中考圓壓軸題專項訓練（2018年中考：圓真題實訓）

1.（2018?鞍山）如圖，四邊形48CZ?內接于。0,4C與劭為對角線，4BCA=NBAD,過點力

作AE"BC交辦的延長線于點E.

(1)求證：EC=AC.

9

(2)若cosN4?8==，&=10,求坐的長.

5

/.4ACB=/EAC,

???4ACB=NBAD,

：.4EAG=/BAD、

:、/EAD=/CAB、

?IN4gN4OC=180°,ZADC+^ABC=]80°,

NADE=4ABC,

-：ZEA^ZADB-ZE=]80°,NBA/NABONACB=,

/.NE=NACB=NEAC、

：,CE=CA.

(2)解：設然交。。于K連接ZW,悴MH,DE千H.

4EAD=/CAB,

??DM=BC，

：.DM=BC='O,

?INMDS/MDC=180°,ZW6^Z^4C=180°,

/.NMDE=/CAM,

,:4E=4CAE、

/./E=4MDE、

:?MD=ME=0\'MH.LDE,

：,EH=DH,

'：NADB=ZACB=NBAD=NE,

??.c"c型=4

ME5

:,EH=4,

:?DE=2EH=8.

2.(2018?河池)如圖，。。的直徑為4昆點。在。。上，點伉￡分別在48,4C的延長線

上，DE±AE,垂足為￡/A=KCDE.

(1)求證：⑺是。。的切線；

(2)若48=4,BD=3,求切的長.

(1)證明：連接OC,

VDE1AE、

/.Z￡=90°,

：,NEDC+/ECD=9C,

?：4A=4CDE、

：,4"4DCE=90°,

00=OA,

???N4=NACO,

；.ZAC的NDCE=9Q°,

：.^0CD=9Q°,

OCX.CD,

..?緲是。。的切線；

(2)解：；48=4,8P=3,

：.0C^0B^—AB^2,

2

；.0g2+3=5,

CD=VOD24)C2=V52-22=亞?

3.(2018?朝陽)如圖，是。。的直徑，4C是。。的弦，OD1AB,勿與4C的延長線交于

點伉點E在勿上，豆CE=DE.

(1)求證：直線如是。。的切線；

(2)若以=2會，AC=3,求應＞的長.

(1)證明：連接力,

■：OD±AB,

4勿=90°,

ZZ>Z/1=90o,

OA=OC,

：.N4=NACO,

VCE=DE,

：.4ECD=ZD,

VNAC8/DCE=9G,

：,Z0CE=9Q°,

：.OC.LAD,

???直線然是。。的切線;

(2)解：連接8a

是。。的直徑，

???N478=90°,

4A0D=4ACB,

Z-A=NX,

???△腦s"Z?0,

.AO_AD

■'AC^AB1

.2M二AD

■~-4731

「?4P=8,

；?CD=AD—AC=5.

B

4.(2018?安丘市)如圖，在中，AB=AC,以為直徑的。。交8c于點。，過點。作

DELAC,交AC于點、E,47的反向延長線交。。于點尸.

(1)求證：此是。。的切線；

(2)若由￡4=8,。。的半徑為10,求△以打的面積.

A

E

Q

B\TJ/DC

(1)證明：08=0，，

：.ZABC=ZODB,

?：AB=AC,

???4ABC=/ACB,

：.40DB=/ACB、

：.0D//AC.

'：DELAC.必是半徑，

:?DE，OD、

???班是。。的切線；

(2)解：如圖，過點0作0/a”于點〃，則N0Z?￡=N陽UNO隹=90°,

???四邊形0陽/是矩形，

：.OD=EH,OH=DE.

設AH=x.

'：DB-AE=8,⑺=10,

?"f=10-x,0H=DE=8-(10-x)=x-2,

在RtZ\47/Z中，由勾股定理知：A斤+0-=水,即*2+(x-2)2=102,

解得M=8,x2=-6(不合題意，舍去).

???4/=8,046,

'；0H1AF、

.\AH=FH=^-AF.

「?/I尸=24/7=2X8=16

--△)尸的面積=1-X16X6=48.

2

5.(2018?營口)如圖，△力比內接于。0,48是。。的直徑，弦緲與彳8交于點￡連接段,

過點4作直線他使N例仁/力加?.

(1)求證：直線肥是。。的切線.

(2)若sinN4?C=L,AB=8,AE=3,求的長.

