/2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題5分，共12小題，60分）1.已知向量及則等于（）A. B.C. D.【參考答案】A【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】根據(jù)空間向量加法運(yùn)算，求得.【題目詳細(xì)解讀】依題意.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.命題“對(duì)，都有”的否定為（）A.對(duì)，都有 B.，使得C.，使得 D.，使得【參考答案】C【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的定義即可得出．【題目詳細(xì)解讀】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得：命題“對(duì)，都有”的否定為“，使得”．故選：．【點(diǎn)睛】熟練掌握全稱命題與特稱命題的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【參考答案】A【題目解析】當(dāng)a＝1時(shí)，N＝{1}，此時(shí)有N?M，則條件具有充分性；當(dāng)N?M時(shí)，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N?M”的充分不必要條件，選A.4.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.， B.，C.， D.，【參考答案】B【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)求焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳細(xì)解讀】因?yàn)殡p曲線方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為，因?yàn)?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，選B.【點(diǎn)睛】由雙曲線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為.5.橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【參考答案】B【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】由題可知，，，求出，即可求出橢圓的離心率．【題目詳細(xì)解讀】因?yàn)闄E圓中，，所以，得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的求法，以及靈活運(yùn)用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．6.已知向量.若，則x的值為（）A. B.2 C.3 D.【參考答案】A【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】先求解的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示向量垂直，列出等式，即得解【題目詳細(xì)解讀】∵，∴，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.橢圓和橢圓（）有（）A.等長(zhǎng)的長(zhǎng)軸 B.相等的焦距 C.相等的離心率 D.等長(zhǎng)的短軸【參考答案】B【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】判斷出兩個(gè)橢圓的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，計(jì)算題出兩者的焦距，由此判斷出正確選項(xiàng).【題目詳細(xì)解讀】依題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的焦點(diǎn)在軸上.對(duì)于橢圓有：.對(duì)于橢圓有：焦距，所以兩個(gè)橢圓有相等的焦距.長(zhǎng)軸、短軸和離心率均不相等.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，如果，則()A.9 B.6 C.7 D.8【參考答案】D【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】根據(jù)拋物線的方程，算出焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，利用拋物線的定義求得弦長(zhǎng)，即可求解.【題目詳細(xì)解讀】由題意，拋物線的方程為，可得，所以拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，又因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義的應(yīng)用，以及拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，其中解答中熟記拋物線的定義，合理利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了題目考點(diǎn)分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為()A. B. C. D.【參考答案】A【題目解析】【題目詳細(xì)解讀】若△AF1B的周長(zhǎng)為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)10.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4，2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()A.－ B. C.－2 D.2【參考答案】A【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】由于是弦的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率.【題目詳細(xì)解讀】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得所以，即所求的直線的斜率為.故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)所在直線的斜率，屬于中檔題.11.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的最大值為A.2 B.3 C.6 D.8【參考答案】C【題目解析】【題目詳細(xì)解讀】由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴＋＝1.∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴的最大值在x0＝2時(shí)取得，且最大值等于6.12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論序號(hào)是A.① B.② C.①② D.①②③【參考答案】C【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.【題目詳細(xì)解讀】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò).結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程?曲線幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用,屬于難題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力及題目考點(diǎn)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力考查,滲透“美育思想”.二、填空題題（每小題5分，共4小題，20分）13.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______【參考答案】【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程.【題目詳細(xì)解讀】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故參考答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線方程，屬于簡(jiǎn)單題目.14.已知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，，則橢圓方程為_(kāi)_____.【參考答案】【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】根據(jù)已知條件，求得，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)在軸上，求得橢圓方程.【題目詳細(xì)解讀】依題意，，又焦點(diǎn)在x軸上，故所求的橢圓方程為.故參考答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,2），且與具有相同漸近線，則的方程為_(kāi)________；漸近線方程為_(kāi)________.【參考答案】(1).(2).【題目解析】【題目詳細(xì)解讀】試題題目考點(diǎn)分析：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以曲線的漸近線方程為，設(shè)曲線的方程為，將代入求得，故曲線的方程為.考點(diǎn)：雙曲線的漸進(jìn)線，共漸進(jìn)線的雙曲線方程的求法，容易題.16.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為_(kāi)___________．【參考答案】2.【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】通過(guò)向量關(guān)系得到和，得到，結(jié)合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.題目詳細(xì)解讀】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進(jìn)線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．三、解答題（共70分）17.求符合下列要求的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，離心率為；（2）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.【參考答案】（1）（2）【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】（1）根據(jù)已知條件求得的值，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得雙曲線的方程.【題目詳細(xì)解讀】（1）由已知條件可設(shè)所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（其中）則，∴，且離心率為，∴∴故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)所求的雙曲線方程為，由題意可得方程組，解之得故所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.18.已知向量，，.（1）求（2）若，求m，n.（3）求【參考答案】（1）（2），（3）【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】（1）利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算求得.（2）根據(jù)兩個(gè)向量平行的條件列方程，解方程求得.（3）利用，結(jié)合向量數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算，求得.【題目詳細(xì)解讀】（1）∵，∴（2）∵，，若，則，解之得，（3）∵，∴，【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量減法、數(shù)量積和模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查空間向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.19.直線l：，雙曲線C：，（1）當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求；（2）當(dāng)k取何值時(shí)，直線l與雙曲線C沒(méi)有公共交點(diǎn).【參考答案】（1）（2）【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】（1）將直線的方程代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求得.（2）將直線的方程代入雙曲線方程，結(jié)合直線與雙曲線沒(méi)有公共交點(diǎn)列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳細(xì)解讀】（1）當(dāng)時(shí)，直線l：代入，可得化簡(jiǎn)整理得，所以，所以（2）由代入可得化簡(jiǎn)并整理可得若直線l與雙曲線C沒(méi)有公共交點(diǎn)，則有不等式組解之得或故當(dāng)時(shí)直線l與雙曲線C沒(méi)有公共交點(diǎn)【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線相交所得弦長(zhǎng)的求法，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.20.如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【參考答案】（1）證明見(jiàn)題目解析；（2）【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】（1）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對(duì)值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.【題目詳細(xì)解讀】證明（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以側(cè)面，而平面，所以又，，平面，因此平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以，所以，，設(shè)是平面的法向量，所以，設(shè)是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對(duì)值為，所以二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21.已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【參考答案】（1）（2）【題目解析】試題題目考點(diǎn)分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題題目解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿足所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線的方程；（2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.【參考答案】（1）.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明見(jiàn)題目解析.【題目解析】【題目考點(diǎn)分析】【題目詳細(xì)解讀】試題題目考點(diǎn)分析：（1）思路一：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，依題意可知曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，得到曲線的方程為.思路二：設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，由，化簡(jiǎn)即得.（2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB長(zhǎng)度不變，證明如下：由（1）知拋物線的方程為，設(shè)，得，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，進(jìn)一步得切線的方程為.由，得.由，得.根據(jù)，得圓心，半徑，由弦長(zhǎng)，半徑及圓心到直線的距離之關(guān)