2023屆山西省三晉名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月高階段性測(cè)試（五）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域并解不等式可得集合，即可得.【詳解】由，得，所以，，故選：D.2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可得解.【詳解】由，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選：A.3．已知向量滿足，且，則（

）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)量積與模的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意知，所以-20，即，所以，即.故選：C4．凈水機(jī)通過(guò)分級(jí)過(guò)濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中的核心零件是多層式結(jié)構(gòu)的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹?泥沙?棉濾芯可以過(guò)濾掉的大顆粒雜質(zhì)，過(guò)濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為，若要滿足過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過(guò)，則棉濾芯層數(shù)最少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算直接求解.【詳解】由題意得，經(jīng)層濾芯過(guò)濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為，，則，得，所以，即，所以，解得，，所以的最小值為，故選：C.5．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理,可得,求得離心率.【詳解】設(shè)，由余弦定理可得，解得，則，根據(jù)橢圓的定義，離心率為.故選:B.6．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為25，則實(shí)數(shù)（

）A．-11 B．-8 C．-5 D．3【答案】A【分析】分因式中取2，，時(shí)，由，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：分三種情況：①當(dāng)因式中取2時(shí)，項(xiàng)為，其系數(shù)為30；②當(dāng)因式中取時(shí)，項(xiàng)為，其系數(shù)為③當(dāng)因式中取時(shí)，項(xiàng)為，其系數(shù)為.因?yàn)椋?故選：A7．永定土樓是我國(guó)東南沿海地區(qū)特有的山區(qū)民居建筑，如圖所示，土樓的頂部可視為上下開(kāi)口的圓臺(tái)，底部可視為上底面與頂部圓臺(tái)的下底面重合的圓柱.若上午時(shí)某條太陽(yáng)光線通過(guò)圓臺(tái)上底面的邊緣照射到圓臺(tái)下底面中心，此時(shí)太陽(yáng)光線與水平地面所成角為，下午時(shí)某條太陽(yáng)光線通過(guò)圓臺(tái)上底面的邊緣照射到圓臺(tái)內(nèi)部下底面另一側(cè)邊緣，此時(shí)太陽(yáng)光線與水平地面所成角為，且這兩條光線與圓臺(tái)下底面中心看成在同一堅(jiān)直平面內(nèi)，土樓頂部對(duì)應(yīng)的圓臺(tái)的體積為，則該土樓的占地面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作圖分析，設(shè)圓臺(tái)下底面半徑為，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求得圓臺(tái)的上底面半徑以及高，根據(jù)圓臺(tái)的體積求得x，即可求得答案.【詳解】設(shè)下午陽(yáng)光從上底面邊緣的射人點(diǎn)為為圓臺(tái)下底面圓心，上底面圓心為，被下午太陽(yáng)光線照射到內(nèi)部的下底面邊緣點(diǎn)為，延長(zhǎng)交于，過(guò)A作于.作出上午那條光線關(guān)于對(duì)稱的光線，則對(duì)稱光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖,,設(shè)圓臺(tái)下底面半徑為，即，為等腰三角形，.由于,則,由題意知,可知四邊形為矩形，則,則,，故選：C8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，根據(jù)面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得面積的最大值.【詳解】由題意可得，所以由正弦定理得，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，則當(dāng)時(shí)，取最大值為.故選：B.二、多選題9．有一組從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，若將第1個(gè)數(shù)據(jù)減1，最后一個(gè)數(shù)據(jù)加2，其余數(shù)據(jù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則下列統(tǒng)計(jì)量中，相比原來(lái)的數(shù)據(jù)變大的有（

