電磁場(chǎng)與電磁波課件第三章恒定電場(chǎng)2023/5/1第三章1第1頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章2

電荷（載流子）在電場(chǎng)的作用下發(fā)生宏觀運(yùn)動(dòng)，形成真實(shí)電流．這樣形成的電流有傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流之分．

傳導(dǎo)電流：在導(dǎo)電媒質(zhì)（導(dǎo)體、半導(dǎo)體、漏電介質(zhì)）中，電荷（載流子）的流動(dòng)形成的。

運(yùn)流電流：真空中或氣體中電荷（載流子）流動(dòng)所形成。

可見，傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流都是由真實(shí)存在的電荷（正電荷或負(fù)電荷，統(tǒng)稱為載流子）運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。除了這兩種電流外還有一種電流稱為位移電流。它是變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的，它不表示任何帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，它遵從麥克斯韋方程組。第2頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章33.1電流密度電流：

單位時(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量。（3-1）

電流是標(biāo)量（正、負(fù)）。反映的是某一橫截面電荷的流動(dòng)情況。若要研究橫截面內(nèi)某一點(diǎn)的電荷的流動(dòng)情況，則必須引入以下幾個(gè)矢量：第3頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章41、體電流密度矢量：

定義：（3-2）其中：為正電荷運(yùn)動(dòng)（電流）的方向。包圍被研究的點(diǎn)，垂直于的面元。面元上通過的電流。單位：A/㎡與時(shí)間無關(guān)，但一般與空間坐標(biāo)有關(guān)，即恒定電場(chǎng)中：第4頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章5電流線：在靜電場(chǎng)中，用電力線描述電場(chǎng)分布，在恒定電場(chǎng)中，一般采用則電流線來描述電流密度分布

通過任意面積S的總電流為：（3-3）電流可以表示成電流密度的通量的形式。

第5頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章6在電荷流動(dòng)區(qū)域某點(diǎn)，取一垂直于電流流動(dòng)方向的面元，則時(shí)間內(nèi)，穿過的電荷量為：（3-4）故與運(yùn)動(dòng)電荷的體密度及運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系：第6頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章72、面電流密度矢量：

當(dāng)電流在厚度可以忽略的薄層中流動(dòng)時(shí)，則可以近似認(rèn)為電流是在一厚度為零的曲面上流動(dòng)，從而引入面電流及面電流密度矢量。定義：的大小為垂直于電流方向的單位長(zhǎng)度上流過的電流，方向?yàn)殡娏髁鲃?dòng)方向即（3-6）第7頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章8流過任意線段的電流I：（3-1-6）與運(yùn)動(dòng)電荷的面密度及速度的關(guān)系：在電荷流動(dòng)區(qū)域某點(diǎn)，取一垂直于電流流動(dòng)方向的線元，則時(shí)間內(nèi)，穿過的電荷量為：（3-8）第8頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章9時(shí)間內(nèi)，流過細(xì)導(dǎo)線的電荷量為：若運(yùn)動(dòng)電荷的線密度為，其運(yùn)動(dòng)速度為。則3、線電流I：若電荷沿細(xì)導(dǎo)線或空間一線形區(qū)域流動(dòng)，則可將此電流視為沿截面為零的幾何線流動(dòng)的線電流。第9頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章103.2

歐姆定律3.2.1歐姆定律：靜電場(chǎng)中：導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)處處為零。恒定電場(chǎng)中：導(dǎo)體內(nèi)有恒定的電流，因而，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)為恒定電場(chǎng)。源外第10頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章111、微分形式：實(shí)驗(yàn)證明：（3-10）其中：電導(dǎo)率：[西（門子）每米]S/m在均勻、線性、各向同性媒質(zhì)中，為一常數(shù)。源外反映的是導(dǎo)體中某點(diǎn)的導(dǎo)電情況，：第11頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章12其中歐姆定律的積分形式反映的是：一段有限長(zhǎng)度為，且橫截面也有限的導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律。源外12R2、積分形式：（3-11）第12頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章133、含源歐姆定律的微分形式：若導(dǎo)體內(nèi)要維持一恒定的電場(chǎng)（產(chǎn)生一定的電流），則必須有電源存在，在電源內(nèi)部，正電荷是由負(fù)極向正極流動(dòng)的，即逆靜電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)，那么，電源內(nèi)部必存在另一種力——非靜電力（非電場(chǎng)力）。第13頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章14仿靜電場(chǎng)的定義：將非靜電力與電荷的比值定義為非庫侖場(chǎng)，以表示。只存在于電源內(nèi)部。但電源內(nèi)部同時(shí)也存在庫侖場(chǎng)（恒定電場(chǎng)）。電源外部則只有庫侖場(chǎng)。與方向相反。則含源歐姆定律的微分形式為：（3-12)源內(nèi)：為電源內(nèi)部導(dǎo)電物質(zhì)的電導(dǎo)率第14頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章154、含源歐姆定律的積分形式：∵即是由分布恒定的電荷產(chǎn)生的，與靜電場(chǎng)一樣。21∵第15頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章16電源電動(dòng)勢(shì)物理意義：非靜電力將單位正電荷從負(fù)極經(jīng)源內(nèi)移至正極時(shí)所做的功。而（3-14）有源歐姆定律的積分形式令第16頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章173.2.2焦耳定律：導(dǎo)體在電場(chǎng)作用下，導(dǎo)電粒子產(chǎn)生定向漂移運(yùn)動(dòng)。在微觀上，則表現(xiàn)為導(dǎo)電粒子在做定向運(yùn)動(dòng)時(shí)，還會(huì)不斷地與原子發(fā)生碰撞，結(jié)果，導(dǎo)體溫度升高。電場(chǎng)能

