塑性力學(xué)

第一章簡單應(yīng)力狀態(tài)下的

彈塑性力學(xué)問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強化效應(yīng)的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有單一的對應(yīng)關(guān)系

非彈性變形：應(yīng)力和應(yīng)變之間不具有單一的對應(yīng)關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時間而改變，如蠕變、應(yīng)力松弛等）二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時材料的塑性變形能力較強，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力。——采用彈性理論分析——采用塑性力學(xué)分析研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應(yīng)力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達到加工成形的目的三、塑性力學(xué)目的

塑性力學(xué)是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的假設(shè)和基本方法。

四、塑性力學(xué)的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果

材料：金屬多晶材料受力：單向拉伸或壓縮實驗(名義)應(yīng)力：σ=P/A0(名義)應(yīng)變：ε=（ι-ι0）/ι0

一、實驗描述二、實驗曲線線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強化階段頸縮階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同應(yīng)變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應(yīng)：實驗曲線反向加載：單晶體，其壓縮時的屈服應(yīng)力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點)多晶體，其壓縮屈服應(yīng)力（M′點）一般要低于一開始就反向加載時的屈服應(yīng)力（A′點）。這種由于拉伸時強化影響到壓縮時弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應(yīng)（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強化圖2（a）1、在材料的彈塑性變形過程中，應(yīng)力與應(yīng)變之間已不再具有單一的對應(yīng)關(guān)系。四、實驗總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應(yīng)變εp，而將簡單受拉（壓）時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當(dāng)εP（內(nèi)變量）一定時，σ與ε之間有單一的對應(yīng)關(guān)系。2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點，當(dāng)加載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）繼續(xù)增長時，應(yīng)力應(yīng)變曲線將沿AMM1方向延伸，公當(dāng)卸載時即應(yīng)力（或應(yīng)變）減小時應(yīng)力應(yīng)變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應(yīng)的加卸載準(zhǔn)則。圖2（a）五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度

當(dāng)溫度上升時，材料的屈服應(yīng)力將會降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當(dāng)靜水壓力不太大時，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應(yīng)變速率

如果實驗時將加載速度提高幾個數(shù)量級，則屈服應(yīng)力也會相應(yīng)地提高，但材料的塑性應(yīng)變形能力會有所下降。當(dāng)材料有較大的塑性變形時（彈性變形相對地很小），可近似地認為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應(yīng)力的影響也是不大的。

§1.3應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強化率較低的材料，在應(yīng)變不太大時可忽略強化效應(yīng)2．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應(yīng)變表示為：適用：材料的強化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時屈服應(yīng)力的絕對值和強化模量都相同）——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學(xué)上比較容易處理。

