第三章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析第1頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三本章的主要內(nèi)容3.1傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜3.2非周期信號的頻譜--傅里葉變換3.3傅里葉變換的基本性質3.4周期信號的傅里葉變換以及取樣定理3.5LTI系統(tǒng)的頻域分析3.6能量譜和功率譜第2頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)

傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜3.1.1信號正交與正交函數(shù)集1.正交定義定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)

1(t)和

2(t),若滿足:

(兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱

1(t)和

2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交.2.正交函數(shù)集：

若n個函數(shù)

1(t),

2(t),…,

n(t)構成一個函數(shù)集,當這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足

傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜第3頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的正交函數(shù)集.

3.完備正交函數(shù)集：

如果在正交函數(shù)集{1(t),

2(t),…,

n(t)}之外,不存在函數(shù)(t)(≠0）滿足

則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集.例如:三角函數(shù)集{1,cos(nΩt),sin(nΩt)，n=1,2,…}和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt,n=0,±1,±2,…}是兩組典型的在區(qū)間(t0,t0+T))(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集.第4頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜4信號的正交分解設有n個函數(shù)

1(t),

2(t),…,

n(t)在區(qū)間(t1,t2)構成一個正交函數(shù)空間.將任一函數(shù)f(t)用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似,可表示為

f(t)≈C11+C22+…+Cnn

如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小.均方誤差:第5頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜現(xiàn)求使得均方誤差最小的線性組合系數(shù)Ci(第i個系數(shù))展開上被積函數(shù)并求導.上式中只有兩項不為0,寫為即:所以系數(shù)第6頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜代入,得最小均方誤差(推導過程見教材)在用正交函數(shù)去近似f(t)時,所取得項數(shù)越多,即n越大,則均方誤差越小.當n→∞時,均方誤差為零.此時有上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾(帕塞瓦爾)公式,表明:在區(qū)間(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和.函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和第7頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3.1.2周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜1傅里葉級數(shù)的三角形式設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(狄利克雷)(Dirichlet)條件時，它可分解為三角級數(shù)--稱為f(t)的傅里葉級數(shù)

an,bn稱為傅里葉系數(shù)

※

可見,an

是n的偶函數(shù),bn是n的奇函數(shù).第8頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜式中,A0=a0因此周期信號可分解為直流分量和許多余弦分量.其中,A0/2為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波,它的角頻率與原周期信號相同;A2cos(2t+2)稱為二次諧波,它的頻率是基波的2倍;Ancos(nt+n)稱為n次諧波.※

可見An是n的偶函數(shù),n是n的奇函數(shù).將上式同頻率項合并,可寫為an=Ancosn，bn=-Ansinn，n=1,2,…第9頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜2波形的對稱性與諧波特性(1)f(t)為偶函數(shù)--對稱縱坐標bn=0,展開為余弦級數(shù)。(2)f(t)為奇函數(shù)--對稱于原點an=0,展開為正弦級數(shù)。實際上,任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分,即f(t)=fo(t)+fe(t)其中第10頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜(3)f(t)為奇諧函數(shù)--f(t)=-f(t±T/2),也稱半波對稱.此時其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量,而不含偶次諧波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=0

