電路分析-拉普拉斯變換第一頁，共61頁。本章重點(diǎn).常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì).復(fù)頻域中的電路定律.運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納.拉普拉斯變換法分析電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng).網(wǎng)絡(luò)函數(shù).返回目錄第二頁，共61頁。15.1拉普拉斯變換一、拉氏變換（Laplacetransformation）的定義（Laplacetransformation）（inverseLaplacetransformation）f(t)和F(s)是一對(duì)拉普拉斯變換（Laplacepairs）對(duì)。第三頁，共61頁。記號(hào)?

[f(t)]表示取拉氏變換。?

-1[F(s)]表示取拉氏反變換。f(t)，t[0,)稱為原函數(shù)（originalfunction），屬時(shí)域（timedomain）。原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t)，u(t)。F(s)稱為象函數(shù)（transformfunction），屬復(fù)頻域（complexfrequencydomain）。象函數(shù)F(s)用大寫字母表示，如I(s)，U(s)。稱為復(fù)頻率（complexfrequency）。第四頁，共61頁。積分下限從0開始，稱為0拉氏變換。積分下限從0+開始，稱為0+拉氏變換。當(dāng)f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)，此項(xiàng)00+拉氏變換和0拉氏變換的區(qū)別：為了把0-0+時(shí)沖激函數(shù)的作用考慮到變換中，以下拉氏變換定義式中積分下限從0-

開始。第五頁，共61頁。二、拉氏變換存在條件不同的f(t)，0的值不同，稱0為復(fù)平面s內(nèi)的收斂橫坐標(biāo)。0j0收斂坐標(biāo)收斂軸收斂區(qū)第六頁，共61頁。電工中常見信號(hào)為指數(shù)階函數(shù)，即由于單邊拉氏變換的收斂問題較為簡單，在下面的討論中一般不再寫出其收斂范圍。返回目錄第七頁，共61頁。=115.2常用函數(shù)的拉普拉斯變換?

?

?

?

第八頁，共61頁。??????第九頁，共61頁。1f1(t)e-tt0例求圖示兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式1f2(t)e-tt0解由于定義的拉氏變換積分下限是0－，兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式相同當(dāng)取上式的反變換時(shí)，只能表示出區(qū)間的函數(shù)式返回目錄?-1第十頁，共61頁。15.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性（linearity）性質(zhì)???例1?例2?例3??第十一頁，共61頁。二、原函數(shù)的微分（differentiation）???例1??例2??第十二頁，共61頁。三、原函數(shù)的積分（integration）例?????第十三頁，共61頁。四、時(shí)域平移（timeshift）f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移??第十四頁，共61頁。例1求圖示函數(shù)的拉氏變換式例2求圖示函數(shù)的拉氏變換式1Ttf(t)0TTf(t)0第十五頁，共61頁。例3周期函數(shù)（periodicfunction）的拉氏變換。設(shè)f1(t)為第一個(gè)周期的函數(shù)，...tf(t)1T/2T0???第十六頁，共61頁。五、復(fù)頻域平移（frequencyshift）??第十七頁，共61頁。六、初值(initial-value)定理和終值(final-value)定理初值定理若?[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0處無沖激，則例1例2例3終值定理f(t)及其導(dǎo)數(shù)f(t)可進(jìn)行拉氏變換，且，則???第十八頁，共61頁。例1例2例3返回目錄??第十九頁，共61頁。15.4拉普拉斯反變換一、由象函數(shù)求原函數(shù)（2）經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表象函數(shù)的一般形式：二、將F(s)進(jìn)行部分分式展開（partial-fractionexpansion）f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式較麻煩第二十頁，共61頁。等式兩邊同乘(s-s1)=0第二十一頁，共61頁。ki也可用分解定理求等式兩邊同乘（s-si）應(yīng)用洛比達(dá)法則求極限第二十二頁，共61頁。例1第二十三頁，共61頁。例2用分解定理例3m>n，用長除法，得第二十四頁，共61頁。k1,k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。假設(shè)只有兩個(gè)根可據(jù)前面介紹的兩種方法求出k1,k2。設(shè)第二十五頁，共61頁。例法一：部分分式展開，求系數(shù)。第二十六頁，共61頁。法二：將F2(s)改寫為(s＋)2+2第二十七頁，共61頁。等式兩邊乘第二十八頁，共61頁。例1例2等式兩邊乘第二十九頁，共61頁。第三十頁，共61頁。一般多重根情況返回目錄第三十一頁，共61頁。一、電路元件的運(yùn)算形式（operatorform）電阻Ru=Ri15.5復(fù)頻域中的電路定律、電路元件與模型+u-i(t)R+U(s)

