6.4平面向量的應(yīng)用《6.4.3余弦定理》復(fù)習(xí)教案學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng).掌握余弦定理及其推論.（重點(diǎn)）.掌握余弦定理的綜合應(yīng)用.（難點(diǎn)）.能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀.（易錯(cuò)點(diǎn)）.借助余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理素養(yǎng)..通過(guò)余弦定理的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】I新知初探二1.余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2=b2+c2—2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2—2abcos_C變形b2+c2—a2cosA- 2bc；a2+c2—b2cosB二 ；2aca2+b2—c2cosC二門(mén)l2ab思考：在4ABC中，若a2<bz+c2,則4ABC是銳角三角形嗎？［提示］不一定.因?yàn)?ABC中a不一定是最大邊，所以4ABC不一定是銳角三角形.2.解三角形（1）一般地，三角形的三個(gè)角人，B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.（2）已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

I一初試身手二TOC\o"1-5"\h\z.在AABC中，已知a=9,b=2\；3C=150°,則c等于( )A.39B.8-^3 C.10v12 D.7\回D[由余弦定理得c=\；'92+(2q5>—2X9X2/Xcos150°=\/147=7\：'1].在AABC中，已知@2=匕2+。2+n，則角人等于( )A.60° B.45° C.120° D.301bz+c2—a2 1C[由cosA=-r =-K，??A=120.]2bc 2.在^ABC中，a=1,b="x/3,。=2,則B=.

cz+a2—b24+1—31[cosB= = --,B=60.]2ac4 2在AABC中，若a2—c2+b2=ab,則cosC-.—[Va2—cz+bz-ab,乙，c2=a2+b2—ab.又,:。2=42+匕2—2abcosC,，2cosC-1.**?cosC^~.]乙【合作探究】‘工類(lèi)型1/ 已知兩邊與一角解三角形【例1】⑴在【例1】⑴在4ABC中，已知b-60cm,c=60，3cm,則a- cm；9 .一(2)在AABC中，若AB=.J5,AC-5,且cosC=10,則BC-(1)60(2)4或5[(1)由余弦定理得：a=\j602+(60\.'3)2—2X60X60Xcos-

=60（cm）.9⑵由余弦定理得：（q5）2=52+BC2—2X5XBCXi0，所以BC2—9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.］理律比法已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊，然后利用余弦定理的推論求出其余角.跟蹤訓(xùn)練1.在4ABC中，a=2\：&c=\/6+\；2B=45。，解這個(gè)三角形.［解］根據(jù)余弦定理得，b2=az+c2—2accosB=（233）2+（-?...；'6+\：2）2—2X2-\j3X（\；'6+\/2）Xcos45°=8,?,?b=2\；2XVcosAXVcosA=b2+c2—a2

2bc=8+（V6+V2）2—qV3）2」—2X2飛回X（\用十%］）—2,??.A=60°,C=180°—（A+B）=75°.‘工類(lèi)型2， 已知三邊解三角形【例2】在4ABC中，已知a=2\/6b=6+2-13,c=4%：3求A,B,C.bz+c2—a2［解］根據(jù)余弦定理，cosA= 0 2c=（6+2也）2+（4小＞一（2加）2=?！?2X（6+2J3）X4^13 —2. ， .n???A￡（0'n）'..?A=cosC=cosC=a2+b2—c22ab（2\j6）2+（6+2\；'$）2—H、”）2=\/22X2a；6X（6+2\,''3） ―2n\*C￡(0,n),AC=—..?.B=n—A—C=nnn7

.?.B=n—A—C=nnn7

= 6 4 12,n?7??冷=干B=12n規(guī)律方法.已知三邊求角的基本思路是:利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一..若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.跟蹤訓(xùn)練.已知4ABC中，a：b：c=2：\/6：(\回+1),求4ABC中各角的度數(shù).[解]已知a：b：c=2：\,f6：(%/3+1),令a=2k,b=\：'6k,c=(\：13+1)k(k>0),bz*C2——a,2由余弦定理的推論，得cosA=b--2c_(V6k>+[(而+1)k]2—(2k?鏡2X\后kX(\/3+1)k —2，??0°<A<180°,.?.A=45°.cosB=acosB=a2+c2—b2

