成x的寨級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。

H（9分）求微分方程y〃-5y+6y=x/?的通解。

四（8分）計(jì)算曲面積分掙3辦收+N36/m￥+23辦功、其中2為球面

X2+）/+Z?=C12的夕卜側(cè)。

--------五（8分）判別級(jí)數(shù)￡82"sin7T￡的斂散性。

?=i3”

六（8分）在球面/+/+72=2/上，求滿足z?N尤2+產(chǎn)的那部

分的面積（。＞0）

七（9分）修建一座容積為V,形狀為長(zhǎng)方體的地下倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)頂

和墻壁每單位面積的造價(jià)分別為地面每單位面積造價(jià)的3倍和2倍，問(wèn)如何設(shè)計(jì)

長(zhǎng)、寬、高使它的造價(jià)最小。

八（6分）/（x）在［0,1］上連續(xù)，證明，"（“八力”21

高等數(shù)學(xué)參考答案2002.6.28

x

一\1.Zy~Z~l+x2e2y；2,

3.0;4.2;5.3.

一女y?a_1f

iL最（6分）

一丁，dy~le

1y

dz=—xex--dx+dy(8分);

7

3

x=-t5

2.AB:“2,0<t<\,ds=—dt（2分）

2

[y^2-2t

2

223Y,

1(x+y吟口-t+4(1-￡)~dt（8分）

AB27/

i

595125

……(10分)

；

24出（5o214324

dyx+1

3.-----1--------y=-ex

dxxX

X+l,,Xxx+,nx

y=e-(')^-e-edx+c（5分）

(1A

—e2x+c（8分）;

xex(2)

,l+cos2x

4.f(x)=cos~x=-------------

2

cos2x^l-^-+^-

???(-00<X<+00)（6分）.

2!4!

4

21（2x）-（2x）4（2x）6,（2n）（.z..

COS~X=1——-——-——-———+-——-----p（-l）——（-00<X<+00）....（8分）

2[2!4!6!V'（2n）!『7V'

22xx

三.r-5r+6=0,=2,r2=3,y=cle+c2e".......（4分）

y*=x{ax+b^e~x.......（6分）

1Y

a=--,b=-l,=-—（x+2）e2x.......（8分）

2x3x2x

y=c1e+c2e-|（x+2）e……（9分）

四.原式=川3（/+/+門公=3『d"'s加布理/dr（4分）

（句：."廣二=3/

=6?[-:0§（8分）

5

?冗

五%=2sin—,

<）/1+1?兀

2sin——^）

lim—=Um----------——=—<1.......（5分）

…%…2"si〃23

3"

00

由比值判別法，Z2、加前收斂……（8分）

71=13

六.由對(duì)稱性，只要求Z20那部分Z面積的二倍.

在2上‘小衣當(dāng)彳"

又2在xoy面的投影。：/+y2……依分）

=4回及-1"……伯分）

七.設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,地面每單位面積造價(jià)為k則總造價(jià)

Q=3kxy+kxy+2k（2xz+2yz）=4k（xy+xz+yz）（3分）

令F=xy+xz+yz+^（xyz-V）

Fx=y+z+^yz=0

F=x+z+^xz=0

y（6分）

Fz=z+y+^xy=0

xyz=V

解得％=y=z=底.由于實(shí)際問(wèn)題存在最小值，可見(jiàn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高均為而

時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的造價(jià)最小.……（9分）

八.[e"功...（2分）

萬(wàn)1」k西y

2f2fM

1「（e^+e

21）1）/（*）/（＞）dxdy（4分）

4n^7UTdxdy

=^dxdy=\.......（6分）

東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷

2003.6.27

大題一二三四五七八九成績(jī)

小題123

得分

一、單項(xiàng)選擇（本題12分，每小題4分）

1.由級(jí)數(shù)￡或發(fā)散可以肯定級(jí)數(shù)f%發(fā)散，只要當(dāng)〃充分大時(shí)有（）.

n=\n=\

(A)an>bni(B)\an\>bnt(C)an>\bn\t(D)\an\>\bn\.

2.微分方程＜+7=.血》一。$2*的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（其中a,b,c為待定常

數(shù)）（）.

(A)asinx-\-bcosxcos2x；(B)x[asinx+bcosx^+ccoslx；

(C)asinx-^-bcos2x+ccos2x；(D)axsinx+bxcosx.

3.設(shè)有平面閉區(qū)域￡)={(x,y)卜a<x<a,x<y<aj,

D1=^(x,j)|O<x<afx<a},貝!J+cosxsiny^dxdy=().

D

(A)2xsinydxdy；(B)2^xydxdy；

QD]

(C)4xy+cosxsiny^dxdy；(D)0.