表示對稱區(qū)間上f(t)包含的面積,可見面積為零,因此說明沒有直流分量.簡單證明:設f1(t)為函數(shù)f(t)在區(qū)間上的部分,而f2(t)為區(qū)間上的部分,則有:或者第11頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜換元:第12頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三可見,an只有奇次項,對于bn的證明大家按相同的方法可以證明,此處不再證.傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜例題1求周期鋸齒波的三角函數(shù)傅里葉級數(shù).直流基波諧波第13頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜例題2將f(t)展開為傅立葉級數(shù).第14頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜例題3將f(t)展開為傅立葉級數(shù).第15頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜第16頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜2傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式第17頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜第18頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜第19頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜3周期信號的功率--Parseval等式直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和.n≥0時,|Fn|=An/2.第20頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三4周期函數(shù)的有限傅立葉級數(shù)要用傅立葉級數(shù)準確表示周期函數(shù)f(t),則n→∞.但是在工程實際應用中,往往用有限多項來近似表示.取n=N,N越大,越逼近f(t).設:一般采用誤差的概念來衡量近似表示的逼近程度.誤差函數(shù):均方誤差:傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜可以看出當N越大,均方誤差越小,近似表示越逼近f(t).第21頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜例如對稱方波:偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項.第22頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜N=1,一次諧波或基波N=2,二次諧波N=3,三次諧波第23頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜有限項的N越大，誤差越小例如:N=11一般從合成波形當中可以看出有個波峰,則近似表示當中就有幾次諧波分量.例如圖中有6個波峰,則表明由六個諧波組成.第24頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜3.1.3周期信號的頻譜1什么叫周期信號的頻譜從廣義上說,信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系,稱為信號的頻譜,所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖.周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即將An～ω和n～ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖,分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖.因為n≥0,所以稱這種頻譜為單邊譜.也可畫|Fn|～ω和n～ω的關系,稱為雙邊譜.若Fn為實數(shù),也可直接畫Fn.第25頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜幅度譜和相位譜合起來稱為信號f(t)的頻譜,當然信號的頻譜還有其他的形式,例如功率譜,能量譜等等.可以看出對于任意周期信號的頻譜有一些共同特點,下面我們來看周期信號頻譜的特點.第26頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜2周期信號頻譜的特點例題1:周期信號f(t)=的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角頻率Ω=2π/T=π/12根據(jù)帕斯瓦爾等式,其功率為P=試求該周期信號的基波周期T,基波角頻率Ω,畫出它的單邊頻譜圖,并求f(t)的平均功率。解首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即顯然1是該信號的直流分量.第27頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次諧波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次諧波分量；畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖第28頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜例題2有一幅度為E,脈沖寬度為的周期矩形脈沖,其周期為T,如圖所示,求頻譜.令Sa(x)=sin(x)/x

(取樣函數(shù)）Fn為實數(shù),可直接畫成一個頻譜圖,設T=4τ畫圖.第29頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜零點為所以,m為整數(shù)。特點:(1)離散頻譜,譜線間隔為基波頻率Ω,譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)各諧波分量的大小與脈幅(E)成正比,與脈寬(τ)成正比,與周期T成反比;(3)幅度譜有收斂性,n→∞時,諧波大小逼近于0,此處諧波大小(譜線)按包絡線收斂.第30頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜(4)信號能量主要集中在第一個零點內(nèi),因此定義信號帶寬為.譜線的結構與波形參數(shù)的關系：(a)T一定,變小,此時(譜線間隔)不變.兩零點之間的譜線數(shù)目:1/=(2/)/(2/T)=T/增多.(b)一定,T增大,間隔減小,頻譜變密.幅度減小.如果周期T無限增長(就成為非周期信號),那么,譜線間隔將趨近于零,周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜.各頻率分量的幅度也趨近于無窮小.第31頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)P160-1643-3,3-4,3-7(ace),3-12,3-13傅里葉級數(shù)及周期信號的頻譜第32頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)傅里葉變換3.2.1傅立葉變換前面已經(jīng)學習了周期信號的傅立葉級數(shù)以及頻譜:那么非周期信號的頻譜呢?當周期信號的周期T→∞時,則周期信號變?yōu)榉侵芷谛盘?是否簡單的將上述變換式中的T取∞的極限就可以得到非周期信號的頻譜呢?前已指出當周期T趨近于無窮大時,譜線間隔趨近于無窮小,從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜.但各頻率分量的幅度也趨近于無窮小!傅里葉變換第33頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三考慮到:T→∞,Ω→無窮小,記為dω;nΩ→ω(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量),而根據(jù)傅里葉級數(shù)F(jω)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù),簡稱頻譜.f(t)稱為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù).同時,∑→∫于是傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉變換第34頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三也可簡記為:F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)說明(2)用下列關系還可方便計算一些積分(1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟.可證明,函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件:傅里葉變換第35頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2典型非周期信號的傅立葉變換(3)F(jω)一般是復函數(shù),寫為

