2023屆廣東省廣州市高三綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)及模，即可計(jì)算作答.【詳解】復(fù)數(shù)，則，，所以.故選：A2．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】解一元二次不等式，并結(jié)合已知用列舉法表示集合A作答.【詳解】解不等式，得，因此，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：C3．函數(shù)在上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取特值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?，且，即函?shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)CD；而當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)B符合要求.故選：B4．已知為第一象限角.，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，兩邊平方求出，判斷的正負(fù)并求出，再利用同角公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，，則，，，即，解得，，所以.故選：D5．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類(lèi)數(shù)稱(chēng)為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（

）A．100個(gè) B．125個(gè) C．225個(gè) D．250個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由0出現(xiàn)的次數(shù)分類(lèi)求解作答.【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬(wàn)位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類(lèi)辦法：最多1個(gè)0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，最少2個(gè)0，取奇數(shù)字有種，占萬(wàn)位和個(gè)位，兩個(gè)0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，由分類(lèi)加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).故選：C6．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的最大值為.故選：A7．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點(diǎn)D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A8．已知均為正實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特殊值法當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，B，C；再證明選項(xiàng)D成立.【詳解】已知均為正實(shí)數(shù)，,當(dāng)時(shí)，，滿足成立，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由已知，則，.由則，所以，即，得，，即.下面證明，.設(shè)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以>，即.所以，故D正確，故選：D.二、多選題9．某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測(cè)量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．頻率分布直方圖中aB．這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C．據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62【答案】AC【分析】運(yùn)用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及頻數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋獾茫海蔄項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，人，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以?8百分位數(shù)位于之間，設(shè)第78百分位數(shù)為x，則，解得：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，即：估?jì)該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．若，則的最小值為D．若，則【答案】ABD【分析】利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求出，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，即，而，則，，對(duì)于A，因?yàn)?，于是函?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，因此中一個(gè)為函數(shù)的最大值點(diǎn)，另一個(gè)為其最小值點(diǎn)，又函數(shù)的周期為，所以的最小值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，則，因此，D正確.故選：ABD11．已知函數(shù)，點(diǎn)分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若關(guān)于的方程在上無(wú)解，則B．存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．若存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則D．若存在滿足，則【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由方程有解判斷B；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.【詳解】函數(shù)，對(duì)于A，方程在上有解，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，因此關(guān)于的方程在上無(wú)解，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，依題意，點(diǎn)Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時(shí)，令函數(shù)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，因此函數(shù)的值域?yàn)椋?，于是在有解，所以存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；對(duì)于D，令，由得，顯然，且，，令，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，即有，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，D正確.故選：BCD12．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是【答案】BC【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程并化簡(jiǎn)整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計(jì)算判斷C；取點(diǎn)計(jì)算判斷D作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).三、填空題13．已知向量與共線，則__________.【答案】.【分析】運(yùn)用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意知，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故答案為：.14．已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.【答案】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，，則，因此，.故答案為：.15．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，若.，則關(guān)于x的不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.【詳解】令函數(shù)，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：四、雙空題16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面平面，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)_________.【答案】

【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正方體所得截面，再確定點(diǎn)的軌跡，計(jì)算長(zhǎng)度即可；再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.【詳解】在正方體中，連接，如圖，對(duì)角面為矩形，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則，而，即平面截正方體所得截面為梯形，顯然過(guò)點(diǎn)與平面平行的平面交平面、平面分別于，因此，連，平面、平面與平面分別交于，，因此，而，即四邊形為平行四邊形，于是，即點(diǎn)M為的中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)始終滿足平面，于是平面，又在側(cè)面上，所以點(diǎn)的軌跡是線段，軌跡長(zhǎng)為；以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，令，則有，，于是點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.五、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：(2)若，求正整數(shù)的所有取值.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)證明為定值即可；（2）先根據(jù)（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求出，從而可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，，兩式相減得，所以，則，由，得，即，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，由，，則當(dāng)時(shí)，，所以若，正整數(shù)的所有取值為.18．記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、.已知.(1)證明：；(2)若，，求的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可證得結(jié)論成立；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可得出，結(jié)合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，則，即，由正弦定理可得，因此，.（2）因?yàn)?，由正弦定理可得，由平面向量?shù)量積的定義可得，所以，，可得，即，所以，，則，，所以，，則為銳角，且，因此，.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，(1)求證：；(2)求平面PAB與平面ABCD交角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，可證明，，進(jìn)而可證平面，則結(jié)論成立；（2）過(guò)做平面，過(guò)做于，則為平面PAB與平面所成角，根據(jù)題中所給條件計(jì)算，的長(zhǎng)，求出正切值，進(jìn)而求出正弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，即，因?yàn)?，所以；因?yàn)椤鱌AD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，所以；，所以平面，平面，所以.（2）過(guò)做平面，過(guò)做于，則為平面PAB與平面所成角，由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，則直線，由題意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，過(guò)做于，則，在中，，，則，，所以，所以，，則.20．為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競(jìng)賽，每位參賽學(xué)生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對(duì)得20分，答錯(cuò)得10分：從第2次答題開(kāi)始，答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯(cuò)得10分.學(xué)生甲參加答題競(jìng)賽，每次答對(duì)的概率為，各次答題結(jié)果互不影響.(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；(2)記甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為.①寫(xiě)出與滿足的等量關(guān)系式（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）：②若，求i的最小值.【答案】(1)；(2)①，，且；②5.【分析】（1）甲甲前3次答題得分之和為40分的事件是甲前3次答題中恰答對(duì)一次的事件，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算作答.（2）①求出，再分析、寫(xiě)出與滿足的等量關(guān)系式作答；②利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，列出不等式并結(jié)合單調(diào)性作答.【詳解】（1）甲前3次答題得分之和為40分的事件是：甲前3次答題中僅只答對(duì)一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率.（2）①甲第1次答題得20分、10分的概率分別為，則，甲第2次答題得40分、20分、10分的概率分別為，則，顯然，，甲第次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此第次答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為，答錯(cuò)題所得分?jǐn)?shù)為10分，其概率分別為，于是甲第i次答題所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以與滿足的等量關(guān)系式是：，，且；②由①知，，當(dāng)時(shí)，，而，因此數(shù)列以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，于是，由得：，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，則有正整數(shù)，所以i的最小值是5.21．已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）