2023屆江蘇省宿遷市沭陽高級中學高三下學期階段檢測一數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求解集合，再求.【詳解】由題意知，，，解得：或，所以或，則.故選:C．2．若復數(shù)滿足，為的共軛復數(shù)，則（

）A． B．5 C． D．3【答案】B【分析】由共軛復數(shù)的概念與復數(shù)的乘除法法則求解即可【詳解】因為，所以，所以，故選：B3．若，，且滿足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由，可得.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.綜上，.故選：C4．當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為3.因為當時，不等式恒成立，所以.故選：D.5．若，則的值為（

）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】A【分析】根據(jù)賦值法即可求解.【詳解】令，得，．又令得，，所以故選：A6．某大學共有本科生人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為的樣本，則應抽取三年級的學生人數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【分析】要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，根據(jù)一、二、三、四年級的學生比為4：3：2：1，利用三年級的所占的比例數(shù)除以所有比例數(shù)的和再乘以樣本容量即得抽取三年級的學生人數(shù)．【詳解】∵要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，一、二、三、四年級的學生比為4：3：2：1，∴三年級要抽取的學生是40，故選C．【點睛】進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：（1）；（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．7．橢圓具有光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關于l的對稱點為M，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合題目所給信息及圖形可得，后由橢圓定義及條件可得，.最后由可得答案.【詳解】如圖，由橢圓的光學性質(zhì)可得三點共線.設，則，.故，解得.又，所以，.所以.故選：A.8．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，.若E是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底表示出，利用向量夾角公式計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設，則構(gòu)成空間的一個基底，，，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點睛】本小題主要考查異面直線所成角的求法，屬于中檔題.二、多選題9．設是數(shù)列的前n項和，且，，則（

）A．B．數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C．數(shù)列的前5項和最大D．【答案】AC【分析】令可得即可求判斷A，利用的關系可得即可判斷B,C，取求得即可判斷D.【詳解】，，或(舍)，故選項A正確；又，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項B錯誤；由得，，數(shù)列的前5項和最大，故選項C正確；當時，，這與矛盾，故選項D錯誤，故選:AC.10．已知為函數(shù)的導函數(shù)，若，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上有極大值 D．在上有極小值【答案】ABC【分析】將變形得（），構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)討論正負，即可求出單調(diào)性和極值.【詳解】由，可知，則，即．設，則由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值．故選：ABC．11．（多選）給出下列說法其中正確的是（

）A．兩個相交平面組成的圖形叫做二面角B．異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角相等或互補C．二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成角的最小角D．二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系【答案】BD【分析】對于A，由二面角的定義判斷，對于B，由線面垂直的性質(zhì)和二面角的定義判斷，對于C，由二面角的平面角的定義判斷，對于D，由二面角和平面角的定義判斷.【詳解】對于A，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，故A錯誤；對于B，因為a，b分別垂直于兩個面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角或直角，所以應是相等或互補，故B正確；對于C，因為所作射線不一定垂直于棱，故C錯誤；由定義知二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系，所以D正確．故選：BD．12．已知向量，，則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當時，與垂直C．對任意，都有D．當時，與方向上的投影為【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量共線、垂直的坐標表示和向量投影的相關知識逐項進行判斷.【詳解】對于，若，則有，即，所以不存在這樣的，故選項錯誤；對于，若，則，即，得，故選項正確；對于，，，當時，，故選項錯誤；對于，，兩邊同時平方得，即，，解得，，，設與的夾角為，在方向上的投影為，故選項正確，故選：.三、填空題13．已知是定義域為R的奇函數(shù)，且當時，則________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義．結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)計算．【詳解】由，得，又當時，所以.由是奇函數(shù)，得，所以.故答案為：．14．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，則的最小值為_____________.【答案】8【分析】先由正弦定理，結(jié)合，得到，再結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，由正弦定理得，因為，所以，即，則，當且僅當時等號成立，即的最小值為8.故答案為：815．在直角梯形中，，，，E為和分別沿折起，使得點A，D重合于點F，構(gòu)成四面體.若四面體的四個面均為直角三角形，則其外接球的半徑為_________.【答案】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理確定垂直關系，再確定外接球的球心所在位置，利用勾股定理求出外接球的半徑即可.【詳解】如圖.由題意可知，折疊后所構(gòu)成的四面體中，不可能為直角.在中，由可知，為直角，即.因為平面，所以平面，因為平面,所以.又因為，，平面，所以平面，因為平面,所以.所以四面體外接球的球心為的中點，半徑為.在直角梯形中，設，則有.由，解得(負值已舍去)，則.因此，四面體外接球的半徑為.故答案為：.16．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度________m.【答案】【詳解】試題分析:由題設可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因為,所以,應填.【解析】正弦定理及運用．四、解答題17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，，，且滿足___________．(1)求；(2)若的面積為，為的中點，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）選①時，利用正弦定理邊化角得，又，代入整理得，化簡即可求解；選②時，利用正弦定理邊化角得，又，代入整理得，化簡即可求解；選③時，利用正弦定理邊化角得，即，再利用兩角差的余弦公式展開得，化簡即可求解；（2）根據(jù)面積公式得，再利用余弦定理得，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）選①時，，利用正弦定理得：，由于，所以，故，又，，整理得，，故．選②時，，利用正弦定理得：，由于，所以，即，又，，，，故，，故．選③時，，利用正弦定理得：，又，，整理得．所以，整理得，，故．（2）由于的面積為，所以，，解得．在中，由余弦定理得：，故，當且僅當，即，，的最小值為．18．設數(shù)列的前項的和為且數(shù)列滿足且對任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項公式.