9

二、填空（本題12分，每小題4分）

1.曲面QX〃+刀〃+以〃=1（〃￡N,〃W0）上點(diǎn)（x0,j0,z0）處的切平面方程

為.

2.設(shè)酶。是由直線尸X和曲線廠小所圍成，於陰是。上的連續(xù)函數(shù)，試寫出用兩

種不同次序的二次積分來(lái)計(jì)算/=\\f（xfy）dxdy的公式.

D

公式1:,

公式2:.

3.函數(shù)"=z4-3xz+f+/在點(diǎn)處沿著方向I=（1,2,2）的方向?qū)?shù)為.

三、求解下列各題（本題24分，每小題8分）

1.設(shè)丁丁）具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求色巴.

oxoy

2.求微分方程y"'=（y'）3+V的通解.

3.求由曲面z=1+2y2及z=6-2?_y2所圍成的立體的體積

四、（9分）在曲面2/+/乜2_%+1=（）上求一點(diǎn)，使其到原點(diǎn)的距離為最小.

五、（9分）計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分||xz2dydz+-z3^dzdx+（2xj+y2z]dxdy

其中￡為上半球體x2+y2<a2,O<z<加*—/的表面外側(cè).

六、（9分）計(jì)算三重積分。]（爐+/）4其中是由曲面4z2=25（x2+/）及平面z=5

Q

所圍成的閉區(qū)域.

2"

七、（9分）求塞級(jí)數(shù)Zxn的收斂區(qū)間.

n=\n~+\

八、（9分）計(jì)算曲線積分J個(gè)e+y2ds，其中L是為圓周x2+j2=ax.

九、（7分）判別級(jí)數(shù)1-'-+!-二-+,-1-+…的斂散性（其中a為實(shí)數(shù)）.

2a34a56a

參考答案

-1、C2、B3、A

,llnl,,-|

二、1、ax()'x+byo~y+cz0z=1；

2、(1)f(x,y)dy+^dx￡f(x,y)dy；

(2)￡dyy)dx+j'dyf(x,y)dx

3、°

3

三、1、4^=2#/+2^+W/11*+2X3#22*+5X2//W

dxdy12

2、

設(shè)原方程化為他，p^=p3+p,蟲_(l+p2)=()

dydydy

由得速是原歡程的一個(gè)解但非通解，

由^&P(1+p2)=0,arctanp=y—C”p=tan(y—C1),

也就是—=tan(y-C1),:.x+C=f—————=Insin(y-C,)

dxJtan(y-C,)

c

于是得通解為其苑rcsiMGeD+C].(C2=e)

3、

V=jj(6-2x2-y2-(x2+2y2))Jo-

D

=4J1(6—3--3y2)dcr=12/dx^~~(2-x2-y2)dy

A..

=8/A/(2-X2)3dx-67r

d2y_1

(7分)

/—一2?+1)4

四、

令得=/+/+/+〃2元*+y2-z2-2xy+1),

Fx=2x-4Ax-2Ay=0

Fy=2y-22y-2Ax=0

=>x=0,y=0,=±1

Fx=2z—22z=0

2x2+/-?-2Ay+l=0

所求點(diǎn)為或0,1)(0,0,-l).

五、

用高斯公式：

原式二川(孑+*+J)"=[)defd夕工/r2sin(pdr=—7va5

c5

六、jjj(x2+y2)dv=j-7d。j；/公(dz=8乃

七、

a2(1+1)c01

limn+]=lim-------------=2,1.R=一

〃TOO%"T8(〃2+])+I2

當(dāng)*上&(級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí)原級(jí)婁血收斂

22

于是收斂區(qū)間為.

22

八、

n__________________________

1=2Ptzcos0y1a2cos20-\-a~sin2OdO=2a2(選參數(shù)方程為r=QCOS6)

L

aa八

x=—+—cosJ

或選參數(shù)方程為進(jìn)而22(Q<0<2^)

y=@sin。

I2

=

jJL+y2ds~[)J2(l+cose)d?=2a?亦可

r4

九、

a=1時(shí)交錯(cuò)級(jí)數(shù),萊布尼茲判別法知其收斂.

?1II11

1

a<1時(shí),等價(jià)地考慮級(jí)數(shù)旗」.....-）,lim（2〃）“2,

白（2〃）2"+128n

根據(jù)比較判別法及當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散泡電寸原級(jí)數(shù)也發(fā)散

n=l〃

東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試卷

2004.7.16.

