音樂(lè)(yīnyuè)中的數(shù)學(xué)之美南開(kāi)大學(xué)第三屆大學(xué)生“數(shù)學(xué)(shùxué)之美〞論壇孫思玉應(yīng)用(yìngyòng)心理學(xué)第一頁(yè)，共24頁(yè)。1目錄音樂(lè)與數(shù)學(xué)結(jié)合的起源樂(lè)理中的數(shù)學(xué)規(guī)律

樂(lè)曲結(jié)構(gòu)與黃金分割和聲的傅立葉分析

樂(lè)器中的數(shù)學(xué)奧妙

第二頁(yè)，共24頁(yè)。2音樂(lè)與數(shù)學(xué)(shùxué)結(jié)合的起源最早將音樂(lè)與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)的研究要追溯(zhuīsù)至公元前六世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用比例把二者有機(jī)結(jié)合起來(lái)。樂(lè)聲的協(xié)調(diào)與所聯(lián)系的整數(shù)(zhěngshù)之間有著密切的關(guān)系，撥動(dòng)一根弦發(fā)出的聲音取決于繃緊的弦的長(zhǎng)度協(xié)和音由長(zhǎng)度與原弦長(zhǎng)的比為整數(shù)(zhěngshù)比的弦給出被撥動(dòng)弦的每一種和諧的結(jié)合，都能表示為整數(shù)(zhěngshù)比，由增大成整數(shù)(zhěngshù)比的弦的長(zhǎng)度，能夠產(chǎn)生全部的音階。第三頁(yè)，共24頁(yè)。3音樂(lè)與數(shù)學(xué)(shùxué)結(jié)合的起源CBAGFEDC2

.第四頁(yè)，共24頁(yè)。4音樂(lè)與數(shù)學(xué)(shùxué)結(jié)合的起源五度相生律也是畢達(dá)哥拉斯的首創(chuàng)，故又名畢達(dá)哥拉斯律根底音：發(fā)音體整體振動(dòng)產(chǎn)生的最低的音是根底音，是由一根弦或空氣(kōngqì)柱整體振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的泛音：以根底音為標(biāo)準(zhǔn)，其余1/2、1/3、1/4等各局部也是同時(shí)振動(dòng)，是泛音。泛音的組合決定了特定的音色，并能使人明確地感到基音的響度。樂(lè)器和自然界里所有的音都有泛音。第五頁(yè)，共24頁(yè)。5音樂(lè)與數(shù)學(xué)結(jié)合(jiéhé)的起源根據(jù)第一(dìyī)、二泛音間頻率比為2：3的關(guān)系進(jìn)行音的繁衍，以此為純五度，進(jìn)行一系列的五度相生，從而得到調(diào)中諸音。純律取泛音列中第一(dìyī)、二泛音之間的純五度以及第三、四泛音間的大三度這兩種音程為繁衍新音的要素，由頻率比為4:5:6的幾個(gè)大三和弦確定諸音高。第六頁(yè)，共24頁(yè)。6

純律的實(shí)際應(yīng)用及樂(lè)譜記載在六世紀(jì)由我國(guó)梁代丘明傳譜的?碣石調(diào)幽蘭?。直至十六世紀(jì)我國(guó)在數(shù)學(xué)(shùxué)運(yùn)算上有所突破，在算盤(pán)上用開(kāi)兩次平方和一次立方的方法求出了十二次方根，這實(shí)際就是一百多年后由德國(guó)人沃克梅斯特提出的十二平均律，其頻率由等比數(shù)列通項(xiàng)公式確定，公比為，是2開(kāi)12次方的算數(shù)根。音樂(lè)(yīnyuè)與數(shù)學(xué)結(jié)合的起源第七頁(yè)，共24頁(yè)。7樂(lè)理中的數(shù)學(xué)(shùxué)規(guī)律音程(yīnchéng)轉(zhuǎn)位音程：兩個(gè)音之間在音高上的關(guān)系(guānxì)

單音程：八度以?xún)?nèi)的音程

音程轉(zhuǎn)位：將音程的冠音和根音相互顛倒位置

第八頁(yè)，共24頁(yè)。8樂(lè)理中的數(shù)學(xué)(shùxué)規(guī)律音程(yīnchéng)轉(zhuǎn)位對(duì)單音程(yīnchéng)而言，原音程(yīnchéng)及其轉(zhuǎn)位音程(yīnchéng)的度數(shù)之和為9。在音符方面，小于全音符的諸音符由除法確定，如二分音符為全音符的，四分音符為全音符的。拍子是拍的分組，如拍子是以全音符的為1拍，每小節(jié)有3拍，即，而拍子可認(rèn)為以全音符的為一拍，每小節(jié)有6拍，即。

？？第九頁(yè)，共24頁(yè)。9樂(lè)曲結(jié)構(gòu)(jiégòu)與黃金分割對(duì)稱(chēng)在數(shù)學(xué)上就是1:1，由上下句構(gòu)成的樂(lè)段，由起承轉(zhuǎn)合四部分構(gòu)成的作品，由四個(gè)樂(lè)章構(gòu)成的交響曲，都體現(xiàn)了造型的對(duì)稱(chēng)美

作曲黃金分割把線段L分成兩段，使其中較長(zhǎng)段x為全段與較短段（L-x）的比例中項(xiàng)，即滿(mǎn)足等式L:x=x:（L-x）.x=0.618034…倍L

