第3章收益率【考試要求】3.1收益率的定義

現(xiàn)金流分析收益率的定義再投資收益率

3.2收益率的應用

基金收益率時間加權收益率投資組合法與投資年法資本預算股息貼現(xiàn)模型精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【要點詳解】§3.1收益率的定義

1．現(xiàn)金流分析

（1）記號

Ot：投資人在t時刻的現(xiàn)金流出（或稱為投資）；

It：投資人在t時刻的現(xiàn)金流入（或投資回收）；

Ct=Ot－It：t時刻的投資支出（負數(shù)表示回收），為t時刻的凈現(xiàn)金流出。

Rt=－Ct：t時刻的凈現(xiàn)金流額。Rt<0表明在t時發(fā)生投資支出；Rt>0表明在t時發(fā)生投資回收，是投資人的收入。（2）現(xiàn)金流折現(xiàn)分析對于一般的現(xiàn)金流Rt

（t=0，1，2，…，n），在利率為i時有現(xiàn)值：

V（0）可能為正值，也可能為0或負值。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題3.1】李先生第一年初投資10000元，第二年初投資5000元。以后每年初投入1000元?？偣餐顿Y10次。從第七年起，開始收回投資及回報：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，…，第11年初收回12000元。具體現(xiàn)金流情況如表3-1所示。設利率i=0.08，則該現(xiàn)金流的現(xiàn)值為（）元。

表3-1：現(xiàn)金流量表A．6800.93B．6801.93C．6803.93D．6805.93E．6807.93

【答案】D

【解析】i=0.08，所以，故現(xiàn)金流的現(xiàn)值為：

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2．收益率的定義

（1）定義：收益率是使投資支出現(xiàn)值與投資回收現(xiàn)值相等的利率。滿足上式的i值就是Rt（0≤t≤n）現(xiàn)金流的收益率。

注意：在金融、保險實務中，收益率也稱為內(nèi)部收益率。（2）收益率的唯一性一般而言，若在0～n期間內(nèi)存在一時刻t，t之后的期間里現(xiàn)金流向是一致的，t之前的期間內(nèi)的現(xiàn)金流向也是一致的，且這兩個流向方向相反，則收益率必然是唯一的。更寬松的條件：若在0～n-1內(nèi)各發(fā)生現(xiàn)金流的時刻，投資（包括支出及回收，總稱為投資）的積累額大于0，則該現(xiàn)金流的收益是唯一的。滿足（3.1）式的收益率值的個數(shù)最多為現(xiàn)金流中現(xiàn)金改變方向的次數(shù)。

【例題3.2】某投資者第1年年末投資7個單位，第2年年末投資1個單位，而第1、第3年年末分別收回4個和5.5個單位，計算該現(xiàn)金流的內(nèi)部收益率為（）。A．0.1775B．0.1875C．0.1975D．0.2075E．0.2175【答案】C【解析】由已知，有

R1=－7+4=－3，R2=－1，R3=5.5，則5.5v3－3v－v2=0，解得：v=0.83503（負值舍去），故：i=v-1－1=19.76%。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)【例題3.3】一項期限為10年的投資，需要啟動資金10000元及一年后再投入8000元，第2年末獲利1000元，以后每年都比上一年多獲利1000元。第10年投資結束，除9000元的獲利以外，還收回殘值3000元，則這項投資的收益率為（）。A．0.1481B．0.1581C．0.1681D．0.1781E．0.1881

【答案】B【解析】設收益率為i，則v=（1+i）-1，根據(jù)題意，得：當i=0.15時，f（i）=764.51；當i=0.16時，f（i）=－176.55，由線性插值法，得：.精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

3．再投資收益率

簡單情形：0時刻投資1單位貨幣，投資期限為n，本金年利率為i。每年產(chǎn)生的利息按利率j再投資，即利息的年利率為j，則投資回收值在時刻n的積累值為：在標準年金中，各次付款產(chǎn)生的利息的再投資收益率均為j，付款的本金之和隨時間推移逐年增加，每期所產(chǎn)生的利息也就逐年增加。時刻n的積累本息和為：若i=j，則上式化簡為。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題3.4】某貸款原計劃每半年歸還50，加上以年利率4%（每半年計息一次）及未償還貸款余額條件下計算的每半年應還的利息，共10年。后來這些還款以年利率5%（每半年計息一次）進行再投資，10年末一次性歸還。則此貸款的年投資收益率為（）。A．0.044B．0.046C．0.048D．0.050E．0.052