（8）4．冪次強化模型（其中B>0，0<m<1）其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應(yīng)于割線余率為0.7E的應(yīng)力和應(yīng)變，上式中有三個參數(shù)可用來刻畫實際材料的拉伸特性，而在數(shù)學(xué)表達式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：拉伸時的屈服應(yīng)力和壓縮時的屈服應(yīng)力始終是相等的?！强坍嬎苄宰冃螝v史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應(yīng)力提高，對應(yīng)圖2（a）中的和。隨動強化模型上式在線性強化情形下也可寫為（是塑性應(yīng)變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應(yīng)，認為拉伸屈服應(yīng)力和壓縮屈服應(yīng)力的代數(shù)值之差，即彈性響應(yīng)的范圍始終是不變的。是一個常數(shù)（）圖2（a）該模型對應(yīng)圖2（a）中的和?！?.取4眨軸向拉辣伸時的塔塑性失潛穩(wěn)一、拉顧伸失穩(wěn)跡的概念1、拉伸驗失穩(wěn)：注意：拉惠伸試件在雖出現(xiàn)頸縮領(lǐng)后，試件世局部區(qū)域或的截面積滔會有明顯減張少，再逢用名義份應(yīng)力和遞應(yīng)變來太描述此寇時的材虧料特性是不母適當(dāng)?shù)模ㄒ妶D2）在最高危點以后點，增加應(yīng)酸變時應(yīng)力反而寒下降，在通晚常意義下稱試帝件是不韻穩(wěn)定的馳。圖2（a）2、真應(yīng)力3、對數(shù)應(yīng)罰變4、截面積援收縮比q=（我A0-A）/宗A0假定材述料是不哄可壓縮裝的：A0l0=Al，并認為名辟義應(yīng)力達到最根高點C時出現(xiàn)頸嶼縮：二、真詢應(yīng)力則在頸叉縮時真刊應(yīng)力應(yīng)肥滿足條爹件拉伸失棋穩(wěn)分界捧點的斜怠率正好偷和該點受的縱坐暗標(biāo)值相饑等。由結(jié)論：[1]注意到頸縮時扭的條件疤也可寫薪為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其縱坐標(biāo)值除以結(jié)論：[2][3]以截面積沉收縮比q為自變幟量則由頸縮委時的條北件拉伸失穩(wěn)演時真應(yīng)力槳所滿足的瘦條件:隨著材邊料的變逢形，微泛裂紋和羞（或）孝孔洞的目生成及坊匯合也綠將會造樓成材料墾的弱化森而導(dǎo)致乏失穩(wěn)。搶稱之為賭應(yīng)變?nèi)跗匣?。三、材智料本身膝的失穩(wěn)感現(xiàn)象例如，帳在低碳坑鋼拉伸猴實驗中刊由上屈口服應(yīng)力排突然下就降到下屈服應(yīng)力雄的現(xiàn)象，偉它與材料釘變形的內(nèi)遞部微觀機宋制的變化有關(guān)。在許多問運題（如拉委伸失穩(wěn)等坐）中，以茅上兩種現(xiàn)淺象往往是散耦合的§1.5剖簡單桁厭架的彈塑感性分析一、問題挑的提出以圖示的懷一次靜不天定三桿桁冒架為例進甘行彈塑性騎分析。圖中三根客桿的截面鋸積均為A，中間第二英桿的桿長筋為，它與相鄰否的第一桿越和第三桿走的夾角均艘為θ=4備50，在其交存匯點O處作用吩水平力Q和垂直向貞下的力P，O點將產(chǎn)生柱水平位移檔和流垂直位移。二、問題胳的解答已知：解：如定義免第牽根桿惱的名義卵應(yīng)力為律,名義應(yīng)炮變?yōu)榍o,則有如上下平衡方距程和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到坡問題的解割，還必須有補充本構(gòu)方我程。我們假穗定材料玩是理想彈塑巷性。(1)六Q=0時的彈性熟解和彈塑砍性解由彈性解:由1、應(yīng)力為屈服應(yīng)潔力————為垂直櫻方向上協(xié)的彈性樸極限載野荷2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下是位移載荷-者位移曲堡線則當(dāng)P由零增梁至Pe時，在圖棕9的坐標(biāo)槳中為區(qū)間辮[0，1榆]上斜率騙等于1的于直線段OA。若令彈塑性盛解:當(dāng)P由零逐漸暢增大到Pe時，第2說桿的應(yīng)力進也逐漸增邊大而達到買屈服狀態(tài)紛：遣如果P的值再繼拼續(xù)增加，攻則（17波）式已不華再適用，砌相應(yīng)的本蒸構(gòu)方程應(yīng)已改寫為由應(yīng)力應(yīng)變說明：（1）急這時的羨第2桿煎雖然已改經(jīng)屈服欺而失去所了進一距步的承踩載能力，但餓由于它還哭受到第1厲桿和第3續(xù)桿彈性變緣瑞形的制約砍，其塑性變濟形不能刪任意增炮和，這早種狀態(tài)狹稱為約束塑高性變形。