大題一二三四五-3^七八九十十一十二總分

成績(jī)

一、填空（本大題20分，共5小題，每小題4分）

1.設(shè)x+2y+z-27^7=0,貝！)包=

2.曲線y2=2/nx,z?=，〃-x在點(diǎn)（x（）,Jo>z（））處的切線方程為

3.以>=*'+》為通解的微分方程是

4.交換二次積分f（x,y）dx的積分次序得

5.蹩分方程y"-2y'+5y=0的通解為

|二、選擇（本大題20分，共5小題，每小題4分）

1./（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微分是/'（x,y）在該點(diǎn)連續(xù)的（）條件。

（A）充分非必要；（B）必要非充分；（C）充分必要；（D）既非充分也非必要。

2.若級(jí)數(shù)之""條件收斂，則級(jí)數(shù)必定（）

w=ln=\

（A）收斂；（B）發(fā)散；（C）絕對(duì)收斂；（D）可能收斂也可能發(fā)散。

3.設(shè)曲面E是上半球面:x2+y2+z2=R2（Z>0）,曲面心是曲面E在第一卦限

中的部分，則有（）

（A）jjxds=4jjxds(B)Jjyds=4JJxds；

2二

(C)^zds=4^xds(D)^xyzds=4Jjxyzds。

8的收斂半徑為A=1,則塞級(jí)數(shù)之見(jiàn)產(chǎn)〃的收斂半徑為R=

4.W數(shù)Z

71=0w=0

()o

432

(A)(B)(C)1；(D)

3473

5.函數(shù)/（*）="+/（國(guó)4萬(wàn)）的傅里葉系數(shù)為（）。

(A)a=Z『x2cos〃xdx,b=sinnxdx；

nn小n

(B)??=21xcosnxdr,bn=21xsinnxdx；

2r2.

(C)a“=-\xcosnxdx,bn=2「xsinnxdx；

nJ)

2

(D)a=2『xcosnxdx,bn=-[xsinnxdx.

nit小

（6分）已知〃=/（?2-丁2,xy其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

三、e）f

dudu

dx'dy

四、（6分）設(shè)z=xln（孫），求------o

dxdy~

五、（6分）求函數(shù)〃=在附加條件

-+-+-=-（x>0,j>0,z>0,a>0）下的極值。

xyza

六、（6分）求Jjjsin（世3）小，其中Q：療

七、（6分）判別級(jí)數(shù)￡7的斂散性,并說(shuō)明理由。

>1-1lit.1I

n=,nIn

八、（6分）設(shè)/為圓周》2+y2=4的正向，求《半二警

九、求微分方程y\x+y'2）=y'滿足初始條件j（l）=/⑴=1的解。

十、（6分）設(shè)1表示圓周一+/=],求曲面積分xlds之值。

~\---、（6分）求/=JJz~dydz+ydzdx+zdxdy,其中Z為曲面

Z=10-X2-J2(1^Z^10)的上側(cè)。

800M2-1-1

十二（6分）設(shè)級(jí)數(shù)Z明絕對(duì)收斂，證明：級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂

71=1〃

試題答案20040716

(1)（2）/一/_y）,。_z-z（）；

y/xyz-xy1m-1

先2z()

(3)、，=『"』；(4)加

xrlnxrJ-2J2x+4

(5)ex(Ccos2x+Dsin2x);

二、A；B；C；A；C

三、導(dǎo)2成+”;導(dǎo)-2貳+4;

d2z1a3z-1

四設(shè)z=xln(xy),=>

dxdyy'dxdy1y2

五、解：令L(x,y,z)=xyz+2(-+-+-),

xyz

r,2n

z

L=xz—z-=0

y

由nx=y=z=3〃

4r1=孫一-丸7=八0

z

1111

—I1—=一

xyza

則(3a,3a,3a)是唯一可能駐點(diǎn)，又極值存在的充分條件知道必為

u=xyz的極小值點(diǎn)，故u=xyz的極小值是27/。

六解/=fsin(乃z^dzjjdxdy=1%z?sinOz,Wz=2.

Dz3

七解vlim一二-=1=0,故級(jí)數(shù)發(fā)散。

-°〃in(l+3

n

八解在曲線內(nèi)部作有向橢圓/：4x2+y2=/,取順時(shí)針?lè)较?，則

原式=j-J="。公辦'--Vjydx-xdy--Jjdxdy=一乃。

L+lIDrIrD,

九設(shè)y'=p,y"=p',貝！Jp(p?+x)=p，孚-x=p,于是

dpP

2

有x=CiP+p,由p⑴=)/⑴=1,7.C1=0,

于是x=p2y=>/x,:.y=+C,,

I?2]

由y(l)—1,***C*2=9***^=~x>Jx+—.