（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列.（3）令問是否存在正整數(shù)使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見證明；（3）見證明【分析】（1）利用項和公式求數(shù)列的通項公式.(2)由題得，，即，再求出，再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.(3)先求出，所以，根據(jù)成等比數(shù)列得，即，再求出m，k的值.【詳解】（1）因為數(shù)列的前項的和，所以當時，；當且時，，當時，上式也成立，所以數(shù)列的通項公式為.（2）證明：因為對任意正整數(shù)都有成等比數(shù)列，所以，即，所以，兩式相除得，對任意正整數(shù)都有，即，當為奇數(shù)時，，所以，當為偶數(shù)時，，而，所以，所以.所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.(3)因為，所以，因此存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，因為都是正整數(shù)，則，即時，對應的.所以存在或或使得成等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查等差數(shù)列性質(zhì)的證明，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.19．如圖，四棱錐的底面為矩形，平面平面，是邊長為2等邊三角形，，點為的中點，點為上一點（與點不重合）．(1)證明：；(2)當為何值時，直線與平面所成的角最大？【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，結(jié)合條件可得，然后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；（2）利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.【詳解】（1）因為三角形是等邊三角形，且E是中點，所以，又因為平面，平面平面，平面平面，所以平面，又因為面，所以，因為，，所以，，所以，即，因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以；（2）設F是中點，以E為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由已知得，設，則、設平面的法向量為，則，令，有，設直線與平面所成的角，所以，當且僅當時取等號，當時，直線與平面所成角最大．20．已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在雙曲線時，.（1）求雙曲線的方程.（2）設為雙曲線上一點，點，在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若恰為線段的中點，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請求出這個定值；若不為定值，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）設出點，的坐標，可得點的坐標，代入雙曲線的方程，可得，設，利用漸近線方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關系式及二倍角公式得，由，的坐標得，，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）由題意，易得，，則由，可得，，即.又，解得（負值舍去），，解得，雙曲線的方程為.（2）由（1）可知雙曲線Ｃ的漸近線方程為，設，，其中，.為線段的中點，，將點的坐標代入雙曲線的方程得，解得.設，則.又，，，，，.又，，，的面積為定值2.【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線中三角形面積的定值問題，解題的關鍵是設出點，的坐標，設，得出和.21．為豐富學生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進行：第一階段由評委給出所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分數(shù)進行了統(tǒng)計分析，這些分數(shù)都在內(nèi)，在以組距為5畫分數(shù)的頻率分布直方圖（設“”)時，發(fā)現(xiàn)滿足.（1）試確定的所有取值，并求；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無緣獲獎也不能參加附加賽；分數(shù)在的參賽者評為一等獎；分數(shù)在的同學評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分數(shù)在的同學評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級）.已知學生和均參加了本次比賽，且學生在第一階段評為二等獎.（）求學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級的概率；（）已知學生和都獲獎，記兩位同學最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）（）；（）分布列見解析，.【分析】（1）在內(nèi)，按組距為5可分成6個小區(qū)間，分別是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；（2）（的分數(shù)屬于區(qū)間，，，，，的概率分別是，，，，，.用符號或（）表示學生（或）在第一輪獲獎等級為，通過附加賽最終獲獎等級為，其中，記“學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級”為事件，由此能求出學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級的概率；（）學生最終獲得一等獎的概率是，學生最終獲得一等獎的概率是，的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，求出的分布列和.【詳解】（1）根據(jù)題意，在內(nèi)，按組距為5可分成6個小區(qū)間，分別是，，由，.每個小區(qū)間的頻率值分別是.由，解得.的所有取值為，.（2）（）由于參賽學生很多，可以把頻率視為概率.由（1）知，學生的分數(shù)屬于區(qū)間的概率分別是：，，，，，.我們用符號（或)表示學生（或）在第一輪獲獎等級為，通過附加賽最終獲獎等級為，其中.記“學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級”為事件，則.（）學生最終獲得一等獎的概率是，學生最終獲得一等獎的概率是，，，，的分布列為：.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、條件概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望，考查學生的邏輯思維能力和運算能力，屬于難題.22．已知函數(shù)，為的導函數(shù).(1)討論的極值；(2)若存在，使得不等式成立，求