F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)

其中:|F(jω)|～ω

幅度譜(幅度頻譜)(ω)～ω

相位譜(相位頻譜)(4)非周期信號的頻譜是連續(xù)譜.1單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tu(t),

>0實數(shù)傅里葉變換第36頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t

,

>0

3直流信號f(t)=1構造f(t)=e-t，>0←→所以傅里葉變換第37頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換又1←→2()

4沖激函數(shù)(t)、′(t)第38頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三將→t，t→-再根據(jù)傅里葉變換定義式，得(t)←→1代入反變換定義式，有直流信號傅立葉變換的另一種求法：結論及推論傅里葉變換第39頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換5門函數(shù)(矩形脈沖)第40頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換6符號函數(shù)7階躍函數(shù)u(t)8sinΩt以及cosΩt?第41頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三歸納記憶：1.F變換對2.常用函數(shù)F變換對：δ(t)u(t)e-t

u(t)gτ(t)sgn

(t)e–|t|112πδ(ω)傅里葉變換第42頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)傅里葉變換的基本性質1線性(LinearProperty)若

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]證明:

F[af1(t)+bf2(t)]=[aF1(jω)+bF2(jω)]傅里葉變換的基本性質第43頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題1已知信號波形如右圖,求F(jω)=?解:f

(t)=f1(t)–g2(t)=1-g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)第44頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質2時移性質(TimeshiftingProperty)若f(t)←→F(jω)則證明:

F[f(t±t0)]第45頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題2已知信號波形如圖,求F(jω).解:令

f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)則有f(t)=f1(t)+f2(t)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴F(jω)=‖+第46頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題3求如圖所示三脈沖信號的頻譜.解：則f(t)=f0(t+T)+f0(t)+f0(t-T)第47頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質=++※脈沖個數(shù)增多,頻譜包絡不變,帶寬不變.第48頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質3對稱性質(SymmetricalProperty)若

f(t)←→F(jω)則證明:（1）(1)t→ω，ω→t（2）(2)ω→-ωthen∴F(jt)←→2πf(–ω)F(jt)←→2πf(–ω)第49頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題4依據(jù)對稱性質求下列函數(shù)的傅立葉變換.解:(1)(2)(3)第50頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題4依據(jù)對稱性質求下列函數(shù)的傅立葉變換.傅立葉變換傅立葉變換第51頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質(4)a=1例題4依據(jù)對稱性質求下列函數(shù)的傅立葉變換.F(jω)=?※思考題第52頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質4頻移性質(FrequencyShiftingProperty)若

f(t)←→F(jω)則證明:F[ejω0t

f(t)]=F[j(ω-ω0)]例題5f(t)=ej3t←→F(jω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)第53頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題5試計算下列信號的傅立葉變換.(1)f1(t)=cosω0t(2)f2(t)=sinω0t(3)f3(t)=f(t)cosω0t(4)f4(t)=f(t)sinω0t解:則得:F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]第54頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三例題6已知調幅信號f(t)=Egτ(t)cosω0t,試求其頻譜?解:已知矩形脈沖Egτ(t)的頻譜為:因為:所以可以看出,信號f(t)的頻譜就是將G(ω)一分為二并向左,向右各平移ω0而得到.傅里葉變換的基本性質第55頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質若

f(t)←→F(jω)則

5尺度變換性質(ScalingTransformProperty)證明:當

a>0,F[f(at)]當a<0,F[f(at)]第56頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題7已知f(t)←→F(jω),求f(at–b)的傅立葉變換.解:

f(t–b)←→e-jωbF(jω)則f(at–b)←→orf(at)←→f(at–b)=例題8求函數(shù)f(t)=1/(jt-1)的傅立葉變換.解:提問:如果f(t)=1/(t-1)呢?第57頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題9已知,求信號的傅立葉變換.解:方法一：先尺度變換，再時延方法二：先時延再尺度變換第58頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質6卷積性質(ConvolutionProperty)時域卷積(Convolutionintimedomain)若