2ac— 2X2kX(\/3+1)k -2，??0°<B<180°,??.B=60°..C=180°—A—B=180°—45°—60°=75°.心他3， 余弦定理的綜合應(yīng)用［探究問(wèn)題］

.. 一,一n.,、一一，..一n一, 一在4ABC中，右C2=a2+b2,則C=歹成立嗎？反之若C=等~，則C2=az+b2乙 乙成立嗎？為什么？［提示］因?yàn)镃2=a2+b2,所以a2+b2—C2=0,由余弦定理的變形cosC=a2+b2-C2 n n a?+b2—C2—2ab-=0,即CosC=0,所以C=-2,反之右C=-2,則UCosC=0,即一2ab—=0,所以a?+b2—C2=0,即C2=az+b2.【例3】在AABC中，若(a—C-cosB)?sinB=(b—C-cosA)?sinA,判斷AABC的形狀.［解］V(a—c-cosB)?sinB=(b—C-cosA)?sinA,???由余弦定理可得:(a—c(a—c1a2+c2—b2'2ac；b2+c2—a2'2bc~~,a,整理得：(az+bz—C2)b2=(az+b2—C2)a2,即(a2—b2)(a2+b2—C2)=0,...a2+b2—C2=0或a2=b2..,?a2+匕2=。2或a=b.故AABC為直角三角形或等腰三角形.母題探究］.(變條件)將例題中的條件“(a—ccosB)-sinB=(b—ccosA)-sinA”換為“acosA+bcosB=ccosC”其它條件不變，試判斷三角形的形狀.b2+C2—a2 C2+a2—b2［解］由余弦定理知cosA=Z7——,cosB=——,cosC=2bc 2cac2+a2—b2 c2—a2—b2卜c2+a2—b2 c2—a2—b2卜b,—Z +c?———=0,2ca 2ab，-,代入已知條件得a'F-通分得a2(b2+C2—a2)+b2(a2+c2—b2)+c2(c2—a2—b2)=0,展開(kāi)整理得(a2—b2)2=C4.，a2—b2=±C2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根據(jù)勾股定理知^ABC是直角三角形..(變條件)將例題中的條件“(a—ccosB)-sinB=(b—ccosA)-sinA”換為“l(fā)ga—lgc=lgsinB=—lg斕且B為銳角”判斷AABC的形狀.［解］由lgsinB=—lg\/2=lg噂,乙可得sinB=g2,又B為銳角，???8=45°乙.\c=-J2aa\pZ.\c=-J2a由lga—lgc=—lg\；2,得［=3-,1 C2又,?%2=42+。2—2accosB,. . a，'12?b2=az+2a2—2、：2a2X~^-=a2,乙??@=b即人=8.又B=45°,??△ABC為等腰直角三角形.規(guī)律方電判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.I課堂小5.余弦定理是三角形邊角之間關(guān)系的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例..用余弦定理可以解決兩種解三角形的題型(1)已知三邊解三角形.(2)已知兩邊及一角解三角形..已知兩邊及其中一邊所對(duì)角用余弦定理求解時(shí)可能有兩個(gè)解，注意用邊與角之間的關(guān)系特點(diǎn)進(jìn)行取舍.【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1.判斷正誤(1)余弦定理適用于任意三角形.()⑵在4ABC中，若a2>bz+c2,則4ABC一定為鈍角三角形.(⑶在4ABC中，已知兩邊和它們的夾角，△ABC不唯一.( )

［答案］(1)J(2)J(3)X2.在AABC中，a=7,nA.—3nb-tnC-TnD-12@24b2—C2B[由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△2.在AABC中，a=7,nA.—3nb-tnC-TnD-12@24b2—C2B[由三角形邊角關(guān)系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC=「『一2ab_72+(4也)2—(V13)2=亞― 2X7X4Aj1'，3 ―2一-n所以CHT,故選B.]3.在4ABC中，若a=2bcosC,則4ABC的形狀為a2+b2—C2a?+b2—C2等腰二角形「?，a=2bcosC=2b- 2ab-= a ，.??a2=a2+b2—C2,即b2=C2, b=c,???△ABC為等腰三角形.]4.則cos13在4ABC中，內(nèi)角人，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=C,2b=\Ma,A= .［由B=C,2b=\,i'3a,可得b=c=ga,

