2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷（41）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20.0分）

1.已知x€/?,條件p：x2<X,條件則P是<7的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

2.若a<0,-l<b<0,則下列不等式關(guān)系成立的是（）

A.ab2<ab<aB.a<ab<ab2C.ab2<a<abD.a<ab2<ab

3.過雙曲線C：/一藝=1的右焦點(diǎn)作C的一條漸近線的垂線/,且/與C交于兩點(diǎn)，則|AB|=

4

8

C310

-一

A.33

4.如圖，在棱長為4的正方體力BCD-4B1C1O1中，點(diǎn)E為441的中點(diǎn)，在對

角面BDDiBi上取一點(diǎn)M,使4M+ME最小，其最小值為（）

A.4+2V2

B.6

C.4+2V5

D.4

二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）

5.己知集合4=[1,2,5,6},8={2,3,4},則AnB.

6.拋物線x=-4y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

7.方程g2工）21=0的解為_

8.復(fù)數(shù)z=2-V3-i的模為.

9.若角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，其終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-3,-4）,則tana=

10.定義在R上的函數(shù)f（x）=2乂-1的反函數(shù)為y=/T（尤），貝ij/-i（3）=

11.已知等比數(shù)列{斯}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。2=2,。4=8,則56=.

12.已知△ABC中，4B=90。，AB=代,BC=1.若把△力BC繞邊4c旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的

體積為______

13,已知向量2=（1,0）,b=i）,則（五一區(qū)）?方=

14.甲和乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A、B、C三個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者.若

甲和乙不在同一崗位服務(wù)，則不同的分法有種.(用數(shù)字作答)

15.已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為3,公差為4,則該數(shù)列的前"項(xiàng)和Sn=.

16.已知〃x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)xe[0,2)時，/(x)=||2x-l|-l|,若函數(shù)y=

f(x)-a在區(qū)間[—2,3]上有8個零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題(本大題共5小題，共76.0分)

17.如圖在長方體4BC。中，AB=2,40=4,AC[=>/五，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N

為BC的中點(diǎn).

(1)求長方體ABCD-4&GD1的體積；

(2)求異面直線與B]N所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

18.函數(shù)f(x)=>0,3>0)的部分圖象如圖所示.

(I)求函數(shù)X的解析式；

(II)△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若/弓+9=%,

No

222

其中AW（0《）,J@La4-c-6=ac9求角A,B,C的大小.

19.在研究某市場交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以時間，車輛密

度是該路段一定時間內(nèi)通過的車輛數(shù)除以該路段的長度，現(xiàn)定義交通流量為"=?，x為道路密

度，q為車輛密度.

、(100-135-(i)x,0<x<40

V=/(X)=<3.

{-k(x-40)+85,40<x<80

(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范圍；

(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求車輛密度q的最大值.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A是橢圓9+總=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)，B是上頂點(diǎn)，C是

橢圓位于第三象限上的任一點(diǎn)，連接AC,8C分別交坐標(biāo)軸于P,尸兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)F為左焦點(diǎn)且直線C。平分線段AB,求橢圓的離心率;

O,

P

(2)求證：四邊形AB/T的面積是定值.

21.設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和S="(n+D(4nT),eN*

nw6n

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式.

(2)證明：對一切正整數(shù)〃，有高+京+???[<1

【答案與解析】

1.答案：C

解析：

本題主要考查不等式的解法，充分條件和必要條件的判定等知識，屬于基礎(chǔ)題.

分別求解所給的兩個不等式，得到其對應(yīng)的集合，然后確定充分性和必要性即可.

解：求解二次不等式/<可得0<x<l,則4={x[0<x<1},

求解分式不等式:>1可得0<x<1,則B={x|0<x<1},

因?yàn)?=8,所以p是q的充分必要條件.

故選：C.

2.答案：D

解析：

本題考查了由不等式的性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

直接根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得解.

解：a<0.-1<b<0,

■-1>b2>b,可得a<ab?<ab,

故選。.

3.答案：B

解析：

本題考查雙曲線的性質(zhì)及幾何意義，漸近線方程，屬于中檔題.

由題意得取C的一條漸近線y=2x,求出/的方程，代入雙曲線得到一個二元一次方程，設(shè)A、B點(diǎn)

的坐標(biāo)，代入公式求值.

解：???雙曲線C：/一藝=1的右焦點(diǎn)作C的一條漸近線的垂線/,

4

???取C的一條漸近線y=2x,

則/的方程為y=——而），

代入/一匕=1,

4

得15M+26X-21=0,

設(shè)8（X2,丫2），

則X]+犯=—~77',X1X2=-1

2Xx2

則MB|=Jl+（-1）V（1+2）-4%1X2=|.

故選B.

4.答案：B

解析：

本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

設(shè)棱CCi的中點(diǎn)為F,由正方體的對稱性，則可知ME=MF,因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，連接4尸求解

即可.

