數(shù)學(xué)建模在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用摘要：我國人口眾多，從新中國成立，我國的人口政策一共經(jīng)歷了四個時期，從鼓勵生育-限制生育-獨(dú)生子女政策-二孩政策，我國在控制人口方面做出了突出的成績，得以使得我國人口平穩(wěn)有序的增長。而近年來，隨著老齡化人口的加重，對我國經(jīng)濟(jì)、社會的發(fā)展造成了一定的影響，2021年5月31日，全面放開三孩政策，人口問題受到越來越多人的重視。關(guān)鍵詞：回歸分析數(shù)據(jù)擬合老齡化模型預(yù)測一、課題分析數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)的問題數(shù)字化，再利用數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)知識處理問題的過程。新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，高中時期應(yīng)該最少為學(xué)生組織一節(jié)數(shù)學(xué)建模探究課，讓他們逐步產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模的想法，加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識處理問題的能力。一般數(shù)學(xué)建模過程如下：搜集數(shù)據(jù)模型假設(shè)模型建立不合理模型應(yīng)用合理模型分析模型求解《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：我國在數(shù)學(xué)教育上應(yīng)該重視，并明確指出，高中數(shù)學(xué)課程體系應(yīng)體現(xiàn)出它的價值，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的探究課[1]。大數(shù)據(jù)時代，數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用越來越廣泛，它相當(dāng)于是數(shù)學(xué)與生活架起的橋梁，因此，在教學(xué)的過程中，應(yīng)該立足課本，將生活的問題數(shù)學(xué)化，逐步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。下面本文將嘗試以《實(shí)際問題的函數(shù)建模》為課題進(jìn)行研究。必修一學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是函數(shù)，首先從生活中變量與變量之間的關(guān)系拓展到數(shù)集上兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。此后學(xué)習(xí)了幾個初等函數(shù)：簡單的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，第四章第二節(jié)實(shí)際問題的函數(shù)建模課本安排了三個課時，足以看出新課改下，對學(xué)生將知識運(yùn)用到實(shí)際生活中的重視。學(xué)生在2020年剛經(jīng)歷過第七次人口普查，趁著熱度，本文選取了“近20年中國總?cè)丝诘淖兓闆r”作為研究背景，不僅能讓學(xué)生積極主動的參與課堂，還可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。二、教學(xué)設(shè)計與實(shí)施1.問題重述我國每十年進(jìn)行一次人口普查，目的不僅是全面掌握我國人口的變化情況，同時也為我國經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展以及國家制定人口政策等提供一個重要依據(jù)，因此對于人口預(yù)測是很有必要的。下表（表1）是從中國統(tǒng)計年鑒上搜集的2000~2019年的人口（單位：萬人）數(shù)據(jù)：表12000-2019年我國人口統(tǒng)計年份人口/萬年份人口/萬年份人口/萬年份人口/萬人人人人20001267432005130756201013409120151374622001127627200613144820111347352016138271200212845320071321292012135404201713900820031292272008132802201313607220181395382004129988200913345020141367822019140005問題：（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，并結(jié)合二孩政策及老齡化情況，分析我國人口的現(xiàn)狀；（2）通過建立模型，預(yù)測我國2020~2024年的人口分布情況；2.模型假設(shè)：（1）所搜集的樣本數(shù)據(jù)真實(shí)有效；

（2）人口變化是連續(xù)的，不考慮重大災(zāi)難造成的總?cè)丝跀?shù)驟減；（3）每個人都有相同的生育能力和死亡可能性；

（4）不考慮人口的的遷入與遷出；3.我國人口狀況分析首先根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出我國總?cè)丝跀?shù)與時間的散點(diǎn)圖如圖1：萬萬萬/萬萬142,000140,000138,000136,000134,000132,000130,000128,000126,000在二孩政策實(shí)行的首年，人口達(dá)到138271萬人，較2015年同比增長0.59%，2017年人口達(dá)到139008萬人，較2015年年平均增長率為0.56%，2018年人口達(dá)到139538萬人，較2015年年平均增長率為0.50%，二孩政策實(shí)行的效果體現(xiàn)出滯后性。4.模型建立人口預(yù)測是以現(xiàn)在的人口分布情況為基礎(chǔ)，對未來的發(fā)展趨勢提出合理的參數(shù)條件，以達(dá)到獲得未來數(shù)據(jù)的方法[2]。而用于預(yù)測人口的方法主要有線性回歸模型、指數(shù)增長模型、Logistic人口阻滯增長模型等多種方法，考慮到高中生在本階段所擁有的知識儲備量以及對新知識的接受能力，本文主要選取必修一中學(xué)生所熟悉的幾種函數(shù)并結(jié)合選修2-3第三章的可線性化的回歸分析來建模。 （1）一元線性回歸模型

將2000-2019年的數(shù)據(jù)處理之后（以2000年為起始值），各散點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，根據(jù)最小二乘法，當(dāng)Q20

i1(yiy2)?達(dá)到最小時，得到兩變量之間擬合程度最高的曲線，擬合曲線如圖3所示：200144,000140,000136,000132,000100128,0000124,000-100-200-300-4002000200220042006200820102012201420162018ResidualActualFitted圖3一元線性回歸擬合圖由圖3分析可得，擬合曲線幾乎落在真實(shí)值附近，通過計算，得到一元線性回歸方程為：y693.23x1259342，R20.9987.誤差分布在100±300（單位：萬人）之間，從圖中可以看出：2000~2002年誤差范圍波動較大，但誤差范圍逐漸在減小，2008~2017年之間，誤差范圍波動較小且與真實(shí)值比較接近，2018~2019年，誤差又開始逐漸的增大，表明該模型對未來數(shù)據(jù)的預(yù)測不一定能達(dá)到我們的期望。（2）多項(xiàng)式模型

