專題一：證明題重要定理條結(jié)1、零點定（f(x)0有根f(x)在[ab上連f(af(b異(a,b)，使f()2、羅爾定（f(x)0有根f(x)在[ab上連f(x)在(a,b)上可f(a)f則在(a,b)(a,b)，使f()03、拉格朗日中值定f(x)在[ab上連f(x)在(a,b)上可則在(a,b)(a,b，使f(f(bf(a)b3、單調(diào)性證明不等1）若f(x)2）若f(x)f(x為單調(diào)增函數(shù)，故x1時有f(x1f(x2時有f(x1f(x21、用零點定理證明方程有根f(x)例1. 證明方程exx2在(0,2)內(nèi)至少有一個實根。證明：設(shè)f(x)=exx2，則f(x)在0,2上連續(xù)，f(0)20,f(2e24由零點定理知，至少存在一點(0,2)，有f(即方程exx2在(0,2例2.xsinx23的正實根。證明:令f(x)xsinx2，則f(x)在[0,3]上連續(xù)，f(0)20f(3)1sin3由零點定理知，至少存在一點(0,3)f(例3. 證明方程x3x10在(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根。證明：先證根的存在性設(shè)f(x)=x3x1，則f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)1 ，f(1)1由零點定理知，至少存在一點(0,1)f(0，即方程在區(qū)間(0,1)至少有一個根，f(x)3x210f(x在(0,1)上單調(diào)增加，故方程x3x10在(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根4f(x在區(qū)間[abf(aaf(bb。證明:在(a,b內(nèi)至少有一點c，使f(c)c。證明設(shè)F(xf(xx，則F(x)在[ab]上連續(xù)，F(xiàn)(a)f(a)a0F(b)f(b)b0由零點定理知，至少存在一點c ，有F()0即在(a,b內(nèi)至少有一點c，使f(c)c。2、 定理證明方程有根f(x)例 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,a]上連續(xù)開區(qū)間(0,a)上可導(dǎo)且f(a)0證明在(0,中至少存在一點f(f(0證明：F(x)xfF(x在[0,a上連續(xù)，在(0,aF(0)F(a) 定理知，至少存在一點(0,a)，有F() f()f()例6 判定方程(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x1)0有幾個實根，各在什解：設(shè)f(x)(x1)(x2x2)(x3x3)(x1)0F(x)(x1)(x2)(x3)，則F(x)f(x)，且F(1)F(2)F(3)0F(x)在[1,2]上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，對F(x)在[1,2]上運用定理，可知至少存在一點1(1,2)F(1)f(1)0，即1為f(x)0的一個實根.同理存在2(2,3)F(2f(20，即2f(x0的實根.課堂練習：1、下列函數(shù)在[1,1]上滿足定理條件的是（）A、y B、yln C、y1 D、y 12、設(shè)a0，a1,,an為滿足式子aa1a2 0的實數(shù) n試證：方程aaxax2axn0在(0,1)內(nèi)至少有一實根 答案：證明：令f(x)ax1ax21ax3 axn1，由題意可知f(x)在 2 3 n1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)0，f(1)aa1a2 0， 至少存在一點(0,1)，使得f()0，f()aaa2an0，

n即方程aaxax2axn0在(0,1)內(nèi)至少有一實根 3、用日中值定理證明不等例 證明當x0時，1

ln(1x)x證明設(shè)f(x)ln(1x)，顯然f(x)在區(qū)間[0,x]上滿足 f(x)f(0)f()(x 0 f(0)0,f(x)

1xx又因為0x

ln(1x)

x1

1即x1

ln(1x)例 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)證明：在(a,b中至少存在一點bf(baf(a)f(f()b：把f(f()換成x，可知f(xxf(x)xf(x)]對函數(shù)F(x)xf(x)用日中值定理，因f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)中可導(dǎo)，故F(x)也在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)中可導(dǎo)，由日中值定理可知至少存在一點(a,b)，使F(b)F(a)F()babf(baf(a)f(f(b9證明sinx2sinx1x2x1證明：f(xsinx，當x1x2時不等式當然成立x1x2x1x2,f(xsinx在[x1x2上連續(xù)且可導(dǎo).f(xsinxf(x2)f(x1)f()(x2x1),(x1,x2)f(x)cosx,f()f(x2)f(x1)sinx2sinx1cosx2x1x2sinx2sinx1x2x1課堂練習：1、函數(shù)f(x)lnx在[1,e]上滿足日中值定理條件，則(1,e)內(nèi)存在一 （2）若0baablnaa 4、用單調(diào)性證明不等例10 證明：當x0時，ex1令f(x)ex1x，則f(x)ex10（x0）因此f(x)在區(qū)間(0,上單調(diào)增加，故f(x)f(0)0（x0）即ex1x0也即ex1x（x0）x0ex1x

sinx x例11 證明：

2x先證xsinx(xxf(xxsinx，則f(x)1cosx0(x2nn1,2除外f(xx0f(x)f(0)再證sinxxx2

（x0x令g(x)sinxxx2g(x)cosx1x，g(x)sinx1所以g(x)單調(diào)增加，又因g(0)0可知g(x)g(0)(x0，那么有g(shù)(00g(xg(00(x即sinxxx2也即sinxx