(1)證明：:四是。。的直徑，

/.ZACB=9Q°,

，外為BAC=9G,

■:4B=4D,乙MAX乙ADC、

NB=/MAC,

：?NMAa/CAB=9G,

???NW90°,

.\AB-LMN,

?.?直線利是。。的切線；

(2)解：連接0a過E作E”工OC于H,

'."sinZADC=—,

2

/.ZP=30°,

：.ZB=ZD=30°,

：?NAOC=60°,

,：AB=8,

，A0=B0=4,

-：AE=3,

：.0E=3BE=5,

'：ZEHO=90°,

：.0H^—,E4縣,

2,2

CE=VCH2+EH2=V13>

?.?弦CD與四交于點E,

由相交弦定理得，AE*BE=CE*DE,

AE>BE_3X5_15713

~CT=7T3=^3~'

6.(2018?丹東)如圖，直線4。經過。0上的點4,△力力為。。的內接三角形，并且

=N8.

(1)判斷直線段與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若2)X30°,。。的半徑為1,求圖中陰影部分的面積.(結果保留n)

C

AD

解：（1）直線力。與。。的位置關系是相切,

理由是：作直徑力￡,連接您,

為直徑，

:.ZACE=90°,

ZB-ZEAC=90°,

,:ZB=ZDAC,NB=NE,

：.NE=NDAC,

：.ZEAC+ZDAC^90°,

即OALAD,

'：OA過0,

..?直線4?與。。的位置關系是相切;

(2)連接0C,過。作0a4;于月則/的=90,

,,,Z01P=300,N以290°,

：.^OAC=60°,

?：OC^OA=\,

是等邊三角形，

：.AC^OA^\,ZAOC^6Q0,

?：OA=OC,OFLAC,

：.AF=FC=—,

7.（2018?無錫）如圖，在中，2—0：m是△/!%的角平分線，點。在邊48

上.過點4。的圓的圓心。在邊上，它與邊48交于另一點￡

（1）試判斷比與圓0的位置關系，并說明理由；

解：（1）8c與圓0相切，

理由如下：如圖，連接辦

'：OA=OD

：.ZODA-NOAD,

：4。平分/以8

：.ACAD=Z.DAO

：.NCAMZODA

C.DO//AC

?：ACLCD

：.ODA.BC,且。在圓。上,

.,.SC與圓0相切

(2)在RtZ\48C中，\'AC=6,sin5=—,

5

：.AB=W,80=8

3_DQ_DO

在RtZi8，0中，sin8=

5BOAB-DO

??-30=8。。

15

：,DO=—=AO

4

25

：.BO=AB-AO=—

4

BD=VBO2-DO2=5

.\CD=BC-BD=3

在Rt△46Z7中，AD={AC2+CD"49+36=3

8.(2019?邵陽縣一模)如圖，已知三角形48c的邊姐是。。的切線，切點為84c經過圓

心0并與圓相交于點久C,過C作直線6T_L48,交朋的延長線于點￡

(1)求證：笫平分N47E；

??)8是。。的切線,

JOB工AB,

'/CE±AB,

：,OB//CE,

Z1=Z3,

?：OB=OC,

/.Z1=Z2

/.N2=N3,

???第平分N彳宏;

(2)如圖2,連接皿

CEX.AB,

：.Z￡=90°,

22=

■'-BC=7BE+CE732+42=5,

???3是。。的直徑，

ZZ?5C=90°,

：./E=NDBC,

.CDBC

■"BC^CE'

:.BG=C>CE,

??但加=春

的半徑?=爭.

9.(2018?鄂爾多斯)如圖，。。是△48C的外接圓，4c是直徑，或BD=BA,EBLDC,交DC

的延長線于點E.

(1)求證：然是。。的切線；

(2)當sinN8C￡=』，四=3時，求4?的長.

4

D

解：(1)證明：連結OROD,

'AB=BD

在△480和△Z?80中，JB0二B0,

,OA=OD

:.△ABgXDBO(SSS),

/.4DBO=ZABO,

,/NABO=ZOAB=NBDC,

???ADBO=Z.BDC,

：.OB//ED,

'：BE±ED,

:?EB工BO,

?.?宏是。。的切線；

(2),.YC是直徑，

:?NABC=9G,

'：BELDE.

AZ￡=90°,

/.ZOBC+ZCBE=ZBAOZACB=90°,

/./BAC=/EBC,

???4ACB=NBCE,

3

,：sinZBCE=—,

4

3

「?sinNACB=—.

