第二章平面匯交力系與平面力偶系

Chapter2

CoplanarConcurrentForceSystems&CoupleSystem

本章分別用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成與平衡問題；介紹平面力偶的基本特性以及平面力偶系的合成與平衡問題。本章主要內(nèi)容2.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法設(shè)平面力系F1、F2，匯交于A點(diǎn)，其合力為FR=F1+F2，合成的過程可以圖示為平行四邊形、力三角形。2.1.1平面匯交力系合成的幾何法1.兩個(gè)力合成的幾何法匯交力系：各力的作用線匯交于一點(diǎn)的力系。2.多個(gè)力合成的幾何法多邊形abcde稱為此平面匯交力系的力多邊形

矢量稱為此力多邊形的封閉邊求合力矢的幾何作圖法稱為力多邊形法則若改變各分力矢的合成次序，則繪出的力多邊形的形狀亦會(huì)隨之改變，但不會(huì)影響合力FR的大小和方向。對(duì)于非平面力系，此法多應(yīng)用理論推導(dǎo)，在計(jì)算中不甚實(shí)用。注意：結(jié)論平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和（幾何和），合力的作用線通過力系的匯交點(diǎn)。平面匯交力系平衡的充分和必要條件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量和等于零，即平面匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是：力系的力多邊形自行封閉。2.1.2平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系簡(jiǎn)化、平衡幾何法的應(yīng)用幾何法在理論分析中應(yīng)用甚廣，而在解決計(jì)算題中一般多被限制在用于三力匯交問題，更為復(fù)雜的問題一般使用解析法。幾何法解題的步驟：選定研究對(duì)象；畫研究對(duì)象受力圖；作力三角形；（多邊形）確定未知量。在簡(jiǎn)化時(shí)就是求合力；對(duì)于平衡問題是求力系中的未知成員。例：試求橫梁上的各約束力解：應(yīng)用正弦定理解力三角形Fq24cm6cmACBDO(a)E圖a所示是汽車制動(dòng)機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動(dòng)蹬上的力F=212N，方向與水平面成θ=45角。當(dāng)平衡時(shí)，DA鉛直，BC水平，已知EA=24cm，

DE=6cm點(diǎn)E在鉛直線DA上，又B

，C

，D都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的自重不計(jì)。試求拉桿BC所受的力。例：幾何法解：2.2平面匯交力系合成與平衡的解析法y力在坐標(biāo)軸上的投影xoFxFy力在某軸上的投影等于力的模乘以力與該軸的正向間夾角的余弦。力在坐標(biāo)軸上的投影是個(gè)代數(shù)量。2.2.1力在直角坐標(biāo)軸上的投影與力的解析表達(dá)式若已知F

在正交坐標(biāo)軸上的投影為Fx

和Fy

，則由幾何關(guān)系可求出力F的大小和方向，即,式中cosα、cosβ稱為力F

的方向余弦。注意:力F沿正交軸分解為兩個(gè)分力Fx和Fy時(shí)，其分力與力的投影之間有下列關(guān)系：分力與投影的關(guān)系力的解析表達(dá)式：注意:（1）力的投影是代數(shù)量，而力的分量是矢量；（2）力投影無所謂作用點(diǎn)，而分力必須作用在原力的作用點(diǎn)。（3）當(dāng)x，y軸不相互垂直時(shí)，投影不等于分力的大小。2.2.2平面匯交力系合成的解析法設(shè)平面匯交力系（F1,F2,…Fn）作用在剛體上，以力系匯交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在力系作用面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy，求出各力在x，y軸上的投影，將各力用解析式表示：力系的合力矢在任一軸上的投影，等于各分力矢在同一軸上投影的代數(shù)和。這一關(guān)系稱為合力投影定理。合力投影定理：

F1=(2,0)；F2=(1,1.4)；F3=(0,1.4)；F4=(-1.6,1)（kN）例:試求下力系的合力。解：平面匯交力系平衡充要條件是該力系的合力矢FR等于零。用解析式表示的平面匯交力系平衡的充要條件是：各力在力系作用面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。2.2.3平面匯交力系的平衡方程解題步驟：（1）選取研究對(duì)象（2）畫研究對(duì)象受力圖（3）選投影軸，建立平衡方程（4）求解未知量注意：利用平衡方程求解平衡問題時(shí)，受力圖中得未知力的指向可以任意假設(shè)。若計(jì)算結(jié)果為正值，表示假設(shè)的指向就是實(shí)際的指向；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表示假設(shè)的指向與實(shí)際指向相反。把繩子拉力簡(jiǎn)化至B點(diǎn)。把FAB方向設(shè)反，根據(jù)所得結(jié)果的正負(fù)，也能得到正確結(jié)果。例:已知F，試求A、C兩點(diǎn)反力解：列平衡方程并求解解：1.分析B點(diǎn)2.分析E點(diǎn)3.分析C點(diǎn)例：試求FE與F的關(guān)系。2.3力對(duì)點(diǎn)的矩力對(duì)物體作用時(shí)可產(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)移動(dòng)效應(yīng)——力的大小和方向轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)——力矩2.3.1力對(duì)點(diǎn)的矩的概念與計(jì)算1.力對(duì)點(diǎn)之矩（平面力矩）在平面內(nèi)力F對(duì)O點(diǎn)的力矩定義為h為力線到矩心O的距離，稱為力臂；F是力值。量綱：[FL]，單位：N.m、kN.m，方向：一般逆時(shí)針為正。力對(duì)點(diǎn)的矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小F與力臂h的乘積，力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正值，反之取為負(fù)值。注意：（1）力F對(duì)點(diǎn)O的矩，不僅決定于力的大小，同時(shí)與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。（2）力F沿其作用線移動(dòng)，不改變它對(duì)點(diǎn)的矩。（3）力的大小等于零，或力的作用線通過矩心（即力臂h=0），則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個(gè)力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。力矩的性質(zhì)：平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。2.3.2合力矩定理1、合力矩定理2.4平面力偶理論2.4.1力偶與力偶矩大小M=Fd

、旋轉(zhuǎn)方向（一般逆時(shí)針為正）、力偶的作用面力偶矩的三要素：在平面力系問題中，力偶矩是一個(gè)代數(shù)量。力偶矩的單位：力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影等于零；力偶不能合成為一力，或者說力偶沒有合力，既不能與一個(gè)力等效也不能與一個(gè)力相平衡；力偶和力一樣為一個(gè)基本力學(xué)量。力偶只能與力偶相平衡。力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。稱為力偶的等效性。即：同一平面內(nèi)兩力偶M1、M2等效的充要條件是力偶矩相等。力偶對(duì)物體不產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)，只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，既它可以也只能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。2.4.2力偶的基本性質(zhì)推論1：力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。即力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與其在作用面內(nèi)的具體位置無關(guān)。力偶矩是力偶對(duì)剛體作用的唯一度量。根據(jù)力偶的等效性，可得出兩個(gè)推論：推論2：在保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的情況下，可任意改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，不會(huì)改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。平面力偶系：作用在物體上同一平面內(nèi)的一群力偶平面力偶系的合成：在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。2.4.3平面力偶系的合成和平衡條件平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要和充分