2023屆北京市高三數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題目條件，先求解，再與集合A做交集運算即可.【詳解】因，故．【點睛】本題考查集合的運算，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算得到，再根據(jù)模長公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，故選：C.3．雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4．的展開式的二項式系數(shù)之和為8，則展開式的常數(shù)項等于（

）A．4 B．6C．8 D．10【答案】B【解析】由二項式系數(shù)和求出，然后寫出展開式的通項公式得常數(shù)項所在項數(shù)，從而得常數(shù)項．【詳解】因為的展開式的各個二項式系數(shù)之和為8，所以，解得，所以展開式的通項為，令，，則r＝1，所以常數(shù)項為6．故選：B5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)角的項點與原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若角終邊過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由角終邊過點求出，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡即可得解.【詳解】因為角終邊過點，，所以，.故選：A【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)定義，涉及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.6．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將已知不等式化為，在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，可得不等式的解集．【詳解】由題意，不等式，即，等價于在上的解，令，，則不等式為，在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，可得不等式的解集為，故選：B7．寬與長的比為的矩形叫做黃金矩形它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)建筑人體和自然界中，令人賞心悅目在黃金矩形中，，，那么的值為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】由題意求出,建立直角坐標(biāo)系，求出各個點的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求結(jié)果【詳解】由已知得解得如圖建立直角坐標(biāo)系則則故選：C8．設(shè)為等比數(shù)列，若，，，，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)為等比數(shù)列，若，，，，則，反過來設(shè)數(shù)列為常數(shù)列1，1，1，1……,任意兩項的積相等，但項數(shù)和不等，所以不必要，那么為等比數(shù)列，若，，，，則是的充分不必要條件,選A.9．已知圓：與直線：，為直線，使得，則的最大值為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】C【解析】易知直線與圓相離，為直線上一動點，當(dāng)直線與圓相切時，取得最大值，求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，由正弦定理可得三角形的外接圓直徑為，為直線上一動點，當(dāng)直線與圓相切時，此時為外接圓的直徑，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及正弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的推理能力與計算能力，屬于中檔題.10．《九章算術(shù)·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是：如圖，沿正方體對角面截正方體可得兩個壍堵，再沿平面截壍堵可得一個陽馬（四棱錐），一個鱉臑（三個棱錐），若為線段上一動點，平面過點，平面，設(shè)正方體棱長為，，與圖中鱉臑截面面積為，則點從點移動到點的過程中，關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析得出，可得出，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，由此可得出合適的選項.【詳解】設(shè)、分別為截面與、的交點，，，平面，平面，所以，平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，，同理可得，，所以，，所以，，易知，因此，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的辨別，解題的關(guān)鍵就是充分分析圖形的幾何特征，以此求出函數(shù)解析式，結(jié)合解析式進行判斷.二、填空題11．的零點為________．【答案】【解析】解方程，即可得出答案.【詳解】令，則或，解得故答案為：三、雙空題12．正方形中，，為中點，為中點，則_______；若為上的動點，則的最大值為_________.【答案】

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得，設(shè)出點坐標(biāo)，求得的表達式，進而求得的最大值.【詳解】以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由于正方形的邊長為，分別是線段的中點，所以，所以.設(shè)，則，由于，所以，所以的最大值為.故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.四、填空題13．已知函數(shù)(其中為實數(shù)),若對恒成立,則滿足條件的值為______________(寫出滿足條件的一個值即可)【答案】答案不唯一，如：【分析】根據(jù)f（x）≤|f（）|，可得x時，f（x）取得最大值或最小值，即寫出答案；【詳解】由題意，f（x）≤|f（）|對x∈R恒成立，可得x時，f（x）取得最大值或最小值．若x時，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z若x時，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z故答案為【點睛】本題考查了三角形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題五、雙空題14．已知拋物線C：的焦點為，則拋物線C的方程是________；若M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，且M為FN的中點，則|FN|＝________．【答案】