乙bz+c2—a2所以cosA= 2bc33—a2+—a2—a24 4 1-..'3 vi=3'J2X^-aX^5-a乙 乙5.在AABC中，已知a=5,匕=3,角C的余弦值是方程5x?+7x—6=0的根，求第三邊。的長(zhǎng).［解］5x2+7x—6=0可化為(5x—3)?(x+2)=0,3Axi=5,x2=—2(舍去)，..cosC=f.5根據(jù)余弦定理，C2=a2+b2—2abcosCLIc c L c 3 “=52+32—2X5X3X^=16,5??.c=4,即第三邊長(zhǎng)為4.《6.4.3余弦定理》課后作業(yè)［合格基礎(chǔ)練］一、選擇題.在4ABC中，已知缶+匕+。）8+。一@）=3n，則角人等于（ ）A.30° B.60° C.120° D.1500B［由題意知，（b+c）2—a2=b2+c2+2bc—a2=3bc,...b?+c2—a2=bc,..cosA=b2+c2—a2 12..cosA=b2+c2—a2 12bc-2,??.A=60°.]2.在AABC中若a=813b=7,cosC=m，則最大角的余弦值是（A.1b—611C一一 D一一C. 7 D.813所以[由余弦定理，得。2=a2+匕2—2abcosC=82+72—2X8X7X14-9,所以c-3,故a最大，所以最大角的余弦值為cosA-'募2a2=7；^；2：——1］2bc2X7X3 /c2—a2—b2.在4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若一>0,則AAB。 ）2abA.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形c2－a2－b2C［由———>0得一。。5口0,所以cosC<0,從而C為鈍角，因此4ABC2ab一定是鈍角三角形.］.若4ABC的內(nèi)角人，B,C所對(duì)的邊a,b,c滿(mǎn)足（a+b）2—c2=4,且C-

60，則60，則ab的值為（）2A，3 B.8-4y3 C.1D.3A[由（a+b）2—C2=4,得a?+b2—cz+2ab=4,由余弦定理得a?+b2—C24=2abcosC=2abcos60=ab,則ab+2ab=4,.?ab=e.]3.銳角△ABC中，b=1,c=2,則a的取值范圍是（ ）A.1<a<3 B.1<a<5C.\''3<a<J5 D.不確定C[若a為最大邊，則b2+c2—a2>0,即a2<5,???a<q5若c為最大邊，則a2+b2>c2,即a2>3,?,.a>\；'3,故rJ3<a<\；5.]二、填空題6.已知a,b,c為△ABC的三邊，B=120°,則Ua2+c2+ac—b2=.0[?/b2=a2+c2—2accosB=a2+c2—2accos120°=a2+c2+ac,..az+cz+ac—b2=0.]2n7.在AABC中，若b=1,c=[3,C=f-,Ua=.32n,1[Vc2=a2+b2—2abcosC,,?（，.j3）2=a2+12—2aX1Xcos_7—,.a2+a3—2=0,即（a+2）（a—1）=0,,a=1或a=—2（舍去）..?.a=1.]8.在8.在4ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-；,則b=4[因?yàn)閎+c=7,所以c=7—b.B,由余弦定理得：b2=a2+c2—2acB,即b2=4+（7—b）2—2X2X（7—b）X解得b=4.]三、解答題9.在^ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.[解]在AABC中，VA+C=2B,A+B+C=180°,.B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB1=82—2x15—2x15X5=19.10.在AABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程X2—2$x+2=0的兩根,2cos(A+B)=l.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長(zhǎng).[解](1)VcosC=cos[n—(A+B)]=—cos(A+B)=—J,且Cg(0,JI),(2)Va,b是方程X2—2，5x+2=0的兩根,.Ja+b=2^J§,[ab=2,...AB2=b2+a2—2abeos1200=(a+b)2—ab=10,[等級(jí)過(guò)關(guān)練].在ZXABC中,若(@2+c2—b2)tanB=，§ac,則角B的值為(TOC\o"1-5"\h\zji ji ji 5n it 、2兀A.—B.—C.—sfc-z-D.-o 3 o o 3 3D[V(32+02—b2)tanB=^ac,a2+C2—]j2 ?tanB=T，2ac 2即cosB-tanB=sinB=3-.乙n2n???角B的值為彳或不-.]oo2.在AABC中，a,b,c為角A,B,C的對(duì)邊，且b?=ac,則B的取值范圍

是（）(A.0,〈B.