2023屆江西省九所重點中學(xué)高三第二次聯(lián)考聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的交集與補集的概念及運算，即可求解.【詳解】由題意，全集，，可得，因為集合，所以.故選：D.2．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中假命題為（

）A． B．的共軛復(fù)數(shù)為 C．的虛部為-1 D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)除法運算化簡復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛部及，從而確定假命題【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以z的虛部為-1，的共軛復(fù)數(shù)為，，，故假命題為：的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B3．已知函數(shù)對任意自變量都有，且函數(shù)在上單調(diào)．若數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，且，則的前項之和是（

）A． B． C．

D．【答案】B【分析】由已知可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，再結(jié)合函數(shù)及數(shù)列單調(diào)性可得，然后利用等差數(shù)列前n項和公式計算作答.【詳解】因為函數(shù)對任意自變量都有，于是函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，則數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，又函數(shù)在上單調(diào)，由得，所以的前項之和是.故選：B4．設(shè)為任一實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，例如，，，，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定的信息，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】對于實數(shù)，依題意，，而，因此，若，如取，有，顯然，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確.故選：A5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的定義域及奇偶性進行排除,根據(jù)0到第一個零點處的函數(shù)值正負,即可判斷選項C,D的正誤.【詳解】解:由題知,定義域為,解得,所以,故為奇函數(shù),排除A,B;令可得,即,解得,當時,,,此時,故選項D錯誤,選項C正確.故選:C6．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”我們可以把看作是每天的“進步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若經(jīng)過200天，則“進步”的值大約是“退步”的值的（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出經(jīng)過200天的“進步”的值和“退步”的值，再結(jié)合對數(shù)與指數(shù)運算求解作答.【詳解】依題意，經(jīng)過200天的“進步”的值為，“退步”的值為，則“進步”的值與“退步”的值的比，兩邊取對數(shù)得：，因此，所以“進步”的值大約是“退步”的值的55倍.故選：D7．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，所以，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有，因此的最小值為.故選：A.8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由，，可得解.【詳解】由，且，所以，即.又，即.綜上：.故選:B.9．2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含“吉祥團圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（