十解=j|cose「/e=4『?0$如6=4

H^一解補(bǔ)加平面與：Z=l(f+V<9),則取閉曲面的外測(cè)，有

=\\\2dV-\\vdyd+ydzdx+zdxdy

QZ)Z

2^\r\rddrrdO6[dz+^dxdy

DD

=81%+94=90乃

l

十二證明V0<^-n!-<2,=>^n-\an\<2\an\,

800H2[

由[2⑷收斂，所以工中4收斂，于是

絕對(duì)收斂。

Mt^〃a-?

東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)(下)期末考試試卷

2005.7.11

總分—■二三四五七八九十十一十二

一、填空(本題含6小題，每小題4分，共24分)

1.函數(shù)z=x?+v在點(diǎn)(1,2)處沿從點(diǎn)(12)到點(diǎn)(2,2+6)方向的方向?qū)?shù)是.

2.設(shè)0={(*/肛2+[2WR2},則二重積分JJ(x+y)2db的值是.

D

3.設(shè)L為圓1+丁=1依逆時(shí)針?lè)较蛞恢?，則曲線積分\xdy-ydx的值是.

4.設(shè)心為連接4(1,0)和8(0,1)的直線段，則曲線積分J(x+y)ds的值是.

5.幕級(jí)數(shù)￡吟的收斂半徑R=__________.

Mn

6.已知向量麗=f+3無(wú)，礪=]+3無(wú)，則三角形的面積的值是.

二、單項(xiàng)選擇(本題含3小題，每小題4分，共12分)

/、.予X2+J2^0

1.設(shè)函數(shù)則/（x,y）=J/+y2，，則/（XJ）在。（0,0）處（

0,x2+j2=0

（A）極限存在；（B）偏導(dǎo)數(shù)存在；（C）連續(xù)；（D）可微分.

2.下列各級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)是（）.

OP181008

（A）:ELI）"'；；化）z（-i廣片；（OE（-ir^?（D）

rt=l7nn=\yj11n=\〃?n=\3

'fx+y-5=d

3.平面2x+y-z+3=0與直線，的位置關(guān)系是（）.

2x-Z+5=0

（A）互相垂直；（B）互相平行；（C）相交但不垂直；（D）直線在平面上.

三、（8分）設(shè)z>0,y〉0,日=/〃工，求全微分&及￡二.

____zydxdy

四、（8分）求表面積為（a>0）的體積為最大的長(zhǎng)方體的體積.

五、（8分）設(shè)。={（x,y,z）|0WxWa,04yW"0Wz〈c},計(jì)算三重積分

JJJ（x+j+z）Jv.

C

六、（8分）設(shè)X為球面*2+72+/=。2,,>0）上的zzg的部分，計(jì)算曲面

積分0z3ds.

七、（8分）設(shè)E是曲面z=；（,+介于平面z=o與z=2之間的部分的下側(cè)，

計(jì)算曲面積分/=，2xz2dydz+y（z2+1）dzdx+（10-z3）dxdy.

八、（8分）經(jīng)過(guò)兩平面4x?y+3z?l=0與x+5y-z+2=0的交線作一平面使之于平面

2x-j+5z-3=0垂直.

九、（8分）將函數(shù)/（*）=五）展開(kāi)為G+2）的塞級(jí)數(shù)并給出收斂域.

十、（8分）設(shè)凡￥）為恒正連續(xù)函數(shù)，由曲線y=f（x）與直線x=a,x=b（a<b）9j=0

所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體，體密度為1,試證該物體對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

為人=ff-（X）&

高等數(shù)學(xué)試卷參考解答（2005.7.11）

一、填空題(4'x6=24')

(1)1+273;⑵獷

⑷V2；

(6)C[+C2X+(C3+C4X)e*.

二、選擇題(4'x3=12')

⑴B;⑵A;⑶C.

LX加J及

=Inz-Iny,

z2zdx

,類似可得生=丁

dxx+zdyy(x+z)

全微分為dz=--—dx+——-----dy.

x+zy(x+z)

p2—U+Z)-Z

ez_0y?

dxdy(x+z)2

z1

X---------------2

)'(x+z)XZ

(x+z)2(x+z)3

四、解設(shè)長(zhǎng)方體的三個(gè)棱長(zhǎng)分別是x、y、z,則體積為V=xyz,限制條件為

2xy+2xz+2yz-a2=0.

