第四章有限元法第1頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四主要內(nèi)容有限元法的基本概念有限元法的分類有限元法的求解步驟（重點）常用有限元軟件簡介第2頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四隨著生產(chǎn)的發(fā)展，不斷要求設計高質(zhì)量、高水平的大型、復雜和精密的機械和工程結(jié)構(gòu)。在產(chǎn)品加工中，在分析產(chǎn)品性能過程中，往往需要了解產(chǎn)品在承受載荷的情況下的應變與位移、溫度場、流場、磁場的分布情況等，從而為產(chǎn)品的性能設計提供依據(jù)。

第3頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四蓄水后大壩的位移與應變情況、地震時大壩的位移與應變情況等三峽大壩的受力情況

第4頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四航天飛機飛行中的受熱分析溫度場分布

第5頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四導彈、飛機飛行的流體動力學分析流場分布

第6頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四磁場分布

分析衛(wèi)星、飛船在軌運行時磁場的影響

第7頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四傳統(tǒng)方法在處理這類問題時，往往要對一個實際的物理系統(tǒng)作出多種假設，比如形狀假設、連續(xù)性假設、物體的各項同性假設，然后通過經(jīng)典理論方法得出問題的解析解，這種解析解從形式上看，可以得出關于實際問題的連續(xù)解，比如用方程描述三峽大壩每一點的位移和應變，但這樣的解析解往往和實際情況有比較大的偏差。這對于精度要求不高的領域是可以的，但對于有些領域，就不能滿足實際的需要了。

第8頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四同時，實際中常常要遇到一些幾何上復雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變以及幾何非線性、材料非線性的物理系統(tǒng)，對這些系統(tǒng)經(jīng)典理論解決起來相當困難，有時甚至無法解決，也就是無法求得解析解。因此，尋求離散數(shù)值分析法就成了必由之路。常用的數(shù)值分析法有兩種：差分法和有限元法。

第9頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

差分法是在傳統(tǒng)方法的基礎上，將傳統(tǒng)方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz變成差分Δx，Δy，Δz，從而把微分方程變成代數(shù)方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系統(tǒng)中各個離散點的物理量，用差分離散解代替連續(xù)解。這種方法要求能建立微分方程，并能給出邊界條件的數(shù)學表達式，因此，對于一些不規(guī)則的幾何形狀和不規(guī)則的特殊邊界條件難以應用。第10頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一、有限元法的基本概念1.什么是有限元法我們實際要處理的對象都是連續(xù)體，在傳統(tǒng)設計思維和方法中，是通過一些理想化的假定后，建立一組偏微分方程及其相應的邊界條件，從而求出在連續(xù)體上任一點上未知量的值。因為點是無限多的，存在無限自由度的問題，很難直接求解這種偏微分方程用來解決實際工程問題，因此需要采用近似方法來處理。

第11頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四其中最主要的是離散化方法，把問題歸結(jié)為只求有限個離散點的數(shù)值，把無限自由度問題變成有限個自由度。

把一個連續(xù)體分割成有限個單元，即把一個復雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個通過節(jié)點相連的單元組成的整體，先進行單元分析，然后再把這些單元組合起來代表原來的結(jié)構(gòu)，以得到復雜問題的近似數(shù)值解。這種方法稱為有限元法（TheFiniteElementMethod）。

第12頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四有限元法是一種以計算機為手段，通過離散化將研究對象變換成一個與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解應力、應變、位移等參數(shù)的數(shù)值計算方法。所謂離散化就是將一個連續(xù)體分割成若干個通過節(jié)點相連的單元，這樣一個有無限個自由度的結(jié)構(gòu)就變換成一個具有有限個自由度的近似結(jié)構(gòu)。該過程還包括對單元和節(jié)點進行編碼以及局部坐標系和整體坐標系的確定。第13頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.幾個基本概念1）單元（element）將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點聯(lián)結(jié)的基本構(gòu)件如桿、梁、板和殼組成的，這些基本構(gòu)件稱為單元。在有限元法中，單元用一組節(jié)點間相互作用的數(shù)值和矩陣（剛度系數(shù)矩陣）來描述。第14頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四單元具有以下特征：每一個單元都有確定的方程來描述在一定載荷下的響應；模型中所有單元響應的“和”給出了設計的總體響應；單元中未知量的個數(shù)是有限的，因此稱為“有限單元”。第15頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2）節(jié)點（node）單元與單元之間的聯(lián)結(jié)點，稱為節(jié)點。在有限元法中，節(jié)點就是空間中的坐標位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。載荷載荷節(jié)點:

空間中的坐標位置，具有一定響應，相互之間存在物理作用。單元:節(jié)點間相互作用的媒介，用一組節(jié)點相互作用的數(shù)值矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。第16頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四.1node..信息是通過單元之間的公共節(jié)點傳遞的。分離但節(jié)點重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞具有公共節(jié)點的單元之間存在信息傳遞

..AB......AB...2nodes第17頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3）有限元模型（node）

有限元模型真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學抽象。由一些形狀簡單的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。

每個單元的特性是通過一些線性方程式來描述的。作為一個整體，所有單元的組合就形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學模型。

有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。第18頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四膨化飼料床層進風口出風口膨化飼料帶式干燥機有限元模型XZ網(wǎng)格節(jié)點步長為40mm,共1113040個單元第19頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四對于一個具體的工程結(jié)構(gòu)，單元的劃分越小，求解的結(jié)果就越精確，同時，其計算工作量也就越大。梯子的有限元模型不到100個方程；在ANSYS分析中，一個小的有限元模型可能有幾千個未知量，涉及到的單元剛度系數(shù)幾百萬個。單元劃分的精細程度，取決于工程實際對計算結(jié)果精確性的要求。第20頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四4）單元形函數(shù)（node）

有限元法僅僅求解節(jié)點處的響應值。單元形函數(shù)是一種數(shù)學函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點響應值到單元內(nèi)所有點處響應值的計算方法,因此，單元形函數(shù)提供一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的“形狀”。單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定的特性。單元形函數(shù)與真實工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。第21頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四真實的二次曲線.節(jié)點單元二次曲線的線性近似

(不理想結(jié)果).2節(jié)點單元響應值二次分布..1節(jié)點單元線性近似(更理想的結(jié)果)真實的二次曲線.....3節(jié)點單元二次近似(接近于真實的二次近似擬合)(最理想結(jié)果)..4第22頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的響應，就不能很好地得到導出數(shù)據(jù)，因為這些導出數(shù)據(jù)是通過單元形函數(shù)推導出來的。當選擇了某種單元類型時，也就十分確定地選擇并接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時有足夠數(shù)量的單元和節(jié)點來精確描述所要求解的問題。第23頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四5）有限元分析有限元分析（FEA）就是利用數(shù)學近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬。并利用簡單而又相互作用的元素（即單元），用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。有限元分析是一種模擬設計載荷條件，并且確定在載荷條件下的設計響應的方法。它是用被稱之為“單元”的離散的塊體來模擬設計的。第24頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二、有限元法的特點與作用1.有限元法的特點1）離散化：把連續(xù)體劃分成有限個單元，把單元間的連接點（節(jié)點）作為離散點；2）不考慮微分方程，而從單元本身特點進行研究；(研究未知量在單元內(nèi)部及在單元節(jié)點上值的關系，從而導出單元節(jié)點響應和對應的載荷之間的關系，然后把它們組集起來,以求解一個以各節(jié)點響應為未知量的代數(shù)方程組)

3）理論基礎簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解；

第25頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四4）具有靈活性和適用性，適應性強。它可以把形狀不同、性質(zhì)不同的單元組集起來求解，故特別適用于求解由不同構(gòu)件組合的結(jié)構(gòu)，應用范圍極為廣泛。它不僅能成功地處理如應力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應力應變以及復雜的邊界條件等問題，且隨著其理論基礎和方法的逐步完善，還能成功地用來求解如熱傳導、流體力學及電磁場領域的許多問題。5）在具體推導運算過程中，廣泛采用了矩陣方法。