解：取CC]的中點(diǎn)F,由正方體的對稱性可知，ME=MF,

AM+ME=AM+MFAF

—J42+42+22

=6,

故選B.

5.答案：{2}

解析：解：集合4={1,2,5,6},5={2,3,4},則4cB={2}.

故答案為:{2}.

直接利用交集的運(yùn)算法則求解即可.

本題考查交集的定義，交集的求法，是基礎(chǔ)題.

6.答案：（一白,0）

解析：解：整理拋物線方程得y2=-[K，

???焦點(diǎn)在X軸，p=3，.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一白,0）

o16

故答案為:（一2。）.

先把拋物線整理標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸和p,進(jìn)而求得焦點(diǎn)坐標(biāo).

本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).求拋物線的焦點(diǎn)時，注意拋物線焦點(diǎn)所在的位置，以及拋物線

的開口方向.

7.答案：log25

解析：

本題考查二階行列式的求法，考查行列式展開法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用行列式展開法則列出方程，從而能求出結(jié)果.

解一?方程C2上2卜。'

???2%-2-3=0,

解得％=log25.

故答案為：log25.

8.答案：V7

解析：解：復(fù)數(shù)z=2-8

則|z|=|2-V3-i|=卜+（-73）2=V7.

故答案為：V7.

直接利用復(fù)數(shù)的求模公式求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，模的求法，考查計算能力.

9.答案：5

解析：解：角Q的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，其終邊經(jīng)過點(diǎn)尸（-3,-4）,則tcma=三=：,

一JO

故答案為：

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tana的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：2

解析：解：???/（x）=2X-1,

"y=/T（X）=10g2（X+1），

二尸⑶=2.

故答案為：2.

求出函數(shù)的解析式，代值計算即可.

本題考查了反函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：63

解析：解：設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的公比為q>0,「a2=2,a4=8,

?1?2q2=8,解得q=2.

2al=2,解得%=1.

則56=當(dāng)=63.

故答案為：63.

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出.

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.答案：三

解析：解：把△力BC繞邊4c旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為兩個同底圓錐的組合體.

在Rt△力BC中，AC=yjAB2+BC2=2.

???圓錐的底面半徑r=絲竺=隹.

AC2

兩個圓錐的高度之和為4c=2.

V=扣$2X2=攝

故答案為今

所得幾何體為同底的兩個圓錐的組合體.

本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計算，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：0

解析:解：0_石)不=巳一?&3=：_?0,

故答案為：0.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)將優(yōu)石的坐標(biāo)代入計算即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.

14.答案：138

解析：解：利用間接法由題意得，五名志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C三個不同的崗位，每個崗位至

少有一名志愿者人，

可以有一個崗位3人,其余各1人,有或蜀=60種，也可能有一個崗位1人,其余各2人，有3第肉=90

種，

要滿足甲、乙被同時安排在A崗位，則相當(dāng)于把其余3人分到A,B,C崗位，有題+戲掰=12種，

故甲和乙不在同一崗位服務(wù)，則不同的分法有60+90-12=138.

故答案為：138.

利用間接法由題意得，再排除甲乙兩人在同一崗位的分配方法，問題得以解決.

本題主要考查了排列組合中的分配問題，關(guān)鍵是如何分組，屬于中檔題

15.答案：2n2+n

解析：解：由題意可得%=3,公差d=4,

0,n(n-l),

=nal2d

=3n+2n(n-1)=2n2+n

故答案為：2n2+九

由題意代入等差數(shù)列的求和公式可得.

本題考查等差數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題.

16.答案：(0,1)

2x0<x<|

2-2x-<x<l

{2x-21<x<2

根據(jù)/(尤)在R上的周期為2,可以畫出在［一2,3］上的圖象:

如圖，令/'(x)—a=0,/(x)=a；

???函數(shù)y零點(diǎn)的情況即函數(shù)與函數(shù)y=a交點(diǎn)的情況;

二函數(shù)f(x)和y=a有8個不同交點(diǎn)；

有圖象可以看出a的取值范圍是(0,1).

故答案為：(0,1).

0<x<|

通過去絕對值，》6［0,2)時，/(x)=\-2X

21<X<v所以可以畫出/(x)在［0,2)上的圖象，因

2-

<2%—21<x<2

為的周期為2,所以可以得到f(x)在［一2,3］上的圖象.令丫=/。)一。=0得，/(x)=a,所以

函數(shù)y=/(%)-a零點(diǎn)的個數(shù)即函數(shù)/(x)與函數(shù)y=a交點(diǎn)的個數(shù)，而由圖象即可看出與y=a交

點(diǎn)個數(shù)為8時七的取值范圍.