【答案】B

【解析】顯然本金為1000元，故依次支付的利息為：20，19，…，1。每半年歸還50加上每半年支付利息20，19，18，…，1，所有的這些還款以0.025的半年復利率進行再投資，在10年末的積累值為：最后一次還款后積累額的現(xiàn)值即為貸款額，故1000（1+i）10=1566.34，解得：i=1.566340.10－1=0.0459。

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)【例題3.5】甲在期初一次性投資1000元，年實際利率14%，投資期限10年，利息以年實際利率j進行再投資。在第10年末，利息再投資的積累值為2341.08元。乙每年初投資150元，年實際利率為15%，投資期限為20年，利息以年實際利率j進行再投資。則乙在第20年末的利息積累值為（）元。A．2341.08B．4541.12C．6741.24D．8163.37E．10486.05

【答案】E

【解析】對于甲，依題意得：解得：j=0.11。故乙在第20年末的利息積累值為：又故精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

§3.2收益率的應用

1．基金收益率

A：期初基金的資本量；

B：期末基金的本息和；

I：投資期內(nèi)基金所獲得的收入；

Ct：t時刻投入基金或從基金中贖回的資金量，0≤t≤1；

C：在此期間注入或贖回的資金之和，即

aib：表示在時刻b到b+a之間單位投資的收益，其中：a≥0，b≥0，a+b≤1。則B=A+C+I.（3.4）（1）假設投資期內(nèi)基金所獲得的收入是在期末支付，則有

（2）假設各次資金投入與贖回在0－1期間內(nèi)均勻分布，則t=1/2，

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（3）假設凈資金投入的平均時間為k，0＜k＜1，則為計算投資平均時間k時t的權重。當k=1／2時，則（3.7）式就變成（3.6）式。（4）假設各次資金投入是連續(xù)進行的，設Bt為時刻t時的基金金額，0≤t≤n，時刻t的資金投入或贖回量設為每期Ct，則當利息強度隨時間連續(xù)變化時，（3.8）式可改寫為：因此0～n中間某一時刻t的基金余額為：

時刻t基金余額的變化率：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題3.6】某投資基金年初有投資10000元，年收益率12%，3月末又投入資金2500元，9月末抽回資金4000元，假設1－tit=（1－t）i，計算年末基金的資金量為（）元。

A．1305

B．1500

C．3900

D．6905

E．9805

【答案】E

【解析】已知A=10000，C0.25=2500，C0.75=－4000，C=2500－4000=－1500，于是：所以年末基金的資金量為：B=A+C+I=10000－1500=9805（元）。

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2．時間加權收益率

設在一個期間內(nèi)，有m－1次投資（或贖回投資），如圖3-1所示。其中C′k為各時刻投入或贖回的資金凈額，B′k為各時刻的整個基金的余額，不包括該時刻的新投入或贖回額。而ik是相鄰兩個投入資金的時刻（tk-1，tk）間的收益率。則從0至1這一期間內(nèi)的收益率可由下式計算：

注意：時間加權收益率是針對特定期間，且只在期初投資的收益率，它只與具體的各時間段的收益率有關，而與各時間段的投資額無關。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題3.7】某投資人在一年中不同的四個時點各投資100元，如表3-2所示。

表3-2各時刻投資額及基金積累額投資額加權收益率和時間加權收益率分別為（）。A．11.20%；38.10%B．12.2%；37.10%C．13.2%；36.10%D．14.20%；35.10%E．15.2%；34.10%

【答案】A

【解析】（1）計算投資額加權收益率。已知A=100，B=533.56，C=400，I=533.56－100－400=33.56，所以：（2）計算時間加權收益率。

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3．投資組合法與投資年法

（1）投資組合法概念：計算出一個基于整個基金所得的平均收益率，然后根據(jù)每個資金賬戶所占比例與投資時間長度分配基金收益。局限性：在投資收益波動時期，如在投資收益上升時，容易引起舊有投資的撤出，同時阻止新資金的投入。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（2）投資年法投資年方法在分配收益時要考慮投資的時間和分配收益的時間。按最初投資時間和投資所持續(xù)的時間，以及與各時間相聯(lián)系的利率，制定一個二維表。

