流體靜力學莫乃榕第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一目錄§2-1靜止流體的應力§2-2流體靜止的微分方程§2-3重力作用下靜止液體的壓強分布§2-4液體的相對靜止§2-5測壓計§2-6靜止液體作用在平面上的總壓力§2-7靜止液體作用在曲面上的總壓力§2-8浮體和潛體的平衡及穩(wěn)定第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一思考1擋水墻的靜水壓強按什么規(guī)律分布?擋水墻所受的總壓力是多少?第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一思考2提升閘門所需多大的力F

?第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一思考3珠穆朗瑪峰頂上的壓強只有0.3個大氣壓,空氣密度只有地面空氣密度的0.4倍?這是為什么?第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一思考4新西蘭人威廉?特魯布雷利創(chuàng)造了徒手潛水115m的世界紀錄。海面下115m深處的水壓強是多少?第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一目錄§2-1靜止流體的應力特征§2-2流體靜止的微分方程§2-3重力作用下靜止液體的壓強分布§2-4液體的相對靜止§2-5測壓計§2-6靜止液體作用在曲面上的總壓力§2-7靜止液體作用在曲面上的總壓力§2-8潛體和浮體的平衡及穩(wěn)定第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-1靜止流體的應力特征特征1：靜止流體只能承受壓應力，即壓強。如果靜止流體受到拉力作用，則流體分子之間距離就會變化，發(fā)生運動。如果靜止流體受到切力作用，則流體微團就會變形，發(fā)生運動。因此靜止流體不能承受拉力和切力。靜止流體可以承受壓力。此時，流體分子的斥力與外力保持平衡。第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一特征2：作用在靜止流體質點上各個方向的靜壓強大小相等。證明：任取一個流體四面體。我們將證明該四面體的斜面上的壓應力與另外三個坐標面上的壓應力相等，從而證明特征2。設四面體Oabc的3條棱為Δx、Δy、Δz。，斜面abc的面積為A，外法線為n。第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一3個坐標面上的壓應力分別為px、py

、pz。斜面abc的壓應力為pn

。四面體在4個表面力和重力的作用下保持靜力平衡，其力平衡矢量方程為：第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一x方向的靜力平衡方程為式中，Acos(n,x)表示斜面在x方向的投影（即用一束平行于x軸的光線照射斜面所得到的投影）面積。由圖看出：Acos(n,x)=第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一x方向的靜力平衡方程可改寫為：當四面體Oabc縮小成為一點時，Δx→0，Δy→0，Δz→0，于是有：px=pn。同理可證：py=pn，pz=pn?？梢?，任何一點所受到的各個方向的壓強值都相等。第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-2流體靜止的微分方程作用在邊長為dx,dy,dz的微元體的表面力和質量力的合力等于零。x方向的靜力平衡：化簡得同理第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一壓差相距dx,dy,dz的兩個鄰點的壓強差：兩個鄰點的壓強差與流體密度、質量力、兩點之間的距離有關。第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一質量力有勢的概念如果存在一個空間函數(shù)w(x,y,z),滿足則w=w(x,y,z)稱為質量力的勢函數(shù)。在重力場中:第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-3靜止液體的壓強分布1.液體壓強的分布式液體ρ=常數(shù),質量力只有重力，f=g。取z軸為海拔高度方向，則（流體靜力學基本方程）第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一流體靜力學基本方程的另一種形式：h稱為淹深。第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.測壓管水頭任意點的位置水頭與壓強水頭之和稱為測壓管水頭。它表示測壓管液面到基準面的高度。第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一用開口管測壓強，液柱高度為測壓管液柱高度：用真空管測壓強，液柱高度為第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一3.相對壓強和真空壓強絕對壓強p（Pa）相對壓強（表壓強）P－Pa

Pa是當?shù)卮髿鈮赫婵諌簭奝a－P第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一4.壓強分布圖承壓面各點所受到的液體壓強可用箭頭表示。箭頭長短與壓強值成正比，箭頭方向垂直指向物面。第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-4液體的相對靜止相對靜止：對于運動坐標保持靜止相對靜止液體所受到的質量力包括重力和慣性力。單位質量流體受到的慣性力，其大小與加速度相等，方向則相反。第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一1.液體隨容器的等加速度直線運動盛有液體的容器隨小車以加速度a向右運動。設動坐標的原點位于液面中點。求壓強分布：第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一令壓強等于常數(shù)，得到等壓面方程：液面也是等壓面，故其方程為：第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.液體隨容器作等角速度旋轉動坐標原點在液面最低點。點向心加速度：ar=ω2r慣性力為離心力。第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一等角速度旋轉容器內液體的壓強分布：第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一等壓面方程：液面方程：第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2-1圓柱形桶，高h，底面直徑d，桶內盛有1/3體積的油，2/3體積的水。桶以角速度ω繞中心軸旋轉。當ω為多大時，油全部被拋出？第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：解題使用高等數(shù)學結論：旋轉拋物面所圍的體積等于同高圓柱體體積的一半。油全部甩出后，余下的水的液面呈漏斗狀，液面最低點到桶底的高度設為h0，則有第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一利用液面方程求旋轉角速度。第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-5測壓計1.金屬壓力計第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.壓力傳感器第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一3.液柱式壓差計將不同的壓強接入相互連通的測壓管，則測壓管液柱高度就不相同。1.U形管測壓計測點的相對壓強：第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.復式壓差計圖示的復式壓差計有兩個U形管組成。此壓差計連接兩根水管的測壓點。求兩水管的壓差：第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一3.傾斜微壓計第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2-3雙杯式微壓計兩個杯內盛油，密度ρ’