考查對含絕對值函數(shù)的處理辦法：討論x取值，去掉絕對值，函數(shù)周期的概念，以及知道函數(shù)一個

周期上的圖象畫出其它范圍的函數(shù)圖象的方法，以及函數(shù)零點(diǎn)和方程解的關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合解決

問題的方法.

17.答案：解：(1)連AC、4cl.???△ABC

是直角三角形，AAC=V22+42=

2V5.

vABCD-①當(dāng)加歷是長方體，二

GC1BC,GC1CD,

乂DCCBC=C,GC1平面ABC。，

MB

???GC1AC.

又在中，

RM4CC1ACr=vn.AC=2V5.

???CC]=1,.-------6分

二長方體4BC0-&B1C1D]的體積廿=S矩形ABCD義CC】=4Bx4DxCC】=2x4x1=8.

(2)如圖，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(4,0,1),M(4,l,0),Bi(4,2,1),N(2,2,0),

.,.而0=(0,1,-1),B^N=(-2,0,-1),10分

則向量硒與瓦萬所成角夕滿足cos。=其需=等.

11141MH81N|10

異面直線與B]N所成的角等于arccos^.14分

解析：連、】，推導(dǎo)出從而。平面進(jìn)而由此能

(1)ACACCiCJ.BC,CrCLCD,C1_LABCC,GC1AC.

求出CC「從而能求出長方體ZBCD—4B1GQ的體積.

(2)以。為原點(diǎn)，QA為x軸，OC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異

面直線41M與&N所成的角.

本題考查長方體的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查幾何體的體積'空間角等基礎(chǔ)知

識，考查運(yùn)算求解能力，考查統(tǒng)計與概率思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

18.答案：解:(1)由圖象可知“=2...(2分)

11-=—--=-,

4884

AT=71…(4分)

???3=票=2…(5分)

故函數(shù)X的解析式為f(%)=2sm(2x-9...(6分)

(口)由(1)知/?+鄉(xiāng)=2$譏4=遮，

Z8

??.sinA=y...(7分)

???AE(0(),???4=；.?.(8分)

由余弦定理得：cosB=°-=—=工…(9分)

2ac2ac2'

vBG（0,兀）,???B=g...（10分）

從而C=兀一(A+B)=梟

???4=B=C='.(12分)

解析：(I)利用最高點(diǎn)，確定M，求出函數(shù)的周期，可得3,即可求函數(shù)的解析式；

(U)根據(jù)/(?+》=百，求出A,由a2+c2-i>2=ac,利用余弦定理，可求B,從而可求C.

本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查余弦定理，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.

19.答案：解：(1)；"=%越大，x越小，

.?.V=/(%)是單調(diào)遞減函數(shù)，k>0,

當(dāng)404工工80時，u最大為85,

于是只需令100-135?(：尸>95,解得x>3,

故道路密度x的取值范圍為(3,40).

(2)把x=80,v=50代入u=f(x)=-fc(x-40)+85中，

得50=-fc-40+85,解得k="

O

100%-135?(1)x?%,0<%<40

7，

——(x-40)%+85%,404久工80

(8

當(dāng)0<x<40時，q單調(diào)遞增，q<100X40-135X(|)40X40=4000；

當(dāng)40WXW80時，q是關(guān)于x的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為％=等，

11|-1_Lt-E3t一/十、，.7，480、2.re48028800/ccc

此時夕有最大值，為一段*(<)2+120乂丁=—；—>4000.

8777

故車輛密度4的最大值為竺羅.

解析：本題考查分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運(yùn)算能力，屬于

中檔題.

(1)易知V越大，X越小，所以u=/"(%)是單調(diào)遞減函數(shù)，fc>0,于是只需令100-135?G)x>95,

解不等式即可；

(2)把％=80,u=50代入u=/(%)的解析式中，求出攵的值，利用q=心可得到4關(guān)于*的函數(shù)關(guān)

系式，分段判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出各自區(qū)間上“的最大值，取較大者即可.

20.答案：解：(1)設(shè)橢圓焦距為2c,則B(0,b),F(-c,0),直線M的方程為巳+?=1,

仔+看=12?,1

聯(lián)立方程組黃&n3+(1+鏟=1,即(專++粗2+2.0,

(一+京=1

所以。(一^,一呆),

又48中點(diǎn)。(右§,因C。平分線段A8,所以C,。，。三點(diǎn)共線，

則々oc=koD，所以2=—r-y則垓=2ac=>a2-c2=2ac=>1—e2=2e,

a2a2c

所以e=y/2—1.

(2)證明:設(shè)C(x0,yo),則直線AC的方程為丫=含(X一砌,所以P(0,豫)；

直線8C的方程為y=§3x+b,所以尸(巖,0)；

所以|4F|=a-巖，|BP|=b一答，

o-yoaxo

因?yàn)闋t瑤+a2y^=a2b2,

則四邊形ABFP的面積\AF\'\BP\=hab+,岫普、一老曳一簪)=；

S=11(ab+