6【解析】利用C：的焦點坐標(biāo)為,對照已知焦點坐標(biāo)求得,得到拋物線的方程；利用中點坐標(biāo)公式求得的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義求得到焦點的距離，進而得到所求.【詳解】拋物線C：的焦點為，可得，則拋物線C的方程是.由M為FN的中點，在軸上，的橫坐標(biāo)為0，的橫坐標(biāo)為2，得M的橫坐標(biāo)為1，拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，是拋物線上的點，是拋物線的焦點，拋物線C：的準(zhǔn)線方程為,，.故答案為：；6.【點睛】本題考查根據(jù)焦點坐標(biāo)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，利用拋物線的定義(焦半徑公式)求點到直線的距離，涉及線段中點坐標(biāo)公式，屬基礎(chǔ)題.常用知識如下:（1）C：的焦點坐標(biāo)為;（2）C：上的點到焦點的距離為.六、填空題15．小圖給出了某池塘中的浮萍蔓延的面積與時間（月）的關(guān)系的散點圖．有以下敘述：①與函數(shù)相比，函數(shù)作為近似刻畫與的函數(shù)關(guān)系的模型更好；②按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，第個月時，浮萍的面積就會超過；③按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩倍；④按圖中數(shù)據(jù)顯現(xiàn)出的趨勢，浮萍從月的蔓延到至少需要經(jīng)過個月．其中正確的說法有__________（填序號）．【答案】①②③.【分析】結(jié)合圖形求出函數(shù)的表達式，然后逐一判斷【詳解】①由題意知：浮萍蔓延的面積（）與時間（月）的關(guān)系：（且），且由函數(shù)圖象可知函數(shù)過點，∴，∴這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是，正確，故①正確．∴函數(shù)解析式為．②當(dāng)時，，故第個月時，浮萍的面積就是超過成立，故②正確．③由知，浮萍每個月增加的面積約是上個月增加面積的兩位，③正確．④由知，，；，，即需要經(jīng)過個月，故④不正確．【點睛】運用函數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后求解，需要理解題目意思．七、解答題16．如圖，在三棱柱中，平面，，，，點，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）根據(jù)平面，得到；根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面，進而可證；（Ⅱ）設(shè)的中點為，連接，連接，根據(jù)面面平行的判定定理，先證明平面平面，進而可證線面平行；（Ⅲ）以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，分別求出平面和平面的一個法向量，由向量夾角公式求出夾角余弦值，進而可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因為平面，平面，所以；又，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，即；（Ⅱ）設(shè)的中點為，連接，則，又平面，平面，所以平面；連接，因為且，

所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；又，且平面，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅲ）以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、.由（Ⅰ）可知，平面，即平面，所以是平面的一個法向量，