f1(t)←→F1(jω),

f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)頻域卷積(Convolutioninfrequencydomain)若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)第59頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題10求信號f(t)=(sint/t)2的傅立葉變換.解:兩個完全相同的門函數(shù)卷積可以得到三角脈沖.即:使用對稱性質(Usingsymmetry)卷積=第60頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三※相同矩形脈沖卷積得到三角脈沖的證明過程如下:傅里葉變換的基本性質第61頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三例題11(例題6)已知調幅信號f(t)=Egτ(t)cosω0t,試求其頻譜?解:已知矩形脈沖Egτ(t)的頻譜為:而cosω0t的頻譜為:利用頻域卷積定理得:傅里葉變換的基本性質第62頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質7時域的微分和積分性質(DifferentiationandIntegrationintimedomain)若

f(t)←→F(jω)則

證明:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=u(t)*f(t)←→第63頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三時域積分性質的另一種證明傅里葉變換的基本性質交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為第64頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質第65頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題12信號f(t)=1/t2的頻譜函數(shù).解:例題13已知f(t)←→F1(jω),求信號f(t)的頻譜.第66頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質若

f(n)(t)←→Fn(jω)且

f(-∞)+f(∞)=0

則

f(t)←→Fn(jω)/(jω)n例題13求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)(傅立葉變換).o()tft2t-2tEo()tf￠t2t-2ttE2解:將三角函數(shù)兩次微分,如下過程,可得三個沖激函數(shù),再利用微分性質則可得到原三角函數(shù)的傅立葉變換.第67頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質注意:du(t)/dt=(t)←→1u(t)←×→1/(jω)第68頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質也可以用積分性質來求解可得到一樣的結果第69頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質8頻域的微分和積分(DifferentiationandIntegrationinfrequencydomain)頻域微分性質:若

f(t)←→F(jω)則(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)

證明：頻域微分第70頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質頻域積分性質的證明相對比較復雜,請大家自己參考證明過程自己學習和理解.第71頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質注意:tu(t)=u(t)

*

u(t)

←→例題14求f(t)=tu(t)的傅立葉變換.例題15求積分的值.第72頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題16已知,求的傅立葉變換.解:例題17已知,求其傅立葉變換.解:另解:第73頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三9帕斯瓦爾關系(Parseval’sRelationforAperiodicSignals)傅里葉變換的基本性質證明:|F(jω)|2isreferredtoastheenergy-densityspectrumoff(t).即信號單位頻率上的頻譜(能量密度譜)第74頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質例題18求信號的能量.解:第75頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質10奇偶虛實性(1)f(t)是實函數(shù)時,則有:(f(t)為虛函數(shù)呢?)=R(ω)+jX(ω)①R(ω)=R(-ω),X(ω)=-X(-ω);|F(jω)|=|F(-jω)|,(ω)=-(-ω);F(-ω)=R(-ω)+jX(-ω)=R(ω)-jX(ω)=F*(ω)②Iff(t)=f(-t),thenX(ω)=0,F(jω)=R(ω);Iff(t)=-f(-t),thenR(ω)=0,F(jω)=jX(ω).第76頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三傅里葉變換的基本性質(2)f(t)為虛函數(shù),設f(t)=jg(t),g(t)為實函數(shù)※此時頻譜密度函數(shù)函數(shù)以及實部虛部的奇偶虛實性與前面的討論方法相同，請同學們自己下去討論。第77頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)題P166-1683-19(a),3-20,3-21,3-25,3-26,3-29傅里葉變換的基本性質第78頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)周期信號的傅里葉變換以及取樣定理3.4.1正、余弦信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第79頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理3.4.2一般周期信號的傅里葉變換例題1周期為T的單位沖激周期函數(shù)T(t)=解：第80頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理例題2：周期信號如圖,求其傅里葉變換.解:周期信號f(t)也可看作一時限非周期信號f0(t)的周期拓展.即:f(t)=T(t)*f0(t)F(jω)=ΩΩ(ω)F0(jω)本題