）A．極差 B．中位數(shù) C．平均數(shù) D．方差【答案】ACD【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義計(jì)算即可得出得出答案.【詳解】極差比原數(shù)據(jù)大3，故A正確；中位數(shù)不變，故B不正確；，，所以平均數(shù)變大，故C正確；因?yàn)樽钚〉臄?shù)據(jù)變小，最大的數(shù)據(jù)變大，其余數(shù)據(jù)不變，顯然新數(shù)據(jù)較原數(shù)據(jù)相對(duì)于各自的平均值波動(dòng)變大，由方差的意義易知方差也變大了，故D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為D．有三個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值與零點(diǎn)情況.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故的最小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故A錯(cuò)誤，B正確；若在上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)不難判斷出，故的最大值為，故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)和，故D正確，故選：BD.11．已知圓，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若圓的半徑為1，則B．若圓不經(jīng)過(guò)第二象限，則C．若直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)被圓截得的弦最短時(shí)，其方程為D．若，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為【答案】AD【分析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離判斷B，由直線所過(guò)定點(diǎn)及定點(diǎn)與圓心連線與直線垂直判斷C，根據(jù)切點(diǎn)寫(xiě)出切線方程，再由曲線與方程的關(guān)系得出切點(diǎn)弦所在直線方程判斷D.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.對(duì)于A，若圓的半徑為1，則，即，故A正確；對(duì)于，因?yàn)閳A心在第四象限，所以若圓不經(jīng)過(guò)第二象限，則原點(diǎn)不在圓內(nèi)，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)被圓截得的弦最短時(shí)，，因?yàn)榈男甭蕿?，所以的斜率為，其方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，其半徑，設(shè)切點(diǎn)，則直線的方程分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，所以直線的方程為，故D正確.故選：AD12．定義：若數(shù)列滿足，則稱為“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”.已知在“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”中，首項(xiàng)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，有最小值D．當(dāng)取任意非零實(shí)數(shù)時(shí)，一定有最大值或最小值【答案】ABD【分析】求出，即可判斷A；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再通過(guò)取點(diǎn)與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；下面分析B，C，D項(xiàng)：構(gòu)造函數(shù)，則，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以單調(diào)遞增，再通過(guò)取點(diǎn)與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)位置關(guān)系作出大致圖象如圖1：分析B項(xiàng)：如圖2，以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，依此類推，由圖可知，為遞增數(shù)列，B正確；分析C項(xiàng)：如圖3，以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，依此類推，由圖可知，為遞減數(shù)列，無(wú)限趨近于0，無(wú)最小值，C錯(cuò)誤；分析D項(xiàng)：如圖4，當(dāng)時(shí)，以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，依此類推，由圖可知，當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，設(shè)與的圖象在第一象限的交點(diǎn)為，結(jié)合B，C項(xiàng)可知：當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，顯然，一定有最小值或最大值，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與數(shù)列的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：①通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；②遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決．三、填空題13．已知，則__________.【答案】【分析】利用三角恒等變換弦化切計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：14．已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)__________.【答案】2【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】，因?yàn)樵谠c(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，所以，解得.故答案為：2.15．已知正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則線段的長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，設(shè)，推導(dǎo)出平面，可知平面內(nèi)任一點(diǎn)（不與重合）均滿足，結(jié)合圖形可求得的最大值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、，設(shè)，因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以，，所以，，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，則平面內(nèi)任一點(diǎn)（不與重合）均滿足，由圖可知，.故答案為：.16．已知斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于兩點(diǎn)，若為該拋物線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【分析】利用直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦公式，結(jié)合三點(diǎn)共線線段最小及兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】由題可知直線的方程為，設(shè)，則由,消去，整理得，，所以，所以，解得，所以，而圓的圓心,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)位于點(diǎn)之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知等比數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)基本量解方程求出公比即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公比為，由,得，即,解得，所以.（2），，，兩式相減得，解得.18．已知函數(shù).(1)求的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）由倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由伸縮變換和平移變換得出的解析式，再由換元法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出在上的值域.【詳解】（1）.令，得，所以的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.（2）把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得的圖象，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.令，則，所以當(dāng)或，即或時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以在上的值域?yàn)?19．某工廠對(duì)員工技能進(jìn)行兩項(xiàng)考核.項(xiàng)考核合格得3分，否則得0分；項(xiàng)考核合格得7分，否則得0分.現(xiàn)將員工分為兩組，一組先進(jìn)行項(xiàng)考核，另一組先進(jìn)行項(xiàng)考核合格的概率為，項(xiàng)考核合格的概率為0.5，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核的順序無(wú)關(guān).(1)若甲先進(jìn)行項(xiàng)考核，記為甲的累計(jì)得分，求的分布列.(2)為使累計(jì)得分的期望最大，甲應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)甲應(yīng)選擇先進(jìn)行項(xiàng)考核，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先求出的可能取值，再利用條件求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列；（2）先求出項(xiàng)考核得分的期望，再比較兩項(xiàng)考核得分期望的大小，從而得出判斷.【詳解】（1）由已知可得，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：0310（2）甲應(yīng)選擇先進(jìn)行項(xiàng)考核，理由如下：由（1）可知甲先進(jìn)行項(xiàng)考核，累計(jì)得分的期望為，若甲先進(jìn)行項(xiàng)考核，記為甲的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，，，則的期望為.因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，甲應(yīng)選擇先進(jìn)行項(xiàng)考核.20．如圖，在三棱錐中，為棱的中點(diǎn)，，，平分.(1)求證：平面平面；(2)若，，求當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直證明面面垂直；（2）由三棱錐體積公式得當(dāng)平面時(shí)，體積最大，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算面面夾角.【詳解】（1）為棱的中點(diǎn)，平分，，，又，，且，平面，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題可知為定值，，又，當(dāng)最大時(shí)，，即平面，如圖，以為原點(diǎn)，直線，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，又（1）得，又，，得，，所以，，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，易知為平面的一個(gè)法向量，，平面與平面的夾角的余弦值為.21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率滿足，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，依題意列式，化簡(jiǎn)即可得出的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，解方程即可求出，即可得出直線恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)，依題意，整理得，即為曲線的方程.（2）設(shè)，將代入，整理得，由題意知且.則.因?yàn)樗?，得，因?yàn)?，所以代入可得且，此時(shí)的方程為，可知過(guò)定點(diǎn).22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）先求得，再按m分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)間的關(guān)系即可得到的單調(diào)性；（2）先化簡(jiǎn)解析式，構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和函數(shù)值的正負(fù)情況，進(jìn)而得到的單調(diào)性和函數(shù)值的正負(fù)情況，再利用有三個(gè)不同的零點(diǎn)列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，令，得，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.時(shí)，令得當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