又，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．

，

因為二面角的平面角是鈍角，

所以，二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查證明線線垂直，證明線面平行，以及求二面角的余弦值，熟記線面垂直、線面平行的判定定理，以及空間向量的方法求二面角即可，屬于常考題型.17．在中，，的值.從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】選①：5；選②：5或3；選③：或.【解析】如果選①：利用正弦定理求出，再求出，利用正弦定理得解；如果選②：先求出，再利用余弦定理求出；如果選③：先求出，再利用余弦定理求解.【詳解】如果選①：因為，，，所以在中，由正弦定理得.所以.故.，所以.又因為，所以.所以.在中，.所以.如果選②：因為，，，所以，由正弦定理得：.故，由余弦定理可得：，，解得或3.如果選③：，則，則，所以.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，所以或.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18．某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在，兩家餐廳用餐的滿意度，從在，兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，，，，，，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：定義學(xué)生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下：分?jǐn)?shù)滿意度指數(shù)(1)在抽樣的100人中，求對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)；(2)從該校在，兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機抽取1人進行調(diào)查，試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；(3)如果從，兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.【答案】(1)(2)(3)詳見解析【分析】（1）對A餐廳“滿意度指數(shù)”為0，是指分?jǐn)?shù)在內(nèi)，由頻率分布直方圖求出內(nèi)的頻率，再求出人數(shù)；（2）分別求出對A,B餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0,1,2時的概率，對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高包括：對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為1，對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為0；對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為2，對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為0；對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為2，對B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”為1，由相互獨立事件計算公式，求出結(jié)果；（3）從學(xué)生對A,B餐廳評價的“滿意度指數(shù)”期望看，分別求出分布列，算出期望，得出結(jié)果.【詳解】（1）由對餐廳評分的頻率分布直方圖，得對餐廳“滿意度指數(shù)”為0的頻率為，所以，對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)為.（2）設(shè)“對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’比對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’高”為事件.記“對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件；“對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為2”為事件；“對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為0”為事件；“對餐廳評價‘滿意度指數(shù)’為1”為事件.所以，，由用頻率估計概率得：，.因為事件與相互獨立，其中，.所以所以該學(xué)生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率為.（3）如果從學(xué)生對，兩家餐廳評價的“滿意度指數(shù)”的期望角度看：餐廳“滿意度指數(shù)”的分布列為：餐廳“滿意度指數(shù)”的分布列為：因為；，所以，會選擇餐廳用餐.19．已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點，已知，過且與軸垂直的直線與直線交于點，求證：點在一定直線上，并求出此直線的方程.【答案】（1）；（2）證明見解析，直線.【分析】（1）由橢圓過定點，結(jié)合離心率求橢圓參數(shù)，寫出橢圓方程.（2）由題設(shè)知的斜率不可能為0，可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達定理可得，再由點斜式表示直線：，則即可判斷是否為定直線.【詳解】（1）由題意，且，又，解得，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程整理得，，由，，即.直線的方程為.①過且與軸垂直的直線的方程為.②聯(lián)立①②可得.點在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線的方程聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理確定的關(guān)系，進而由的位置用表示出其橫坐標(biāo).20．已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出導(dǎo)數(shù)即為斜率，根據(jù)點斜式寫出直線方程；（Ⅱ）由題意得，討論根據(jù)判定其單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）法一：由題意得，討論根據(jù)單調(diào)性判定是否成立即可得出答案；法二：原命題等價于在上恒成立，用參變分離法求出函數(shù)最值.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，，

，

所以切線方程為：，即：；（Ⅱ）由題，可得由于，的解為，（1）當(dāng)，即時，，則在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)，即時，在區(qū)間上，在區(qū)間上，，所以的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為.

(3)當(dāng)，即時，在區(qū)間上，在區(qū)間上，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

（Ⅲ）解法一：（1）當(dāng)時，因為，所以，，所以，則在上單調(diào)遞增，成立

（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以成立.

（3）當(dāng)時，在區(qū)間上，；在區(qū)間，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，不符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

解法二：當(dāng)時，恒成立，等價于“當(dāng)時，恒成立”.即在上恒成立.當(dāng)時，，所以.

當(dāng)時，，所以恒成立.設(shè)，則因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.21．設(shè)數(shù)列（）的各項均為正整數(shù)，且.若對任意，存在正整數(shù)使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列與數(shù)列是否具有性質(zhì)；（只需寫出結(jié)論）（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復(fù)選取）組成一個具有性質(zhì)的數(shù)列.【答案】（1）數(shù)列不具有性質(zhì)；數(shù)列具有性質(zhì)（2）的最小值為（3）證明見解析【解析】（1）不滿足存在正整數(shù)使得，故數(shù)列不具有性質(zhì)；根據(jù)定義可知數(shù)列具有性質(zhì)；（2）由題可知，，，，，所以，再驗證可知時，數(shù)列不具有性質(zhì)，時，數(shù)列具有性質(zhì)，從而可知的最小值為；（3）反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，即對任意都有：若正整數(shù)，則，再根據(jù)定義推出矛盾，從而可證結(jié)論正確.【詳解