C：第y年的投資數(shù)額；

y：投資的日歷年份；

m：應用投資年方法的年數(shù)，即若投資時間未滿m年，利用投資年法計算收益率；若超過m年，則超過部分按投資組合法計算收益率；

ity：y年的投資第t年的收益率，其中i1y稱為y年的新投資收益率。第y年的投資組合收益率記為iy，如圖3—2所示。第y+k年年初的積累值為：

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【例題3.8】某基金有甲、乙兩個投資人，甲年初在基金中有資金1個單位，年中又投入1個單位；乙有2個單位。上半年收益率為10%，下半年收益率為20%，利用投資組合法計算甲、乙應分得的收益分別為（）。A．0.2316；0.9284B．0.3329；0.8271C．0.4971；0.6629D．0.5721；0.5879E．0.6610；0.4990

【答案】C

【解析】基金年末的積累值為：

B=1×（1+10%）（1+20%）+1×（1+20%）+2×（1+10%）（1+20%）=5.16所以基金收益為：

I=B－A－C=5.16－（1+2）－1=1.16故甲投資人的收益為：乙投資人的收益為：1.16－0.4971=0.6629精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)【例題3.9】某投資基金收益分配方法如表3-3所示。投資初始的1至3年按照投資年法計算收益，超過3年后按照投資組合法計算收益。在2005、2006、2007年的每年初分別投入資金100元，已知到2008年末的投資凈收益為90元，則表中的參數(shù)t=（）。

表3-3

A．10.1%B．10.3%C．10.5%D．10.6%E．10.8%【答案】A【解析】2005年的投資產(chǎn)生的凈收益為：100×1.1×1.1×（1+t/100）×1.08－100=1.3068t+30.682006年的投資產(chǎn)生的凈收益為：100×1.12×1.05×1.1－100=29.362007年的投資產(chǎn)生的凈收益為：100×1.08×[1+（t－2）/100]－100=5.84+1.08t由已知條件，到2008年投資凈收益總和為90，由題意，得：（1.3068t+30.68）+29.36+（5.84+1.08t）=90解得：t=10.1。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

4．資本預算

（1）定義：投資者在面臨多種投資選擇時，如何決定投資額以及這些投資額在多種可能的投資方向間如何分配的過程。（2）方法①收益率法：投資者先根據(jù)投資的費用支出及投資者的利潤目標確定一個最低可接受的收益率。只有高于這個收益率的投資方式才是投資的備選方案。然后計算各投資方案的收益率，將高于最低可接受收益率的各方案按收益率由高到低排列。先將資本投向收益率最高的方向，然后由高到低投放資本，直至將可用于投資的資本用完或已沒有高于最低可接受收益率的投資方向。②凈現(xiàn)值法：投資者根據(jù)最低可接受收益率計算各種投資方式的凈現(xiàn)值P（i）。只有P（i）>0的投資方式才可以考慮。而對于P（i）≤0的方案則不予考慮。投資者將資本投向收益最大的方向，即：使得投資回收現(xiàn)值減去投資投入值最大化的投資方向。假定投資者面臨n個投資選擇，第k個選擇需投入初始資本Ck（1≤k≤n），其凈現(xiàn)值為NPVk，則凈現(xiàn)值法變?yōu)橄旅娴?-1規(guī)劃問題：其中：為0或1，C為投資者的初始資本。

注意：沒有考慮投資的風險。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)【例題3.10】某人購買一套住房，他有甲、乙兩種付款方式，甲種是一次性付款5個單位；乙種是首次付款2.4個單位，然后每年末付款1.5個單位，共兩年。若該投資者最高可接受的利率是10%，則乙種付款的現(xiàn)值為

，他會選擇

種付款方式。（）A．3.9；乙B．4.2；乙C．4.386；乙D．5.003；甲E．5.226；甲

【答案】D

【解析】乙種付款方式的現(xiàn)值為：

故該人應選擇甲種付款方式。

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5．股息貼現(xiàn)模型

設某公司的普通股在當期末每股支付股息D1，未來的股息分別為D2，D3，…，假定該股票的收益率為r，則它的理論價格為：假定以后直至無限多期每期末支付的股息以公比1+g呈等比數(shù)列變化，購此股票的收益率為r，