第26頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.有限元法的作用1）減少模型試驗的數(shù)量（計算機模擬允許對大量的假設情況進行快速而有效的試驗）；2）模擬不適合在原型上試驗的設計（例如：器官移植、人造膝蓋）；3）節(jié)省費用，降低設計與制造、開發(fā)的成本；4）節(jié)省時間，縮短產(chǎn)品開發(fā)時間和周期；

5）創(chuàng)造出高可靠性、高品質(zhì)的產(chǎn)品。

第27頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四三、有限元法的發(fā)展1.有限元法的產(chǎn)生有限元法分析的概念可以追溯到20世紀40年代。

1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的論文中，取定義在三角形域上的分片連續(xù)函數(shù)，利用最小勢能原理研究了圣維南（St.Venant）的扭轉(zhuǎn)問題。然而，此方法發(fā)展很慢，幾乎過了十年才再次有人用這些離散化的概念。

第28頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他們的經(jīng)典論文中第一次給出了用三角形單元求得的平面應力問題的真正解答，他們利用彈性理論的方程求出了三角形單元的特性，并第一次介紹了今天人們熟知的確定單元特性的直接剛度法，其研究工作隨同當時出現(xiàn)的數(shù)值計算機一起打開了求解復雜平面彈性問題的新局面。第29頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1960年美國的克勞夫(W.Clough)采用此方法進行飛機結(jié)構(gòu)分析時首次將這種方法起名為“有限單元法”，簡稱“有限元法”。此后有限元法在工程界獲得了廣泛的應用。到20世紀70年代以后，隨著計算機和軟件技術(shù)的發(fā)展，有限元法也隨之迅速的發(fā)展起來，發(fā)表的論文猶如雨后春筍，學術(shù)交流頻繁，期刊、專著不斷出現(xiàn)，可以說進入了有限元法的鼎盛時期，對有限元法進行了全面而深入的研究。第30頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.有限元法的應用目前，有限元法廣泛應用于固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學、生物力學等各個領域。有限元法已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)分析的有效方法和手段，它幾乎被用于所有連續(xù)介質(zhì)和場的問題。第31頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1）結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)分析用于確定變形、應變、應力及反作用力。靜力分析用于靜態(tài)荷載，可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如：大變形、大應變、應力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等。超彈密封第32頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四動力分析模態(tài)分析：用于計算固有頻率和振型。諧響應分析：用于確定結(jié)構(gòu)對正弦變化的已知幅值和頻率載荷的響應。瞬態(tài)動力學分析：用于確定結(jié)構(gòu)對隨時間任意變化載荷的響應，可以考慮與靜力分析相同的結(jié)構(gòu)非線性行為。特征屈曲分析：用于計算線性屈曲載荷并確定屈曲模態(tài)形狀（結(jié)合瞬態(tài)動力學分析可以實現(xiàn)非線性屈曲分析）專項分析:

斷裂分析、復合材料分析、疲勞分析第33頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2）熱分析熱分析用于確定物體中的溫度分布?？紤]的物理量是：熱量、熱梯度、熱通量。有限元可模擬三種熱傳遞方式（熱傳導、熱對流、熱輻射），可進行穩(wěn)態(tài)分析和瞬態(tài)分析，還可模擬相變（蒸發(fā)與冷凝、熔化及凝固）第34頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3）電磁分析電磁分析用于計算電磁裝置中的磁場，考慮的物理量是：磁通量密度、磁場密度、磁力和磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等。有限元法可進行靜態(tài)磁場及低頻電磁場分析，如模擬由直流電源、低頻交流電或低頻瞬時信號引起的磁場（螺線管制動器、電動機、變壓器）；高頻電磁場分析如模擬電磁波的傳播裝置；計算由電壓或電荷激發(fā)引起的電場；分析電磁裝置與電路的耦合問題等。第35頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四4）流體分析計算流體動力學（ComputationalFluidDynamics