4

\'AB=3,

.'.AC=4,

'/NBDE=NBAC,

3

：.s\nZDBE=—,

4

,:BD=AB=3,

能得9

5f=7BD2-DE2=^-'

■：/CBE=』BAC=ZBDC,ZE=ZE,

：.?BDEs4CBE,

''CE-BE'

7

：.CE=—,

4

???吟，

?Mg寸川27°2=^-.

10.(2018?鐵嶺)如圖，四邊形中，連接AC,AC^AD,以作為直徑的過點8,交

切于點￡過點￡作日」制于點尸.

(1)求證：寧?是。。的切線；

(2)若NBAC=NDAC=30°,BC=2,求另加的長.(結果保留n)

(1)證明：設圓心為。，連接如，AE,

?.YC為。。的直徑，

J.N然C=90°,

/.^AED=9Q0,

'：AC=AD,

/CAE=/DAE、

\'EF^AD,

，AFE=9G,

，/EAF,/AEF=/AER/DEF=9N,

/./EAF=4DEF,

\'OA=OE,

NOAE=NOEA,

???/0EA=4DEF,

：?40E9/AEF=9G,

：.ZOEF=90°,

???）是。。的切線；

（2）解：連接08,

丫N840=30°,

：?NBOC=60°,

?：OB=OC,

???△0仇?是等邊三角形，

08=30=2,

'：ZCAD=3Q°,

?,?N性=方/）￡7=15。,

：?KCOE=2￡CAE=30。,

：.Z80E=90°,

11.（2018?本溪）如圖，在RtZ\4%中，NC=90°,點0,。分別為48,比的中點，連接

OD,作。。與4c相切于點￡在4c邊上取一點月貶DF=DO,連接?！?/p>

(1)判斷直線。尸與。。的位置關系，并說明理由;

(2)當N/=30°,吩=正時，求。。的半徑.

解：(1)結論：。尸是。。的切線.

理由：作0G工DF于G.連接0E

,:BD=DC,BO^OA,

：.0D//AC,

：.ZODG=/DFC、

'：NOGD=ZDCF=9Q°,OD=DF,

.-./\OGD^/\DCF(44S),

0G=CD,

.?YC是。。的切線，

：.0E工AC、

：,ZAEO=ZC=90°,

：.0E〃BC、

'：OD//CE,

???四邊形勿如是平行四邊形，

???CD=OE,

：.OG=OE,

是。。的切線.

(2)\'FA,9是。。的切線,

：?FG=FE、設FG=FE=x、

^OGD^/XDCFCAAS\

.DG=CF=y/~2^

0D=DF=

,:AC=20D,CE=OD,

.\AE=EC=0D=

,??N4=30°,

：.CD=OE-=^f^,

在RtZ\〃C尸中，?:口戶=湄+0戶,

?-?（揚X）-（&）2+（當言2>

解得*=正-我或-73-&（舍棄）,

.。匚?+冊-'n一

V3

方法二：設半徑是人刖DF=OD=J3r,在三角形，;尸中，由勾股定理得，r=1.

12.（2018?遼陽）如圖，△力仇?是。。的內接三角形，形是。。的直徑，OFA-AB,交力C于點

尸，點E在四的延長線上，射線日/經過點C,且N4?mN〃Z?=180°.

（1）求證：&/是。。的切線；

（2）若N4=N￡BC=M，求陰影部分的面積.（結果保留n和根號）.

解：（1）連接0Q

'：OFLAB.

：.AAOF=9Q°,

??.N》N彳吩90°=180°,

'：ZACB-ZAFO=]80°,

???N4宏=90°+N4

?：OA=OC、

：.ZA=ZACO,

：?4ACE=90°"ACO=/AC//OCE,

：.ZOCE=90°,

/.0C±CE,

???日/是。。的切線；

(2)??.48是。。的直徑，

.?.N4⑦=90。,

ACS/BCO=/BC曰/BCO=qN,

「?4ACO=4BCE,

N4=NE,

NA=ZACO=ZBCE=NE,

/.4ABC=NBCO^4E=24A,

：.ZA=3Q°,

；?N800=60°,

...△8OC是等邊三角形，

OB=BC=

???陰影部分的面積=60?兀x式-?1.

3602"224

13.(2018?廣元)如圖1,。是。。的直徑8C上的一點，過。作DEL8c交O0于E、N,F

是。。上的一點，過尸的直線分別與緲、如的延長線相交于4P,連結〃交外于K

“吟小

(1)求證：〃是。。的切線；

(2)若N/l=30°,。。的半徑為4,DM=\,求掰的長；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連結8尸、BM-,在線段ZW上有一點//,并且以//、久C

為頂點的三角形與△8?相似，求ZW的長度.