（2）直棟到P值逐漸舒增大到甜使臟時，三乖根桿將嶺全部進入屈服吊階段，瘦變形已甩不再受熄任何約爛束，結(jié)嗽構(gòu)才完構(gòu)全喪失炸進一步的承圾載能力。這時的載脖荷P為——稱為塑性攀極限載荷由和位移當(dāng)P=PS時，或注：（2扇4）式對氧應(yīng)于圖9刃中在區(qū)間苗[1，2變]上斜率盒為的直燒線段AB當(dāng)考慮恢塑性變蜜形時，歡結(jié)構(gòu)的嘆變形要右比純彈質(zhì)性變形宋為大，閣但仍屬夠同一數(shù)兩量級，療而相應(yīng)艙的承載椒能力將款會有相率當(dāng)?shù)奶崴聘?。結(jié)論(2)卸載現(xiàn)將P的值加遷載到處看于Pe<P<仍Ps范圍內(nèi)榜的某一姜值P*，然后再卸懼載使P的改變量柔△P<0砍。由于卸載壺服從彈性純規(guī)律，利劈燕用（18射）式的增圈量形式，豪可知應(yīng)力叛和應(yīng)變的初改變量分奮別為卸載時的洲載荷-位醒移曲線（波見圖9）倘與初始彈老性加載時亮的曲線有笛相同的斜魄率。卸載規(guī)彈律:應(yīng)力和應(yīng)嶼變:最終的應(yīng)魚力和應(yīng)變殊值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式鵲的疊加備求得：特別地第，當(dāng)載拆荷P值全部卸界除后，由輪△P=-P蒜*，便得到桿盞中的殘余椅應(yīng)力和殘景余應(yīng)變（刻見圖10握）為：殘余應(yīng)地力和殘戚余應(yīng)變:其中節(jié)點O的殘余位身移為：實際上館，第1健桿和第波3桿其鉛變形規(guī)莊律始終思是彈性兔的，如露果卸去這載荷并通解除三劣桿之間躍約束的歪話，第效1桿和斜第3桿咳中的彈搶性應(yīng)變警和塑性鈔應(yīng)變都沸等于零岸，而第潤2桿則勁有塑性脂應(yīng)變。散故在原示有的約訪束下，羞就必然熔地引起敲內(nèi)應(yīng)力漂而使這忙三根桿票件的殘禾余應(yīng)變婚不等于篩零。說明：1、殘余糞應(yīng)力應(yīng)銷該滿足且與零外命載相對行應(yīng)的平貪衡方程聞。2、殘余陣應(yīng)變由瀉（1）膨式可分貞為彈性蠟應(yīng)變和諒塑性應(yīng)土變兩部培分之和肉：3、在超迅靜定結(jié)寧構(gòu)中殘鍛余應(yīng)變窮一般并貧不等于販塑性應(yīng)溉變?！?.忠6強內(nèi)化效應(yīng)躲的影響本節(jié)仍卸討論Q=0的情形剪，現(xiàn)假定按材料是鴨線性強件化的。不卸載時繼其拉伸曲旋線可寫為（1）當(dāng)P時，桿悲中的應(yīng)蘭力值仍近由（1些8）式飯表示（2）當(dāng)P>Pe時，有將上式與鍋（15）旅式和（1血6）式聯(lián)籍立，可解資得（3）當(dāng)P增至使鋸時，第斥1桿和第擁3桿也開李始屈服。此時的載互荷值為1、如取E‘/E棵=1/1漸0，則P1=1.0瓶4Ps。與理想劑彈塑性本材料相添比，相應(yīng)的載蟲荷值并沒怖有很大的到增加。這誤說明采用悶理想彈塑性模型親可得到捏較好的搖近似，恰而計算例卻有相拖當(dāng)?shù)暮啀{化。說明：2、當(dāng)P小于P1時，結(jié)墨構(gòu)的變種形仍屬蝦于彈性洞變形的共量級，鑼而當(dāng)P超過P1后繼續(xù)增賠加時，由巡壽于強化效仍應(yīng)，結(jié)構(gòu)男并不會進露入塑性流動慚狀態(tài)，但撫這時的變安形將會有宋較快的增藝長?！?.7浸幾何非困線性的影豆響一、問午題的提慌出求解基本律方程：——是在小恢變形的題假設(shè)下盡建立的當(dāng)桿件的腰塑性變形總很大時，謹結(jié)構(gòu)幾何變尺寸的改府變將會產(chǎn)亮生顯著的午影響。這耐時應(yīng)采用望真應(yīng)力和戀對數(shù)應(yīng)變追來進行討施論。二、問痕題的解聽答仍考慮Q=0的情形損，假定悅材料是拼剛塑性博線性強簡化的：而且滿足襲不可壓條胞件：令則由幾何禁分析于是在變形橡后的結(jié)纏構(gòu)上建批立的平芒衡方程角為：其中——為變形后刷第2桿與第1桿（和第3桿）之撞間的夾粉角可見（33）式中有醒三個未知班量在不卸亦載的情債況下，朋由本構(gòu)呆方程：得到與之間的非線性關(guān)系結(jié)論：隨著封的增長痰，的哀值將會由透于強化效你應(yīng)和悉角的減小競而提高，但也會羨隨著桿闊件截面槍積的收囑縮而下四降。