0x(x2

x

sinxxx2專題二：積分的計算1.原函數(shù)與不定積分的概念和性質(zhì)原函數(shù)F(xf(x，則F(xf(x的一個原函數(shù)不定積分f(x)dxF(x)性質(zhì)f(x)g(x)dxf(x)dxkf(x)dxkfddx[f(x)dxf(x)或d[f(x)dxfF(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)2、積分第一換元積分法（湊微分法思想方法g(x)dx拆f[(x)](x)dx湊f[(x)]d(x)(x)uf(不能用積分 （能用積分F(u)Cu(x)F[(x)]適用對象被積函數(shù)為兩個不同類型函數(shù)的乘積，且其中一個函數(shù)是另一個函數(shù)或其復(fù)合常見的湊微1f(axb)dxaf(axb)d(ax (3x2)100dx1(3x2)100d(3x2) 1(3x2)101 xn1f(xn)dx1f(xnn x21x3dx 1x3d(1x3) (1x2)2 f(ex)exdxf(ex dx d(1e)ln(1e)1 1f(x xdx2f(x 例 2 2arctan x(1x) 1(x)2 x2f(x)dxf(x)d(x 例x2sinxdxsind()cosx f(lnx)dxf(lnx)d(lnx) 例xln2dxln2d(lnx) lnxf(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinsinxcos3xdxcos3xd(cosx)1cos4x4f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanf(cotx)csc2xdxf(cotx)d(cot 例tanxsec2xdxtanxdtanx (tanx)239）f(arcsinx)dxf(arcsinx)d(arcsinx)1x2f(arctanx)dxf(arctanx)d(arctanx)1x2 例(1x2arctanxarctand(arctanx=lnarctanxx第二換元積分法思想方法f(x)dx令x f[(t)](t)dtF(t)Ct(t)（不能用湊微分法與積分 （能用積分或湊微分法求解1(x)]適用對象x2常用變量代（一）簡單的根式代換1、含naxb時，作簡單的根式代換naxbt；axb axb2、含ncxd時，作簡單的根式代換ncxd3naxbmaxbpaxbtpmn的最小公倍數(shù)（二）三角代換1、含a2x2時xasintt22、含a2x2時，作三角代xatantt23、含x2a2時，作三角代換xasectt02換分部積分思想方法udvuv 分部（不能用積分（能用積分或換元法求解）適用對象被積函數(shù)為兩個類型的函數(shù)乘積，且無“關(guān)系”（即沒有湊微分法中提及的被uv的選取原則把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積，按“冪指三”的順序，前者為u，后1、關(guān)于原函數(shù)與不定積分的基本概念性問題例1 設(shè)f(x)dxln(1x2)C，試求f解：f(x)[ln(1x2)] 1例2 設(shè)ex2為f(x)的一個原函數(shù)，試求ex2ff(x)ex2)ex2所以ex2f(x)dxex2ex22xdxx2例3 設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為sinx，求xf由題設(shè)f(x)dxsinxC，則f(x)(sinxC)cosxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxcosxsinx例4 已知f(x)的一個原函數(shù)為ex，試求xff(x)dxexf(x)exf(x)xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)f(x)dx=xf(x)f(x)C=ex(x1)例5.設(shè)f(x)dxe2xC，則f(x)的導(dǎo)函數(shù)是( )1A、 B、 C、 2

2、積分的計算題 33例 2(32x)3d(333

1.