-I(s)R取拉氏變換第三十二頁，共61頁。電感LiL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏變換sL+

-UL(s)IL(s)第三十三頁，共61頁。電容C+uC

-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏變換第三十四頁，共61頁?；ジ蠱取拉氏變換ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-第三十五頁，共61頁。受控電源+-U1(s)+-

RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、電路定律的運(yùn)算形式第三十六頁，共61頁。+u-iRLC設(shè)電路無初始儲(chǔ)能+U(s)-I(s)RsL1/sC運(yùn)算形式的歐姆定律運(yùn)算阻抗（operationalimpedance）運(yùn)算導(dǎo)納（operationaladmittance）第三十七頁，共61頁。三、運(yùn)算電路模型（1）電壓、電流用象函數(shù)形式。（2）元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納。（3）電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。時(shí)域電路RRLCi1i2E(t)+-運(yùn)算電路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-第三十八頁，共61頁。uC(0-)=25ViL(0-)=5A時(shí)域電路t=0時(shí)打開開關(guān)例52F2010100.5H50V+-uC+

-iL換路后運(yùn)算電路0.5sUC(s)20-++1/2s25/s2.55IL(s)+--解返回目錄第三十九頁，共61頁。15.6拉普拉斯變換法分析電路步驟（1）由換路前電路計(jì)算uC(0-),iL(0-)；（2）畫運(yùn)算電路模型；（3）應(yīng)用電路分析方法求出待求變量的象函數(shù)；（4）反變換求原函數(shù)。t=0時(shí)閉合S，求iL，uL。例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S第四十頁，共61頁。（2）畫運(yùn)算電路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---解第四十一頁，共61頁。200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---第四十二頁，共61頁。（4）反變換求原函數(shù)校核初值和終值第四十三頁，共61頁。第四十四頁，共61頁。要考慮初值思考：uL是哪兩端的電壓？200/s

300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---UL(s)+-第四十五頁，共61頁。例2求圖示電路的單位沖激響應(yīng)uC(t)，iC(t)

。RCuC(t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-第四十六頁，共61頁。tuC(V)0返回目錄tiC0第四十七頁，共61頁。15.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（NetworkFunction）一、定義單個(gè)獨(dú)立源作用的線性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)轉(zhuǎn)移函數(shù)（transferfunction）第四十八頁，共61頁。RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與激勵(lì)無關(guān)；網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)。第四十九頁，共61頁。1.策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)策動(dòng)點(diǎn)阻抗策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納2.轉(zhuǎn)移函數(shù)（傳遞函數(shù)）轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-第五十頁，共61頁。三、單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的關(guān)系零狀態(tài)(t)h(t)e(t)r(t)若單位沖激響應(yīng)h(t)已知，則任意激勵(lì)e(t)產(chǎn)生的響應(yīng)r(t)可求。單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一對(duì)拉氏變換對(duì)。返回目錄第五十一頁，共61頁。15.8網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)（Pole）和零點(diǎn)（Zero）一、復(fù)頻率平面j在復(fù)平面上用“”表示極點(diǎn)，用“。”表示零點(diǎn)。極點(diǎn)。零點(diǎn)第五十二頁，共61頁。j。2-3例繪出其極零點(diǎn)圖。（pole-zerodiagram）-1j-j0第五十三頁，共61頁。二、極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系H(s)在s平面上極點(diǎn)位置不同，沖激響應(yīng)波形不同。單位沖激響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是一對(duì)拉氏變換對(duì)。第五十四頁，