熱能1、微分形式：設(shè)電流是由體密度為的運(yùn)動(dòng)電荷以速度定向運(yùn)動(dòng)形成，則時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)力對(duì)體積元中的電荷所做的功為宏觀上導(dǎo)電粒子損失動(dòng)能第17頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章18即則電場(chǎng)在導(dǎo)電媒質(zhì)單位體積中消耗的功率為：（3-15)焦耳定律的微分形式2、積分形式：導(dǎo)電媒質(zhì)整個(gè)體積V中消耗的功率為：（3-17）第18頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章19一段長(zhǎng)為，橫截面為S的導(dǎo)線消耗的功率為：（3-18）此即為我們熟知的焦耳定律。第19頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章20例3-1p96第20頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章213.3

恒定電場(chǎng)的基本方程3.3.1、電流連續(xù)性方程：

據(jù)電荷守恒原理：從任一閉合曲面S流出的電流應(yīng)等于從S所包圍的體積中單位時(shí)間內(nèi)電荷減少的數(shù)量。即（3-19）1.積分形式：第21頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章222.微分形式：應(yīng)用散度定理：則電流連續(xù)性方程的積分形式可寫成：（3-21）第22頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章23電流為無散源3.3.2恒定電場(chǎng)的基本方程：1、恒定電流是連續(xù)的：對(duì)恒定電場(chǎng)而言，電荷的空間分布與時(shí)間無關(guān)。（3-22）（3-23）電流線總是閉合曲線第23頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章242、恒定電場(chǎng)是無旋場(chǎng)：

維持恒定電流的電場(chǎng)為恒定電場(chǎng)。即維持恒定電流的電荷分布是與時(shí)間無關(guān)的。因而，恒定電場(chǎng)同靜電場(chǎng)一樣，均是由不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的。