F(x,y,z)=xyz+A(2xy+2xz+2yz-a2)

將尸(x,y,z)分別對(duì)尤、y、z求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得

Fx=yz+2A(y+z)=0,

Fy=xz+22(x+z)=0,

F.=xy+22(x+y)=0

2xy+2xz+2yz-a2=0

V6

解方程組得x=y=z='——a

6

36

五、解法一

1=工公|d)J(x+y+z)dz

r2

=y-+c(x+y)dy

；；

=Pb.cx+1—b2c-\-1-bc2ajx

J)[_22

=Labc(a+/7+c)

法二

1=/辦+肝小+肝小

Q

=fbcxdx+jacydy+Jaczdz

=—a2bc-i--ab2c+—abc2

222

=g〃/?c(Q+Z?+c)?

六、解dS=@do~或dS=/61db,

Z加_*2_丫2

z3dS=az2do-=a(a2-x2-y?)]。,所以有

原式=-x2-y2)d(r

x+y<^a2

,V3

=6/Jd&j(^2_r2)rdr

V5

=2如修2

24Jo32

22

七、解補(bǔ)充平面Z”=2,(/+》2?4),取上側(cè).設(shè)。為曲面［x+y與

2

平面z=2所圍成的空間閉區(qū)域,Dxy為x2+y2<4

原式=

=JJWJdb

[27tzdz-27T-22

=4萬(wàn)一8%=一47.

八、解依題意，得到具有定解條件的微分方程,

dy_=2ydy1

dxx-2y'或?qū)懗蒤dx2y

y⑴=1x(l)=1

ddV

x=e^'[j(-e^)dy+c]

=Cy[y-2yy>0

代入x=l,得C=3,故所求曲線為x=6-2y.

八*、解過(guò)交線的平面束方程為

(4x-y+3z+T)+2(x+5y-z+2)=0,

即為

(4+A)x+(52-l)y+(3-A)z+(22_1)=0.

另一平面的法向量為/i=(2,-1,5),令

(4+2,52-1,3-2)*(2,-1,5)=0,

得4=3.

回代得另一平面為

7x+14y+5=0.

111

九、解函數(shù)J(x)=

3+4x—5+4(x+2)514

l--(x-2)

4"(x+2)”

5/S)一歹

-4"(x+2)”

4、<?+i

n=03

133

收斂域滿足|x+2|＜（,解之得-----<X<—,

4-------4

即收斂區(qū)間為（?1）.

卜、解設(shè)夏為旋轉(zhuǎn)體所占的空間區(qū)域，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1=|jj(y2+z2)zdv

c

=[dxJj(y2+Z2)d(j

'%

東北大學(xué)高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))A卷

2006.7.12

學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

大題—?二三四五六七八九總分

成績(jī)

□一、選擇題(本大題6小題，每小題4分，共24分)

1函數(shù)z=/(x,y)在點(diǎn)4(x°,y°)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點(diǎn)可微分的[]

(A)充要條件；(8)必要條件；(C)充分條件；(。)既非充分也非必要條件.

2.拋物線y=/上到直線x-y-2=0距離最近的點(diǎn)是[].

⑷另)；⑻(0,0)；(C)(1,1);(D)(-1^).

3.設(shè)Q為平面x+y+z=l與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的空間閉區(qū)域，則三重積分

jjj(x+y+z)dv的值是[].

Q

上；，；

(A)(B)(C)—;(D)—

126824

222

4.設(shè)L為星形線/+/=a3(a〉0),則下列各曲線積分中，值為0的是[].

2?

(A),S+VMs；(B)j(xy+yx2)ds；(C)y)2ds；(0J-y2ds

L

5.下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的級(jí)數(shù)是[].

n

8(—1)1op2nq4+(-1)”

⑷E⑻￡；?(D)

n=lnn=l3〃+1fry+n〃=1〃

6.設(shè)有兩點(diǎn)〃(2,2,女),P(l,3,0),則向量MP與x軸正方向的夾角a=[].

(A)—7t；(B)—;(C)—7T；(D)—

3344

||二.填空題(本大題5小題，每小題4分，共20分)

1.曲面z=V+/在點(diǎn)M(1,2,5)處的法線方程是^__________________.

2函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)尸(1,o)沿從點(diǎn)尸(1,0)到點(diǎn)。(2,-1)的方向的方向?qū)?shù)為

3.設(shè)Z為球面X?+V+3=伍〉0),則曲面積分浜x+),+02ds的值是一

4.設(shè)a=(2,l,2),6=(4,-l,10),c=Z?-/ldlc_La則法

1

5.已知￡(-1)"un=2,￡GT=5，則￡??=----

n=\n=\M=I

II三、(8分)求過(guò)點(diǎn)M(3,1,-2)且通過(guò)直線—=等=:的平面方

?-----1程.

四.(8分)設(shè)方程/+/2+[2=2以確定函