f0(t)=g2(t)←→與周期信號傅立葉變換定義式比較得這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法.第81頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理3.4.3取(抽)樣定理取樣定理論述了在一定條件下,一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示.這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息,利用這些樣本值可以恢復原信號.可以說,取樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁.為其互為轉換提供了理論依據(jù).取樣定理是模擬信號變換為(A/D轉換)的理論基礎.1信號的取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程.這樣得到的離散信號稱為取樣信號.第82頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理如圖一連續(xù)信號f(t)用取樣脈沖序列s(t)(開關函數(shù))進行取樣,取樣間隔為TS，fS=1/TS稱為取樣頻率.得取樣信號

fS(t)=f(t)s(t)取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù)為FS(j)=(1/2)F(j)*S(j)第83頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三(1)時域理想抽樣(沖激抽樣)若s(t)是周期為Ts的沖激函數(shù)序列T(t),則稱為沖激取樣.如果f(t)是帶限信號[即f(t)的頻譜只在區(qū)間(-m,m)為有限值，而其余區(qū)間為0].設f(t)←→F(j),取樣信號fS(t)的頻譜函數(shù)則取樣(抽樣)信號為:周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第84頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理相乘相卷時域抽樣頻域周期重復第85頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三時域理想抽樣的傅立葉變換FTFT相乘相卷積周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第86頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理×=*=上面在畫取樣信號fS(t)的頻譜時,設定ωS≥2ωm,這時其頻譜不發(fā)生混疊,因此能設法(如利用低通濾波器),從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復原信號f(t).否則將發(fā)生混疊,而無法恢復原信號.第87頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三乘卷(2)非理想抽樣信號的傅立葉變換周期信號的傅里葉變換以及取樣定理-ωmωm第88頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三關于非理想抽樣周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第89頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2時域取樣定理當ωS≥2ωm(fs≥2fm)時,將fs(t)通過下面的低通濾波器其截止角頻率ωm<ωC<ωS-ωm

.即可恢復原信號f(t).由于

fs(t)=f(t)s(t)=f(t)根據(jù)對稱性可知H(j)←→h(t)=為方便，選ωC=0.5ωS

,則TsωC/π=1

此處假設抽樣過程為理想抽樣：周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第90頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理根據(jù)f(t)=fS(t)*h(t)，有時域取樣定理：一個頻譜在區(qū)間(-m,m)以外為0的帶限信號f(t),可唯一地由其在均勻間隔Ts[Ts<1/(2fm)]上的樣值點f(nTs)確定.注意:為恢復原信號,必須滿足兩個條件:(1)f(t)必須是帶限信號;(2)取樣頻率不能太低,必須fs>2fm,或者說,取樣間隔不能太大,必須Ts<1/(2fm);否則將發(fā)生混疊.只要已知各取樣值f(nTs),就能唯一地確定出原信號f(t)。第91頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三周期信號的傅里葉變換以及取樣定理把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特(Nyquist)頻率,把最大允許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔.頻域取樣定理(略)：一個在時域區(qū)間(-tm,tm)以外為0的時限信號f(t)的頻譜函數(shù)F(j),可唯一地由其在均勻頻率間隔fs[fs<1/(2tm)]上的樣值點F(jns)確定.第92頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)P170-1723-38,3-39(1)(3),3-40(1)(2)(3)(5)(7)周期信號的傅里葉變換以及取樣定理第93頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三第五節(jié)LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和,一般用于求解系統(tǒng)響應.對周期信號：對非周期信號：其基本信號為ejt3.5.1基本信號ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應說明:頻域分析中,信號的定義域為(–∞,∞),而t=–∞總可認為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應指零狀態(tài)響應，常寫為y(t).LTI系統(tǒng)的頻域分析第94頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三設LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為h(t),當激勵是角頻率ω的基本信號ejt時,其響應而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換,記為H(j),常稱為系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。y(t)=H(j)ejtH(j)反映了響應y(t)的幅度和相位.y(t)=h(t)*