故充當(dāng)煎很大薪時，結(jié)默構(gòu)將可雨能變成不穩(wěn)振定的。§1.8筐彈性極概限曲線本節(jié)我西們將考字慮前述靜桁架同今時受垂愧直載荷P和水平菠載荷Q作用的情堂形。如果桁架喜中的三根鋸桿件都處古于彈性階皆段，則由貫（13）柳(14）堆15）和膨（17）俯各式，平衡方程幾何方危程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方光程其中特，孤表示只作洗用水平力逢時的彈性究極限載荷窯?？汕蟮脳U凳中應(yīng)力為（35）似式成立的顆條件為這相當(dāng)于爬對P和Q的限制條狐件：上式對應(yīng)腸于圖12科中實線六這邊形區(qū)域裳，其中居等號則護對應(yīng)于該六邊形膨的邊界，揉稱為彈性極限曲線，表示至護少有一根桿件已達葉到屈服狀滴態(tài)。如果作賺用于結(jié)障構(gòu)上的努載荷先善是超出余了彈性光極限曲扣線，然蠅后又完全卸虜回到零，師那么結(jié)構(gòu)芽中將存在綠殘余應(yīng)力燃。由于殘壞余應(yīng)力圈與零外標(biāo)載相平置衡，故閃可寫成轟（27）式的形吳式：其中侄是一個績可以變化件的參數(shù)，數(shù)其值可由傭（28）式來表榴示。在存在殘摔余應(yīng)力的附情況下，救如果再重景新對結(jié)構(gòu)捉施加載荷喇而未能再次貓屈服，那砍么結(jié)構(gòu)中萄的應(yīng)力值您就應(yīng)該是階以上的殘基余應(yīng)力與（35）式的電疊加。不產(chǎn)生界新的塑岸性變形躺的限制衡條件：其中筑值滿足（37）式對應(yīng)粗于圖12中虛線所絡(luò)構(gòu)成的六邊灣形區(qū)域端。說明：可見在勤加載方衣向一側(cè)照屈服載擠荷有所校提高而店與加載贈方向相仇反的一側(cè)訓(xùn)屈服載束荷有所莫降低。舒可用來警對應(yīng)變揚硬化和賤包氏效用應(yīng)等現(xiàn)象做獵一個比較佳形象的解查釋?！?.9安加載須路徑的影蟲響塑性力哪學(xué)的特真點之一月就是解對加載路思徑的依賴性送。[例]計算上述撓的理想彈躁塑性三桿帽桁架在不搶同加載路籃徑下O點的最終水定平位移和亮垂直位移糟。第一種路呈徑（圖13（a)中的路徑1）當(dāng)時第一種缸路徑：因（Q，P）先由（0獨，0）線性地變押化為（0匠，PS），再在垂直位移保持鉗不變的條件下初增加Q使達到Qe如保持δy=2δe不變而施蒙加水平方樓向的載荷Q，使點O有一個崇水平方營向的位旨移增量拘，則由涉幾何關(guān)系（賴14）式：可知第1耽桿和第2雕桿并未卸兆載而第3咸桿以彈澇性規(guī)律嚷卸載于是，唱由（1顫3）式呢可求得散載荷增介量為：即Q與P之間的泊變化規(guī)鉤律是線爬性的當(dāng)?shù)?麥桿卸載女到σ3=-σs時由△σ3=-2叨σs得此時三桿餅同時屈服俱，即結(jié)構(gòu)筑再次進入杯塑性流動犬狀態(tài)。三桿的擊應(yīng)力為鵲：水平位隸移δx可由（務(wù)38）下式求得婦，垂直忘位移δy始終不變截。因此：第二種路利徑：（Q，P域）由（0泛，0）夏作單調(diào)的比鴿例如載而援達到（沾）第二種卵路徑（圖13射（a）中的路季徑②）由于加載悲時始終有會關(guān)系炭式，乘故將其代耐入（35費）式可得她初始彈性頁階段的解果為：，——表明隨攪著P的增長書，第1桿最先令達到屈菌服。當(dāng)各桿的應(yīng)廚力此時O點的位傍移值為如繼續(xù)費加載，進則第1詞桿進入魔屈服階喜段，即由和（13）式的螺增量形姐式——表明第2桿繼續(xù)受粗拉，第3桿繼續(xù)受稱壓。各桿的應(yīng)熊力由（41）式和（43）式計算當(dāng)急三桿同左時進入異塑性狀類態(tài)，即利用（房誠43）仙式和（14港）式的增速量形式便可求迫出對應(yīng)晚于泳時盒的位移浮增量：最終位客移則是音上式和艘（42繭）式的喇疊加：結(jié)論：可知在悟兩種加誓載路徑胡下雖然倘可得到形相同的魚應(yīng)力值棒，但各悟桿的應(yīng)潑變和O點最終錄位移值價卻是不晶同的?！?.1慣0極限載濟荷曲線（肢面）一、概矛念兩個不鍵等式同遺時取等渾號時，羊（P，Q）的值將處己于虛線黃六邊形敬的頂點剝。1、塑性極陽限載荷此時結(jié)構(gòu)內(nèi)變?yōu)橐粋€框能產(chǎn)生塑攻性流動的塌機構(gòu)而喪除失了進一術(shù)步承載的能帥力。相應(yīng)鉆的載荷就科是塑性極限泊載荷。2、極限載甘荷曲線隨著γ*的改變，府這個極限瘋載荷在（Q，P漢）平面上陳的軌跡桂將形成覺一條曲閣線，稱拿為極限載荷史曲線（在多維慮載荷空間騰中