，/PHM=/CDM=9G,

、：/PMH=4DMC、

/C=Z.MPH、

?：4C=/4FPM,

：?4HPF=NHPM,

YNHFR/HPF=9G,/HM丹/HPM=9N,

:?/PFH=/PMH、

YOF=OC、

???N"NOFC、

Y48乙CDM=乙步乙PMF=乙8乙PFH=QO0,

：,Z0FOZPFC=90°,

.\Z0FP=9Q°,

二直線以是。。的切線.

(2)解：如圖1中，,.,N4=30°,/AFO=q。。,

，N47尸=60°,

NAOF=ZOFC+ZOCF,NOFXNOCF,

.-.ZC=30°,

?；。。的半徑為4,加1,

：.OA=2OF=3,CD=y[^DM=^,

：.OD^OC-CA4-M，

：.AD=OA^OD=3+^~?=12-5/3,

在RtZ^/IZy7中，

Z?P=/Z>tan30°=(12-5/3)X返=4愿-1,

3

：.PM=PD-DM=4y[3-2.

(3)如圖2中,

由(2)可知：BF=%X4,FC=~/^F=4M，C42D42,CD=M，

C.FM^FC-4/3-2,

①當ACDWABFMR寸,黑=器，

DH_V3

T-4V3-21

:.DH=\2+2\6,

11

'''DN=742-(4-A/3)2=VsV3-3,

：.DH<DN,符合題意，

綜上所述，滿足條件的ZW的值為名近或絲

211

14.(2018?濟南)如圖48是。。的直徑，外與。。相切于點4的與。。相交于點〃，C為

上的一點，分別連接第、CD,ZBCg60°.

(1)求N4劭的度數；

(2)若48=6,求陽的長度.

解：(1)方法一：如圖1,連接42

.?,班是00直徑，

：.ZBDA=9Q0.

,?■BD=BD>

：.NBAXNX60°.

:.NABD=9Q"-NBA8=90°-60°=30°.

方法二：如圖2,連接勿I、OD,則N8a)=2Na2X6(r=120°.

08=OD,

ZOBD^ZODB^—(180°-120°)=30°.

2

即N/8〃=30°.

(2)如圖1,..Y?是。。的切線，

，N班/餐90°.

在中，'：NABD=3Q°,

：.DA=—BA=—Xb=3.

22

\/"^ZZ4=3-\/3.

AR

在Rt△外。中，:cosN4劭=&,

PB

.1.cos30a=且=返.

PB2

JPD=BP-BD=4yf3-3代=返

圖2

圖1

15.(2018?畢節(jié)市)如圖，在△48C中，以8c為直徑的。。交力。于，點￡,過點E作熊的

垂線交48于點尸，交第的延長線于點G,且N4842NC.

(1)求證：&?是。。的切線；

(2)若tan￡"=J",AC=8,求。。的半徑.

證明(1)如圖：連接非，BE

A

E

、：￡ABG=24C、/ABG=

:?乙C=乙A

=

BCABy

?；8C是直徑

:./CEB=9G,且48=8C

：.CE=AE,豆CO=OB

：.0E//AB

?：GEA.AB

：.EG±OE,且如是半徑

.MG是。。的切線

(2)-.^0=8,

:.CE=AE=4

：.BE=2

22=2

BXVCE+BE后

??co^

即。。半徑為收

16.(2018?巴彥淖爾)如圖，為。。的直徑，C,G是。。上兩點，過點C的直線a?_L6G

于點4交班的延長線于點E連接畋交勿于點尸，且8c平分N/82

(1)求證：緲是。。的切線；

(2)若黑=多求*的度數；

(3)連結力〃，在(2)的條件下，若m=2我，求4。的長.

D

00=OB,BC平■侵乙ABD、

，ZOCB=NOBC,ZOBXZDBC,

：.ADBC=^OCB,

：.OC//BD,

：./BDC=/EC0,

■：CD'BD,

:./BDC=qy,

：.ZEC0^90°,

??,0C是＜30的半徑，

...必是0。的切線；

(2)由(1)知，

OC//BD,

NOCF=ZDBF,ZCOF=ZBDF,

:.△OCFS/\DBD,

.OFOC

,DF

.OF_2

FD3'

OC_2

?：OC//BD,

:?△E084EDB