第十頁(yè)，共24頁(yè)。10第十一頁(yè)，共24頁(yè)。11樂(lè)曲(yuèqǔ)結(jié)構(gòu)與黃金分割

巴托克的頂峰之作?弦樂(lè)(xiánlè)、打擊樂(lè)與鋼片琴的音樂(lè)?第十二頁(yè)，共24頁(yè)。12樂(lè)譜(yuèpǔ)結(jié)構(gòu)第十三頁(yè)，共24頁(yè)。13這部作品第三(dìsān)樂(lè)章89小節(jié)(xiǎojié)B34小節(jié)(xiǎojié)A21小節(jié)A34小節(jié)一21小節(jié)二13小節(jié)二8小節(jié)一13小節(jié)二21小節(jié)一13小節(jié)高潮55小節(jié)34：5513：2121：348：13黃金分割第十四頁(yè)，共24頁(yè)。148、13、21、34、55、89等小節(jié)數(shù)數(shù)字本身，那么均含于黃金分割的另一種(yīzhǒnɡ)形式——斐波那契數(shù)列〔即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144等，且從第三項(xiàng)起每項(xiàng)均為前兩項(xiàng)之和〕。這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)之比1:1反映對(duì)稱(chēng)關(guān)系，而自第三項(xiàng)起，每相鄰兩項(xiàng)之比方2:3、3:5、5:8、8:13等均近似反映黃金分割的比例關(guān)系，且愈往后精確度愈高。由此可認(rèn)為，上述樂(lè)曲的結(jié)構(gòu)明顯受斐波那契數(shù)列的制約。第十五頁(yè)，共24頁(yè)。15和聲的傅立葉分析(fēnxī)一個(gè)音叉所發(fā)出的聲音，其圖像就是一個(gè)正弦函數(shù)，如。任何樂(lè)聲的圖像都是周期性的圖像，它有固定的音高和頻率。而傅立葉定理指出，任何一個(gè)周期函數(shù)都可以表示為三角級(jí)數(shù)的形式，如任何一個(gè)周期函數(shù)都可表示為

其中頻率最低的一項(xiàng)為根本音，其余的為泛音。由公式(gōngshì)知，所有泛音的頻率都是根本音頻率的整數(shù)倍，稱(chēng)為根本音的諧波。

第十六頁(yè)，共24頁(yè)。16和聲的傅立葉分析(fēnxī)根據(jù)傅立葉定理(dìnglǐ)，每個(gè)樂(lè)音都可以分解成一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。假設(shè)do的頻率是，那么它可以分解成頻率為，，，，……的諧波的疊加，即；同理，高音do的頻率是，同樣可以分解為頻率為，，，，……的諧波的疊加，即。這兩列諧波的頻率有一半是相同的，所以do和高音do是最和諧的。第十七頁(yè)，共24頁(yè)。17傅立葉還發(fā)現(xiàn)每種聲音都有三種(sānzhǒnɡ)品質(zhì)：與曲線(qūxiàn)的頻率有關(guān)與曲線的振幅(zhènfú)有關(guān)與周期函數(shù)的形狀有關(guān)音調(diào)音量音色第十八頁(yè)，共24頁(yè)。18樂(lè)器(yuèqì)中的數(shù)學(xué)微妙能與某音發(fā)生共鳴的空氣柱長(zhǎng)度為該音波波長(zhǎng)的、、1、2等倍。低音樂(lè)器發(fā)音低，聲波長(zhǎng)，所以要求共鳴箱有較大體積；高音樂(lè)器那么反之(fǎnzhī)，發(fā)音高，聲波短，所以共鳴箱需較小體積。由于一件樂(lè)器可以發(fā)出多個(gè)樂(lè)音，所以又要求其形狀復(fù)雜，以利于在各個(gè)不同方位上形成不同長(zhǎng)度的共鳴空氣柱，適合于不同高度音響的需要。如中央C音頻率為，波長(zhǎng)米，波長(zhǎng)的是米，為保證該音共鳴，那么共鳴箱的內(nèi)空至少有一個(gè)方位為米〔或其2、4、8等倍數(shù)〕。音越低，波長(zhǎng)越大，跨越障礙的本領(lǐng)也越強(qiáng)，再加上頻率低，能量損耗小的特點(diǎn)，決定了低音的傳遠(yuǎn)性。第十九頁(yè)，共24頁(yè)。19樂(lè)器中的數(shù)學(xué)(shùxué)微妙樂(lè)器之王——鋼琴的鍵盤(pán)，其琴鍵的音程恰好與斐波那契數(shù)列有關(guān)。在鋼琴的鍵盤(pán)上，從一個(gè)C鍵到下一個(gè)C鍵就是音樂(lè)中的一個(gè)八度音程，其中共包括(bāokuò)13個(gè)鍵，分別是8個(gè)白鍵和5個(gè)黑鍵，而5個(gè)黑鍵分成2組，一組有2個(gè)黑鍵，一組有3個(gè)黑鍵。2、3、5、8、13恰好就是斐波那契數(shù)列中的前幾個(gè)數(shù)。第二十頁(yè)，共24頁(yè)。20音樂(lè)(yīnyuè)是心靈的算術(shù)練習(xí)?！R布尼茨音樂(lè)(yīnyuè)是由數(shù)規(guī)定的運(yùn)動(dòng)?！獖W古斯丁第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。21音樂(lè)中出現(xiàn)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)中存在音樂(lè)并非偶然，而是音樂(lè)與數(shù)學(xué)融合一體的完美表達(dá)。音樂(lè)可以抒發(fā)人們(rénmen)的情感，是對(duì)人們(rénmen)自己內(nèi)心世界的反響和對(duì)客觀世界的感