，CFD

）是一種典型的基于有限元的流體分析方法。用于確定流體中的流動狀態(tài)和溫度。能模擬層流和湍流、可壓縮和不可壓縮流體以及多組份流。廣泛應用于航空航天、氣象學、汽車設計等領域。典型的物理量是：速度、壓力、溫度、對流換熱系數(shù)。第36頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四用于模擬流體介質(zhì)和周圍固體的相互作用。典型的物理量是：壓力分布、位移和自振頻率。5）聲學分析第37頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四6）耦合場分析耦合場分析考慮兩個或多個物理場之間的相互作用。因為兩個物理場之間相互影響，所以單獨求解一個物理場是不可能的。例如：雙金屬片受熱變形熱-應力分析（溫度場和結(jié)構(gòu)）流體熱力學分析（溫度場和流場）聲學分析（流體和結(jié)構(gòu)）熱-電分析（溫度場與電場）感應加熱（磁場和溫度場）第38頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)有限元法的分類第39頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一、結(jié)構(gòu)有限元法的分類

結(jié)構(gòu)有限元法可以分為兩類，即線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎，二者不但在分析方法和研究步驟上有類似之處，而且后者常常要引用前者的某些結(jié)果。第40頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1.線彈性有限元線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的，所考慮的變形建立在小變形假設的基礎上。在這類問題中，材料的應力與應變呈線性關系，滿足廣義胡克定律；位移與應變也是線性關系，線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題，所以只需要較少的計算時間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學分析與線彈性動力學分析兩方面。第41頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.非線性有限元非線性問題與線彈性問題的區(qū)別：非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；非線性問題不能采用疊加原理；非線性問題不總有一致解，有時甚至沒有解。以上三方面的因素使得非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復雜、費用更高和更具有不可預知性。第42頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1）材料非線性問題材料的應力和應變是非線性的，但應變與位移呈線性關系，這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的應力與應變的函數(shù)關系，所以，一般材料的應力與應變之間的非線性關系要基于試驗數(shù)據(jù)，有時非線性材料特性可用數(shù)學模型進行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。第43頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2）幾何非線性問題幾何非線性問題是由于應變與位移之間存在非線性關系引起的。當物體的位移較大時，應變與位移的關系是非線性關系。研究這類問題一般都是假定材料的應力和應變呈線性關系。它包括大位移大應變及大位移小應變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應變問題，橡膠部件形成過程為大應變問題。第44頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3）非線性邊界在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件。實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。第45頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二、有限單元的類型根據(jù)研究對象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同。

通常，按照單元結(jié)構(gòu)，可將單元劃分維一維單元（線單元）、二維單元（面單元）和三維單元JIJKLI一維單元二維單元POMNKJIL三維單元第46頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四按照單元結(jié)構(gòu)特點和受力特點，可將單元劃分為：1）桁架桿單元：主要應用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2）剛架桿單元：用于梁及剛架結(jié)構(gòu)分析；3）三角形平面單元：主要用于彈性力學中平面應力和平面應變問題的有限元分析；4）三棱圓環(huán)單元：用于軸對稱問題的有限元分析；5）等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復雜結(jié)構(gòu)。第47頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)有限元法的求解步驟第48頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一、有限元法分析過程

有限元法分析過程大體可分為：前處理、分析、后處理三大步驟。1.前處理

對實際的連續(xù)體離散化后就建立了有限元分析模型，這一過程是有限元法的前處理過程。在這一階段，要構(gòu)造計算對象的幾何模型，要劃分有限元網(wǎng)格，要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)，這一步是有限元分析的關鍵。

第49頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.有限元分析

有限元分析過程主要包括：單元分析、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過程。這一過程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中。

結(jié)構(gòu)有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。第50頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

有限元位移法以節(jié)點位移作為基本未知量；有限元力法以選節(jié)點力作為未知量；有限元混合法的一部分基本未知量為節(jié)點位移，另一部分基本未知量為節(jié)點力。有限元位移法計算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強，特別適宜于編程求解。一般除板殼問題的有限元應用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。