=850kg/m3，直徑D=30mm，聯(lián)通管盛水，ρ

=1000kg/m3，直徑d=5mm，當p

1=p

2時，油液面，水液面皆平齊。p

1>p2時，聯(lián)通管水液面高差h=20mm。求：p1-p

2第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一初始時聯(lián)管兩邊的水面平齊，設此時的水面與油面高差為h0。測壓時，左聯(lián)管水面下降至3，右水面升高至4。考慮水面3的壓強。第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一容器里的部分油液進入了連管。第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-6靜止液體作用在平面壁的總壓力結論：平板所受的總壓力的大小F等于平板形心的壓強乘以板的面積平面上的微小面積dA，左邊承受液體壓強p。右邊承受大氣壓強pa?？倝毫閐F=(p-pa)dA。由此計算整個平面的壓力：第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩形平板受到的靜水總壓力情況1：平板上緣與水面平齊?？倝毫Φ拇笮≈?第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩形平板受到的靜水總壓力壓力中心（總壓力的作用點）的計算：第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一導引：平板承受不同分布荷載時的總壓力平板受三角分布荷載:總壓力為F=p1A/2，合力作用點距離板的兩端的距離之比為2:1。平板受均布荷載:總壓力為F=p2A，合力作用點在板的中心。第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一矩形平板受到的靜水總壓力情況2：平板上緣低于水面。壓強分布如圖所示，此分布可視為三角分布荷載與均布荷載的疊加。第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2-5矩形平板閘門可繞A轉動。已知：閘門傾角θ=60°，寬度B=1m,左邊水深H=6m,右邊水深h=2m,閘墩擋水深度h1=1.5m。求：提升閘門所需的力Ft。解：平板左側、右側擋水長度L、l分別為：第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一F1作用點距A軸:L/2F2作用點距A軸:2L/3F3作用點距A軸:L-l/3第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一課堂練習均質平板閘門可繞鉸軸轉動。板長l=2.5m，板寬b=1.5m。兩側水深：H1=4m，H3=1m。鉸軸到渠底的高度H2=2m。若使閘門不能自動開啟。求板的自重G。解：第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

F1F2F3G73552.5N36776.3N18388.1N153234N第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-7靜止液體作用在曲面壁的總壓力曲面上的微小部分可視為平面，其面積dA，左邊承受液體壓強p。右邊承受大氣壓強pa。微面積的總壓力為dF=(p-pa)dA，其方向與微面垂直。由于各微小面積壓力方向不同，因此計算整個平面的壓力時需用投影式。第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一微小面積受到的壓力在水平方向和垂直方向的分量分別為整個曲面所受到的壓力在水平方向和垂直方向的分量分別為：第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一V稱為壓力體的體積。V是由無數(shù)條曲面上各點的淹深線所組成的空間的體積?？倝毫Γ旱?1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一舉例:壓力體如圖巨石擋水，垂直方向的總水壓力以朝上為正，朝下為負。FZ=ρg(V

banc

-V

ebam)=ρgV

manc第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一例2-6半徑R的水泥管，將左右兩側的積水隔開。左側為純水，密度ρ=1000kg/m3，水面與管平齊。右側為泥漿水，密度ρ’=1200kg/m3，水深h。若左右兩側的鉛直總水壓力相等，求h/R之值。第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一

解：第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一解：方法1，試算法。第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一選初值θ=1.0rad。迭代過程值為：θ=1，0.984639650.9844843990.984484356方法2，迭代法。第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一§2-7潛體和浮體的穩(wěn)定及平衡1.浮力浮力是浸沒于液體的物體所受到的液體總壓力在鉛直方向的分力，可以用壓力體法求得。例如，對于圖中的浮體，如果液體的密度為ρ，則浮力為：第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一2.潛體的平衡與穩(wěn)定完全沒入液體的物體稱為潛體。潛體所受到的浮力Fz的作用點D稱為浮心。物體所受到的重力G的作用點C稱為重心。潛體在液體中靜止平衡時，浮力和重力必在同一鉛直線上。如圖(a)所示。第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一潛體如果受到外力作用而偏離其平衡位置之后，能否自行恢復到原平衡位置，這個問題稱為潛體的平衡問題。如果浮心D在上，重心C在下，當潛體偏離平衡位置時，浮力和重力就組成扶正力偶，使?jié)擉w恢復到原來的平衡位置，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。如圖所示(b)。第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一如果浮心D在下，重心C在上，當潛體偏離平衡位置時，浮力和重力就組成傾覆力偶，使?jié)擉w發(fā)生翻轉而不能自行恢復到原來的平衡位置，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡。如圖所示(c)。如果浮心D和重心C重合，則潛體在任何傾斜位置都能保持平衡。這種平衡稱為穩(wěn)定平衡，如圖(d)所示。第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一3.浮體的平衡及穩(wěn)定圖(a)表示對稱浮體的平衡。浮體與頁面的交面AB稱為浮面。浮心D與重心C的連線稱為浮軸。浮心與重心的距離CD稱為偏心距，記作e。浮體受到風吹、浪打等外力作用時就會發(fā)生傾斜。此時，浮體沒入液體中的部分為A’B’，浮心為D’。浮力F’z與浮軸的交點M稱為定傾中心。M到原平衡狀態(tài)的浮心D的距離MD稱為定傾半徑。記作R。第61頁，共68頁，2023年，2月20日，星期一如果R>e，則浮力F’