ejtLTI系統(tǒng)的頻域分析第95頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3.5.2信號f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應ejtH(j)ejtF(j)ejtdF(j)H(j)ejtd齊次性可加性‖f(t)‖y(t)=F–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)H(j)y(t)=f(t)*h(t)LTI系統(tǒng)的頻域分析第96頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三頻率響應H(j)可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的傅里葉變換Y(j)與激勵f(t)的傅里葉變換F(j)之比，即|H(j)|稱為幅頻特性(或幅頻響應);θ()稱為相頻特性(或相頻響應).|H(j)|是的偶函數(shù),θ()是的奇函數(shù).頻域分析法步驟：傅里葉變換法LTI*h(t)f(t)y(t)=f(t)*h(t)F(j).H(j)=Y(j)傅立葉逆變換y(t)LTI系統(tǒng)的頻域分析第97頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法周期信號若則可推導出LTI系統(tǒng)的頻域分析第98頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三例題1某LTI系統(tǒng)的|H(j)|和θ()如圖，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t),求系統(tǒng)的響應.解法一：用傅里葉變換F(j)=4πδ(ω)+4π[δ(ω–5)+δ(ω+5)]+4π[δ(ω–10)+δ(ω+10)]Y(j)=F(j)H(j)=4πδ(ω)H(0)+4π[δ(ω–5)H(j5)+δ(ω+5)H(-j5)]+4π[δ(ω–10)H(j10)+δ(ω+10)H(-j10)]H(j)=H(j)ejθ()=4πδ(ω)+4π[-j0.5δ(ω–5)+j0.5δ(ω+5)]y(t)=F-1[Y(j)]=2+2sin(5t)LTI系統(tǒng)的頻域分析第99頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三解法二：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率Ω=5rad/sf(t)=2+4cos(Ωt)+4cos(2Ωt)H(0)=1，H(jΩ)=0.5e-j0.5π，H(j2Ω)=0y(t)=2+4×0.5cos(Ωt–0.5π)=2+2sin(5t)LTI系統(tǒng)的頻域分析第100頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三3.5.3頻率響應H(j)的求法1.H(j)=F[h(t)]

2.H(j)=Y(j)/F(j)(1)由微分方程求,對微分方程兩邊取傅里葉變換.(2)由電路直接求出.例題2某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=f(t)求f(t)=e-tu(t)時的響應y(t)。解：微分方程兩邊取傅里葉變換jY(j)+2Y(j)=F(j)f(t)=e-tu(t)←→Y(j)=H(j)F(j)LTI系統(tǒng)的頻域分析第101頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三y(t)=(e-t–e-2t)u(t)例題3如圖電路,R=1Ω,C=1F,以uC(t)為輸出,求其h(t)。解：畫電路頻域模型所以:h(t)=e-tu(t)

頻域模型LTI系統(tǒng)的頻域分析第102頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三LTI系統(tǒng)的頻域分析3.5.4無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類:一類是信號的傳輸,一類是濾波.傳輸要求信號盡量不失真,而濾波則濾去或削弱不需要有的成分,必然伴隨著失真.1、無失真?zhèn)鬏?1)定義:信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比,只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同,而沒有波形上的變化.即輸入信號為f(t),經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?輸出信號應為

y(t)=Kf(t–td)其頻譜關系為Y(j)=Ke–jtdF(j)

第103頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三LTI系統(tǒng)的頻域分析上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件.當傳輸有限帶寬的信號時,只要在信號占有頻帶范圍內(nèi),系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可.(2)無失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?對系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a)對h(t)的要求：h(t)=K(t–td)(b)對H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即H(j)=K,θ()=–td

第104頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三LTI系統(tǒng)的頻域分析例題4系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示,則下列信號通過該系統(tǒng)時,不產(chǎn)生失真的是(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)解:不失真的條件是H(j)=K,θ()=–td

題圖H(j)=K(-10<<10),θ()=–td(-5<<5).所以(B)信號經(jīng)過系統(tǒng)時不會失真.第105頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三2理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器.c稱為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應可寫為:(1)沖激響應h(t)=?-1[g2c()e-jtd]=※h(t)不是因果信號,它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng).LTI系統(tǒng)的頻域分析第106頁，共123頁，2023年，2月20日，星期三(2)階躍響應g(t)=h(