但恒定電場(chǎng)存在電源外與電源內(nèi)，我們所說的恒定電場(chǎng)均視為電源外。故恒定電場(chǎng)無旋：（3-24）（3-25）積分微分即第24頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章253、恒定電場(chǎng)也可用電位梯度表示：（3-26）4、恒定電場(chǎng)滿足拉普拉斯方程（均勻線性各向同性）即∴（3-27）第25頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章263.3.3導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體電荷：1、恒定電場(chǎng)中不均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)有體電荷：據(jù)高斯通量定理：即若媒質(zhì)不均勻，則均與坐標(biāo)位置有關(guān)。恒定電場(chǎng)：（3-29）是在媒質(zhì)中的電流進(jìn)入恒定狀態(tài)之前堆積的。第26頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章272、均勻媒質(zhì)進(jìn)入恒定狀態(tài)之前也有體電荷分布：據(jù)電流連續(xù)性方程：若媒質(zhì)均勻：則即第27頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章28積分得：（3-30）其中馳豫時(shí)間。它說明經(jīng)過秒后，將減至初始值的對(duì)大多數(shù)l導(dǎo)體，很短例如：銅它說明：對(duì)均勻?qū)w而言，接入電源后，瞬間就能使導(dǎo)體進(jìn)入恒定狀態(tài)，最終第28頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章29例：在無界非均勻媒質(zhì)中（電導(dǎo)率和介電常數(shù)均是坐標(biāo)的函數(shù)），若有恒定電流存在，證明:媒質(zhì)中的自由電荷密度為：證明：對(duì)恒定電流有即第29頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章30而即證畢第30頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章313.4分界面上的邊界條件一、電流密度的邊界條件：1、恒定電流是連續(xù)的：即2、如圖所示，作一閉合曲面S，其側(cè)高即上式說明電流密度的法向分量是連續(xù)的。第31頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章323、當(dāng)用電位表示時(shí)：二、恒定電場(chǎng)的邊界條件：1、恒定電場(chǎng)是無旋的：第32頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章332、如圖：作一閉合曲線C，。則電場(chǎng)切向分量是連續(xù)的。3、用電位描述時(shí)：電位是連續(xù)的。第33頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章34三、分界面上電流線的關(guān)系：即則（3-33）第34頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章35四、討論：1：＞＞0說明：一般情況下，很小。（除外）。12即電流由良導(dǎo)體進(jìn)入不良導(dǎo)體時(shí)，在不良導(dǎo)體中的電流線近似地與良導(dǎo)體表面垂直。良導(dǎo)體表面為等位面。對(duì)比靜電場(chǎng)：導(dǎo)體外表面的電場(chǎng)強(qiáng)度方向與導(dǎo)體表面垂直導(dǎo)體表面為等位面。即媒質(zhì)“2”為良導(dǎo)體，媒質(zhì)“1”為不良導(dǎo)體。第35頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章362、恒定電場(chǎng)中，兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上一般有自由電荷：∵又∵∴只有當(dāng)時(shí)，實(shí)際上，對(duì)兩金屬導(dǎo)體而言：故第36頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章37例：橫截面積為S的平行板電容器上的兩塊極板之間的空間填充兩種有損電介質(zhì)，它們的厚度介電常數(shù)、電導(dǎo)率分別為，將電壓U加入兩極板之間。求：（1）極板間的電流密度；（2）在兩種電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和；（3）極板上和介質(zhì)分界面的。平行板電極為良導(dǎo)體，在良導(dǎo)體與電介質(zhì)的分界面上，電介質(zhì)的電流線近似地與良導(dǎo)體表面垂直。又因電流密度的法向分量連續(xù)，則：解：（1）sr第37頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章38又故（2）兩種電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和且J與E的方向均為垂直極板由上而下。第38頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章39（3）極板上和介質(zhì)分界面的上極板下極板介質(zhì)分界面第39頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章40例：有兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,分界面半徑為b,外導(dǎo)體內(nèi)半徑為c。兩層介質(zhì)的電容率為和，電導(dǎo)率為和，當(dāng)外加電壓為時(shí)，求介質(zhì)中的電場(chǎng)及分界面上的自由電荷密度。解：電流密度的法向分量連續(xù)。第40頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章413.5

恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬一、對(duì)應(yīng)關(guān)系：電源外的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)無電荷分布的電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)相似下面先來看看其相應(yīng)公式的對(duì)應(yīng)關(guān)系：第41頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章42恒定電場(chǎng)（源外）：靜電場(chǎng)：第42頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章43故可看出其對(duì)應(yīng)關(guān)系：恒定電場(chǎng)靜電場(chǎng)第43頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章44二、靜電比擬法：AB把一種場(chǎng)的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果，推廣應(yīng)用于另一種場(chǎng)的方法稱為靜電比擬法。如圖：A、B為導(dǎo)體，接于電壓為U的直流電源上，其周圍為不良導(dǎo)體，屬恒定電場(chǎng)問題。但可用靜電比擬法來解決此問題。靜電場(chǎng)：導(dǎo)體表面是等位面，處處垂直其表面。恒定電場(chǎng)：A、B電極表面可視為等位面，線處處垂直其表面。第44頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章45三、應(yīng)用：計(jì)算一球形電容器的電容與電導(dǎo)。設(shè)球的內(nèi)、外半徑分別為a、b。電容：由定義則設(shè)球形電容器帶電量為q而a<r<b第45頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章46電導(dǎo)：采用靜電比擬法：則第46頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章47例3-3：第47頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章48例：一個(gè)球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為c,其間填充兩種漏電介質(zhì)，電導(dǎo)率分別為和，分界面半徑為b,如圖，求兩個(gè)極板間的漏電電阻。解：設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體至外導(dǎo)體的漏電流為I,則在半徑為r的球面上，漏電電流均勻分布，其漏電流密度為：第48頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章49其電場(chǎng)強(qiáng)度為：＜＜＜＜而內(nèi)、外導(dǎo)體之間的電壓為：第49頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章50即第50頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章51例：有兩層介質(zhì)的同軸電纜，介質(zhì)分界面為同軸圓柱面，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,分界面半徑為b,外導(dǎo)體內(nèi)半徑為c。兩層介質(zhì)的電容率為和，電導(dǎo)率為和，當(dāng)外加電壓為時(shí)，求介質(zhì)中的電場(chǎng)及分界面上的自由電荷密度。解：電流密度的法向分量連續(xù)。第51頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章52用靜電比擬法求解。利用高斯通量定理：設(shè)a<r<b,同理：b<r<c,設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電量為qS為半徑為r，長(zhǎng)為l的圓柱面。第52頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章53則第53頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章54故第54頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2023/5/1第三章55介質(zhì)邊界r=b，第55頁，共61頁，2023年，2月20日，星期二2