）A． B．76cm C．94cm D．【答案】D【分析】由題意只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點為點，過點做直線的垂線，垂足為，求出，，設(shè)，則，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得為銳角，故要使最大，只需最大，設(shè)小南眼睛所在的位置點為點，過點做直線的垂線，垂足為，如圖，則依題意可得（cm），（cm），，設(shè)，則，且，，故，當且僅當即時等號成立，故使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為cm.故選：D.10．已知長方體中，底面為正方形且邊長為2，側(cè)棱長為4，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)以為球心，為半徑的球面與側(cè)面交于兩點，因為平面，則所求即為以為圓心，半徑為作圓與面的交線，又，，則根據(jù)弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】設(shè)以為球心，為半徑的球面與側(cè)面交于兩點，因為平面，平面，所以，則，故，所以點為的中點，，，因為平面，則以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線，即為以為圓心，半徑為作圓與面的交線，在中，，則，所以，所以弧長為.故選：C.11．已知雙曲線的左右焦點記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，的方程為：，與雙曲線的方程聯(lián)立可得點的坐標，設(shè)，，直線的傾斜角為，則，運用三角形面積相等，雙曲線的定義，可得關(guān)于、的方程，由即可得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點、右焦點，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為：，可得直線的方程為：，由可得：，即，設(shè)，，可得，即，整理可得：，即，由雙曲線的定義可得：，所以，設(shè)直線的傾斜角為，在中，，，，所以，所以，所以，整理可得：，解得：或（舍），所以雙曲線的離心率為，故選：A.12．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，進而可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】等價于．令函數(shù)，則，故是增函數(shù)．等價于，即．令函數(shù)，則．當時，，單調(diào)遞增：當時，，單調(diào)遞減．.故實數(shù)a的取值范圍為．故選：C.二、填空題13．設(shè)向量滿足，則__．【答案】【詳解】∵||=2，||=|+|=3，∴=4，=9，∴+2?+=9，故2?=﹣4，故+4?+4=4+36﹣8=32，故|+2|=4，故答案為4．14．在一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點都在曲線，，，則實數(shù)的值為_________.【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，進而得到方程，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，把對應(yīng)的點的坐標代入曲線的方程，即，所以因為，，，可得，所以.故答案為：.15．寫出與圓和拋物線都相切的一條直線的方程_____________．【答案】或（寫出其中之一即可）【分析】首先設(shè)切線為，根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】由題知：與圓和拋物線都相切的直線存在斜率，設(shè)切線方程為，所以，化簡得：.又，因為，所以，解得或.當時，，.當時，，舍去.所以切線方程為或.故答案為：或（寫出其中之一即可）16．如圖C是圓臺母線AB的中點，BD是底面的直徑，上底面半徑為1，下底面半徑為2，AB=2，點M是弧BD的中點，則C、M兩點在圓臺側(cè)面上連線長最小值的平方等于______.【答案】##【分析】將圓臺展開為平面圖形，結(jié)合幾何位置關(guān)系在中利用余弦定理求解.【詳解】因為圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為2，AB=2，所以該圓臺是由底面半徑為2，母線長為4的圓錐所截得，所以圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為，所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，即側(cè)面展開圖為一個半圓，所以圓臺側(cè)面展開圖為一個半圓環(huán)，沿母線展開如圖所示，，.，由余弦定理可得：.故答案為:.三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，(1)求和．(2)若數(shù)列成等比數(shù)列，且，求【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.（2）根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得方程組，解得.所以，.（2）由（1）知，所以.因為所以數(shù)列的公比.所以，所以.18．江西省新高考改革自2021年執(zhí)行，在取消文理科后實行“”考試模式，即除語數(shù)外三科，學(xué)生需從物理、歷史2科中任選1科，化學(xué)、生物、政治、地理4科任選2科參加高考．某學(xué)校為了解學(xué)生對全理（選擇物理、化學(xué)、生物）的選擇是否與性別有關(guān)，從該校高一年級的500名男生和400名女生中按男女分層隨機抽樣抽取90人進行模擬選科，經(jīng)統(tǒng)計，選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多10人．選擇全理不選擇全理合計男生15女生合計(1)完成上面的列聯(lián)表并判斷是否有99.5%的把握認為選擇全理與性別有關(guān)；(2)為了解學(xué)生選科的理由，隨機選取了男生4名，女生2名進行座談，再從中抽取2名代表作問卷調(diào)查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．k【答案】(1)填表見解析；有99.5%的把握認為選擇全理與性別有關(guān)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)信息完善列聯(lián)表，再計算的觀測值，與臨界值表比對作答.（2）利用列舉法結(jié)合古典概率、對立事件的概率公式求解作答.【詳解】（1）依題意，高一男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，而選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多10人，則選擇全理的人數(shù)為50，不選全理的人數(shù)40，所以列聯(lián)表為：選擇全理不選擇全理合計男生351550女生152540合計504090的觀測值，所以有99.5%的把握認為選擇全理與性別有關(guān)．（2）設(shè)“至少抽到一名女生”為事件A，設(shè)4名男生分別為1，2，3，4，兩名女生分別為5，6，從6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生的所有可能結(jié)果為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種．不包含女生的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種．所以至少抽到一名女生的概率．19．如圖，點C在直徑為的半圓O上，垂直于半圓O所在的平面，平面．且．(1)證明：平面平面(2)若，，異面直線與所成的角是，求三棱錐的外接球的表面積【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面，再借助線面平行可得，然后利用線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）取的中點M，連接，確定球心為M，再計算球半徑及表面積作答.【詳解】（1）因為點C在半圓O上，為直徑，則，而平面，平面，于是，又平面，則有平面，由知點共面，又平面，平面平面，平面，因此，即有平面，又DE在平面ADE內(nèi)，所以平面平面（2）由（1）知，，因為，則為與所成的角，即，則，平行四邊形中，，因為平面，則有平面，平面，則，又，平面，于是平面，而平面，從而，取的中點M，連接，如圖，因此，則點M是三棱錐的外接球球心，而，所以三棱錐的外接球表面積.20．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，若的周長為6，面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，試判斷是否為定值？請說明理由．【答案】(1)(2)為定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案。（2）首先直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得到，，根據(jù)得到，同理可得，再計算即可。【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，因為的周長為6，面積為，所以，由①得：，將此式代入②得：，所以，所以或當時，，，所以不滿足題意；當時，，，所以滿足題意．所以橢圓C的方程為.（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知，設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立，消去，整理得：，設(shè)，則，，又，則，由可得，所以，同理可得，所以所以為定值．21．設(shè)函數(shù)．(1)當時，求在上的最值；(2)對，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）通過導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)值域可求得最值；（2）結(jié)合（1）及不等式放縮可得滿足題意；對于與，找到使不成立的關(guān)于的區(qū)間，綜上可得的范圍．【詳解】（1）時，，..則在上單調(diào)遞增，故，.即，.（2），.當時，.由（1）知時，，∴；當時，，∴.即時，；

當時，，時，，不合題意．當時，則.令，則.當時，，∴在單調(diào)遞增，又，∴存在使，則當時，.∴在單調(diào)遞減，此時，則不合題意綜上．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及與三角函數(shù)有關(guān)求函數(shù)最值及函數(shù)恒成立求參數(shù)問題，難度較大.對于含有三角函數(shù)問題，常利用結(jié)合不等式放縮判斷相關(guān)導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性；求參數(shù)范圍可利用分類討論的手段，而分類討論的標準可由題目前面小問找到相關(guān)提示.22．在平面直角坐標系中，圓的方程為，圓以為圓心且與圓外切．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓的參數(shù)方程與極坐標方程．(2)若射線與圓交于點，與圓交于點且，求直線的斜率．【答案】(1)（為參數(shù)），(2)【分析】（1）根據(jù)直角坐標方程和參數(shù)方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可;（2）根據(jù)極坐標方程的幾何意義，求出直線的傾斜角即可.【詳解】（1）因為圓以為圓心且與圓外切，所以其半徑為．所以圓的普