因此，一般不做特別聲明時，有限元法指的是有限元位移法。

第51頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.有限元分析的后處理有限元分析的后處理主要包括對計算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進一步轉(zhuǎn)換為設計人員直接需要的信息，如應力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設計人員迅速的評價和校核設計方案。第52頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一、有限元法求解的基本步驟1.結(jié)構(gòu)離散化：對整個結(jié)構(gòu)進行離散化，將其分割成若干個單元，單元間彼此通過節(jié)點相連；2.求出各單元的剛度矩陣：是由單元節(jié)點位移向量求單元節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關系式為；

3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程：[K]是由整體節(jié)點位移向量求整體節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關系式為，這就是總體平衡方程；第53頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四確定總體剛度矩陣[K]的辦法1）直接利用總體剛度系數(shù)的定義

在求出整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點力與節(jié)點位移關系的基礎上獲得總體剛度矩陣。此方法只在簡單情況下才能采用。

2）集成法將整體坐標下的單元剛度矩陣進行迭加而得。這里所說的迭加不是簡單的相加，而是將下角標相同的剛度系數(shù)相加，然后按總碼的順序?qū)μ柸胱５?4頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3）利用節(jié)點間的剛度系數(shù)直接寫出總體剛度矩陣總體剛度矩陣對角線上的剛度系數(shù)等于在節(jié)點i匯交的幾個單元的剛度系數(shù)之和；非對角線上的剛度系數(shù)等于聯(lián)結(jié)節(jié)點i與節(jié)點j間幾個單元的剛度系數(shù)之和。第55頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四4.引入邊界條件，求出各節(jié)點的位移節(jié)點的邊界條件有兩種：一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零，另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應力和應變

第56頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第57頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四三、有限元求解實例分析

【例1】一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為A(1)和A(2)，長度分別為L(1)和L(2)，彈性模量分別為E(1)和E(2)

，如圖所示。求出這兩段的應力和應變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N，

第58頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1①2②3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3第59頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四【解】1.離散化

把這根階梯軸看成是由兩個單元組成的，節(jié)點選在截面積突變處，兩個單元的連接處是一個節(jié)點，該階梯軸的兩端視為另外兩個節(jié)點，所以整個結(jié)構(gòu)共有三個節(jié)點。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個節(jié)點位置的位移量分別記為、、。在整個結(jié)構(gòu)中節(jié)點載荷及節(jié)點位移均用大寫字母標記，其角標為節(jié)點在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡稱總碼。

第60頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.求單元剛度矩陣

該矩陣中任意一個元素都稱為單元剛度系數(shù)，它表示：該單元內(nèi)除節(jié)點j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i

處所引起的載荷。第61頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四3.總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫出該階梯軸上三個節(jié)點位移、、和三個節(jié)點軸向力分別組成該整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量和節(jié)點軸向力向量。

兩向量間的轉(zhuǎn)換關系可表示為或

第62頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

上式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點總數(shù)。

[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點j

產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點的位移均為零時在節(jié)點i處所引起的載荷。

第63頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四求出總體剛度矩陣是進行總體分析的主要任務，一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要由兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元剛度矩陣求總體剛度矩陣。第64頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四1)用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元剛度矩陣出發(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫出各單元的剛度矩陣。

局部碼1(1)2(1)1(2)2(2)總碼1223局部碼與總碼對應關系第65頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四約定：

第66頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第67頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2)用直接法求總體剛度矩陣[K]這種方法具有概念清晰的特點，但是在分析復雜結(jié)構(gòu)時運算極其復雜，因而限制了它的應用。

直接法利用總體剛度系數(shù)的定義，直接求出每一個總體剛度系數(shù)第68頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一般而言，剛度矩陣具有如下特性：1）對稱性

單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是對稱方陣，即，即由第j個節(jié)點單位位移引起的第i個節(jié)點載荷和由第i個節(jié)點單位位移引起的第j個節(jié)點載荷是相等的。這是彈性結(jié)構(gòu)一個共同的特點。這種對稱性可減少矩陣存儲運算時的內(nèi)存量。