為了找到與真實(shí)值擬合程度更接近的模型，本文進(jìn)行了多次嘗試，分別建立了二次，三次，四次的多項(xiàng)式擬合模型，通過比較不同擬合模型的R2以及值的p大小，最后發(fā)現(xiàn)二次多項(xiàng)式的擬合效果最好，得到的擬合曲線如圖4所示：200144,000140,000136,000132,000100128,0000124,000-100-2002000200220042006200820102012201420162018ResidualActualFitted圖4二次多項(xiàng)式擬合回歸圖對圖4分析可得，其擬合曲線與真實(shí)值幾乎重合，且誤差分布在0±200（單位：萬人）之間，明顯比一元線性回歸擬合的誤差要小，通過計算得到的多項(xiàng)式方程為：y3.4745x214657.4x1528972.6,R2.0999.4達(dá)到了很好的擬合效果，且在2017~2018年間，誤差波動的范圍較小，在短期時間內(nèi)，可以利用此模型對我國人口的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測。 （3）指數(shù)增長模型

從主觀上看，我國每時每刻都有新生兒的誕生，其人口增長的速度是非?？斓模唵蔚木€性回歸根本滿足不了模型的需要，因此，我們考慮變化速度較快的，具有“爆炸式增長”特征的指數(shù)函數(shù)模型。得到的擬合圖如圖5所示：.00211.8611.8411.8211.8011.78.00111.7611.74.000-.001-.002-.003-.0042000200220042006200820102012201420162018ResidualActualFitted圖5指數(shù)增長模型擬合圖對圖5進(jìn)行分析可得，其擬合曲線與以上兩個模型相比較，誤差范圍波動的比較大，2018年誤差達(dá)到最大，在2019年誤差有所緩和，主要是因?yàn)閿M合的曲線是單調(diào)遞增且無止境的，而我國的人口總數(shù)因?yàn)槭艿浇?jīng)濟(jì)、社會的影響不可能持續(xù)上升。通過計算，其擬合的指數(shù)型方程為：y.39829e.00052x,R2.09978.擬合效果也達(dá)到了99.78%，說明模型較好，在短時間內(nèi)可以對我國將來的人口進(jìn)行預(yù)測。 下面當(dāng)年份取2015~2019時，得到相應(yīng)的預(yù)測值，并與其真實(shí)值進(jìn)行比較，如下表：表2三種模型的預(yù)測值與誤差年份實(shí)際人口/萬人一元線性回歸多項(xiàng)式擬合指數(shù)增長模型預(yù)測值相對誤差預(yù)測值相對誤差預(yù)測值相對誤差2015137462/萬人/%/萬人/%/萬人/%1375120.0361375230.0441375100.03520161382711382060.0471381740.0071382260.03320171390081388990.0781388190.0131389460.04520181395381395920.0391394570.0581396690.09420191400051402850.021400870.0591403960.028由表格可得，一元線性回歸得到的預(yù)測值與真實(shí)值的誤差都控制在0.020%~0.078%之間，多項(xiàng)式擬合得到的預(yù)測值與真實(shí)值的誤差都控制在0.007%~0.059%之間，相對誤差較小，相比于一元線性回歸，其預(yù)測值與真實(shí)值更接近，結(jié)合R2可以看出，一元多項(xiàng)式的擬合效果比一元線性回歸的擬合效果要好。指數(shù)模型擬合得到的預(yù)測值與真實(shí)值的誤差在0.028%~0.094%之間，其誤差范圍波動較大，但2019年預(yù)測值的誤差開始減小。三、結(jié)論從本文所建立的三個模型發(fā)現(xiàn)，每個模型R2都達(dá)到了99%以上，但影響人口的因素也比較多，比較復(fù)雜，人口的增長不可能一直呈現(xiàn)某一固定的增長趨勢，因此所建立的三個模型均只適合對短期內(nèi)的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測，下面是2021~2024年各模型對人口預(yù)測的結(jié)果：表3三種模型預(yù)測值對比一元線性回歸多項(xiàng)式擬合指數(shù)增長模型年份預(yù)測值預(yù)測值預(yù)測值/萬人/萬人/萬人20201409781407111411272021141672141328141861202214236514193814259920231430581425401433422024143751143136144088 考慮到三種模型對人口數(shù)量預(yù)測的精確度都比較高，而對于三種模型預(yù)測的結(jié)果均不相同，下面對三組預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行均值檢驗(yàn)，一元線性回歸、多項(xiàng)式擬合以及指數(shù)增長模型依次對應(yīng)的結(jié)果為138899，138812，138949結(jié)果差距并不大且p≈0.98>0.01，不能拒絕原假設(shè)，表明以上模型的結(jié)果并沒有顯著性的差異。為了減少誤差對預(yù)測結(jié)果造成的影響，下面嘗試將三種模型進(jìn)行多元線性回歸，結(jié)果顯示只有指數(shù)型模型預(yù)測值顯著，其他均不顯著。因此用指數(shù)增長模型對我 ~

2024年人口預(yù)測結(jié)果為141127萬人、國人口進(jìn)行預(yù)測較為合適。最終得到2020141861萬人、142599萬人、143342萬人、144088萬人。在以上三種模型中，人口總數(shù)會隨著時間的變化而持續(xù)增加且無止境。結(jié)合圖2中老齡化人口數(shù)量與我國人口總數(shù)的變化情況可知，我國人口隨著老