簡單超靜定梁2023/5/61第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d)

時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄Ⅳ)所得的補(bǔ)充方程為2023/5/62第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四從而解得“多余”未知力所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為2023/5/63第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。思考

1.該梁的反彎點(彎矩變換正負(fù)號的點)距梁的左端的距離為多少？

2.該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？2023/5/64第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

例題1

試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I亦為已知。2023/5/65第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

解:

1.

該系統(tǒng)共有三個未知力(圖b)FN,FB,FC，但平面平行力系僅有兩個獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問題。

2.

取桿和梁在點A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=DlDA。2023/5/66第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3.

物理關(guān)系(參見圖c,d)為需要注意，因DlDA亦即圖b中的是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。2023/5/67第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四4.于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程：由此求得2023/5/68第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

例題2

試求圖a所示等截面連續(xù)梁的約束力FA,FB,FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度EI=5×106N·m2。2023/5/69第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

解:

1.

兩端鉸支的連續(xù)梁其超靜定次數(shù)就等于中間支座的數(shù)目。此梁為一次超靜定梁。2023/5/610第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

2.

為便于求解，對于連續(xù)梁常取中間支座截面處阻止左,右兩側(cè)梁相對轉(zhuǎn)動的內(nèi)部角約束為“多余”約束，從而以梁的中間支座截面上的彎矩作為“多余”未知力，如圖b。此時基本靜定系為兩跨相鄰的簡支梁，它們除承受原超靜定梁上的荷載外，在中間支座B處的梁端還分別作用有等值反向的“多余”未知力矩──彎矩MB，圖b中的“多余”未知力矩為一對正彎矩。位移相容條件(參見圖b)為2023/5/611第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四3.

利用教材中的附錄Ⅳ可得物理關(guān)系為應(yīng)該注意，在列出轉(zhuǎn)角

的算式時每一項的正負(fù)號都必須按同一規(guī)定(例如順時針為正，逆時針為負(fù))確定。2023/5/612第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四

4.

將物理關(guān)系代入位移相容條件補(bǔ)充方程，從而解得這里的負(fù)號表示實際的中間支座處梁截面上的彎矩與圖b中所設(shè)相反，即為負(fù)彎矩。5.

利用圖b可得約束力：2023/5/613第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四(c)(d)然后繪出剪力圖和彎矩圖如圖c,d。2023/5/614第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四(二)梁的上,下表面溫度差異的影響圖a所示兩端固定的梁AB在溫度為

t0時安裝就位，其后，由于梁的頂面溫度升高至

t1，底面溫度升高至

t2，且

t2>t1，從而產(chǎn)生約束力如圖中所示。由于未知的約束力有6個，而獨(dú)立的平衡方程只有3個，故為三次超靜定問題。l(a)2023/5/615第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)將右邊的固定端B處的3個約束作為“多余”約束，則解除“多余”約束后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁。它在上,下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角qBt和撓度wBt(見圖c)以及軸向位移Bt。l(a)(b)(c)2023/5/616第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四如果忽略“多余”未知力FBx對撓度和轉(zhuǎn)角的影響，則由上,下表面溫差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容條件時，圖b所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：l2023/5/617第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四式中一些符號的意義見圖c,d,e。(c)(d)(e)2023/5/618第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)在先來求qBt和wBt與梁的上,下表面溫差(t2-t1)之間的物理關(guān)系。從上面所示的圖a中取出的微段dx,當(dāng)其下表面和上表面的溫度由t0分別升高至t2和t1時，右側(cè)截面相對于左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角dq由圖b可知為上式中的負(fù)號用以表示圖a所示坐標(biāo)系中該轉(zhuǎn)角

dq為負(fù)。2023/5/619第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四將此式積分，并利用邊界條件得根據(jù)上式可知，該懸臂梁因溫度影響而彎曲的撓曲線微分方程為2023/5/620第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四從而有至于溫差引起軸向位移DBt則為2023/5/621第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四位移相容條件表達(dá)式中由“多余”未知力引起的位移所對應(yīng)的物理關(guān)系顯然為2023/5/622第2