第69頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2）奇異性

單元剛度矩陣和總體剛度矩陣都是奇異矩陣，即它們的行列式都等于0，這樣，其逆陣就不存在。因此，對總體剛度矩陣要引入邊界條件進行處理之后才能求解。3）稀疏性

總體剛度矩陣是零元素非常多的矩陣。結(jié)構(gòu)越大，零元素越多。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是非常稀疏的矩陣。

第70頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四總體平衡方程為：

第71頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四4.引入支撐條件，計算節(jié)點位移上式中的未知量仍不能求出，因為[K]是一個奇異矩陣，必須引入支撐條件。在本例中支撐條件是節(jié)點1的位移為零，即這樣總體平衡方程簡化為

第72頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四代入已知條件：

可求得：

第73頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四5.求單元中的應力及應變單元1中的應變：單元2中的應變：單元1中的應力：單元2中的應力：

第74頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四K2【例2】在光滑的水平面上有三個小車，他們彼此用四根彈簧相連，其連接方式如圖1-2所示。小車1又通過彈簧k1與墻壁固連。每個小車上的作用力分別為F1、F2、F3。求每個小車的位移。

第75頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四由此可求出三個節(jié)點即三個小車的位移。

第76頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四【例3】用有限元法求解某系統(tǒng)的過程中，將系統(tǒng)劃分成3個單元，這3個單元通過3個節(jié)點相連接，節(jié)點局部編碼與總體編碼的對照如下表所示，請寫出該系統(tǒng)的總體剛度矩陣。

局部碼1（1）1（2）2（2）1（3）2（3）總碼11223已知：

第77頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第78頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)常用有限元軟件簡介

第79頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四一、通用有限元軟件的共同之處有限元的高度通用性與實用性導致了有限元通用程序的發(fā)展。四十多年來，有限元通用軟件的發(fā)展在數(shù)量和規(guī)模上是驚人的。這些通用有限元軟件的共同之處可歸結(jié)為以下幾點：

1.功能強大。一般都可以進行多種物理場分析，如結(jié)構(gòu)分析、溫度場分析、電磁場分析、流場分析、多場耦合分析等；

第80頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

2.具有豐富的材料庫?？梢蕴幚矶喾N材料，如金屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混凝土、復合材料等；

3.具有多種自動網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動進行單元形態(tài)、求解精度檢查及修正；

4.具有強大的后處理及圖像處理功能；

5.具有與多種CAD系統(tǒng)直接連接的接口；

6.具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境；

7.具有良好的維護和培訓能力（ＧＵＩ）。第81頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四二、幾個著名的通用有限元軟件簡介ANSYSANSYS軟件是美國ANSYS公司的產(chǎn)品，該公司成立于1970年，公司總部位于美國賓夕法尼亞的匹茲堡。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電磁場、聲場和耦合場分析于一體的大型通用有限元軟件，可廣泛應用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機械制造、能源、汽車、國防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學研究。第82頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

ANSYS公司在北京、上海、成都相繼成立了辦事處，構(gòu)成了ANSYS在中國完整的市場、銷售及售后服務體系。它的顯著特點是具有獨一無二的多場耦合分析功能，可處理高速變形和高度非線性問題（如沖擊、爆炸、碰撞、實體變形、板成形），邊界元流體動力學問題（如水下結(jié)構(gòu)振動、氣彈顫振分析）。第83頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四2.MSC.MarcMarc軟件原為美國MARC公司的產(chǎn)品，該公司創(chuàng)建于1967年，他的創(chuàng)始人是美國著名的布朗大學教授、有限元分析的先驅(qū)者PedroMarcel。MARC公司致力于非線性有限元技術(shù)的研究、非線性有限元軟件的開發(fā)、銷售和售后服務。經(jīng)過三十多年的不懈努力，Marc軟件得到了學術(shù)界和工業(yè)界的大力推崇和廣泛應用，建立了他在全球非線性有限元軟件行業(yè)的領導地位。第84頁，共92頁，2023年，2月20日，星期四

1999年6月，美國MSC公司收購了MARC公司，相應地將該軟件更名為MSC.Marc軟