2(32x)3c

23(32x)33

2 x 12x3 d12x3解：原式=612x32=133

61xe-x2解：原式=1e-x2dx221 e-x22 x 例4.（1） （2）x （3）eexex （4）

exx x(1ln2 xdx xd(x) 2exdx=exd()ex eexexdx=eexd(ex)eex

dxx(1ln2

d(lnx)arctan(lnx)1ln25.（1）sin3xcos(1tan

（2）sin2xcos33arctan（3）

cos2

（4） 1 4（1）sin3xcosxdx=sin3xdsinx1sin4x4sin2xcos3xdx=sin2xcos2xdsin=sin2x(1sin2x)dsin=1sin3x1sin5x (1tan

cos2 dx=(1tanx)d(1tan=1(1tanx)4423arctan

1(23arctanx)d(23arctandx=1 =1(23arctanx)26

sin例6

（2）2

cos02x1 81ln2 1arctan

（4）01

2解：（1） dx1 d(2x0(2x 20(2x=12x121 2esinxcosxdx2esinxdsin 00=esinx|2ee1ln2 （3） dx1(1lnx)d(ln=(lnx1ln3x)|e （4）1arctan dx 01 =1(arctanx)22(=1)(

2例7

（3） （1）原式

cos dtsin2t.cos11x

csc2tdtcottcxxtantdxsec2 sec2

t.sect=costdt

sin2= c= sin x2sectdx2sect x24dx=2tant.2secttan 2sec=2tan2tdt2(sec2t1)dt2tant2tx2 x221 t則xt21,dx1

c

x2x2

cx =2tdt=2t11 1 1t=2(tln|1t|)1= 1x)]16xt則xt6dx6t 6t t t24 =(4t2)t3dt64t2dt 4t =6t dt=6t6ln|t2|t2 t6x6x=6x6x8. 3301

（2）1x21x2 0

ln

ex解：（1）令3xt則xt3dx3t當x0時,t0當x8時,t 23tt =01t2t21 = 1 dt=30(t11t t 3[2tln(1t)]|03ln（2）xsintdxcos當x0時t0,當x1時t211

dx

2

2tcos

tdt

12sin1

41cos 4 1= 42

1sin4t2

23x t,則xt1,3x 當x0時t1當x1時，tt2 dx=

.03x

2

2t

ln3

ex

=9

(t21)dt= t)|19 t,則xln(t21)，dx t2 4t21 t 原式=t. dt=2 t t=2(t1ln|t1|) t )=2(21ln31ln) =42ln3ln例9.（1）1xe-x （2）xsin2 （3）x3sin解：（1）(1x)exdx(1x)exd(x)(1=(1x)exex=(1x)exex=(2x)exxsin2xdxx1cos2=1xdx1xcos =1x21xdsin2x1x21xsin2x1sin =1x21xsin2x1cos2x x2sinxdxx2dcosxx2cosx2xcos=x2cosx2xdsin=x2cosx2xsinx=x2cosx2xsinx2cosx例10.（1）ln （2）x2ln （3）arctan解：（1）lnxdxxlnx

xlnxx（2）x2lnxdx

3133ln

13

lnx

x3x=1x3lnx1x3

arctanxdx=xarctanx

1x=xarctanx1ln(1x2)211.求不定式excos解：原式=cosxdexcosxexsinxe=cosxexsin=cosxexsinxexcosxex即excosxdxcosxexsinxexcosxex excosxdx=1ex(cosxsinx)2注：該類型積分是構(gòu)造循環(huán)再積出來。12.

ln222xcos （2）arctan （3）

xe 解

2xcosxdx=2xdsinxxsinx|2 sin2=2cosx|=2 arctanxdx=xarctanx- 01=1ln(1x2) -1ln=

ln2x2exdx=ln2x2dex=x2ex|ln22ln2xe =x2exln2-2ln2xdexx2exln2-2xexln22exln =2(ln2)24ln4例13. （1）ex1dx （2）c

（3）0

（4）

x解：（1） t則xt21，dxxex1dx2ettdt2tdet2tet2etdt2et(t1)x2ex1 1)xx t則xt2,dxx原式 2costtdt2tdsin2tsint2sin2tsint2costx2(x x0 0 t，則xt2,dxx0時t0x1,t xdx=20tarctan 1arctantdt2t2arctant1-1t2 01t 1t21-tarctant0-0t21-t1arctant1- 例15

f(x)dxf(x)

x （2）4x3sin x011f(x)dxsinxdxxdxcosx01

1x21cos1解：（1） （2）1x3dx1[(x3)]dx3(x

(3x1x2)3123x)4 3、廣義積分（定積分+極限、無限區(qū)間的反常積分定義f(x)在無限區(qū)間[a,)上連續(xù)bb如果極限

f(x)dx(ba存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在無限區(qū)間上的廣義積分.記作 f(x)dx， ba f(x)dxba

f(x)

f(x)dx收斂.

f(x)dx不存在，則稱廣義積分 f(x)dx類似的定義bf(x)dxb

bc

ff(x)dxf(x)dx f 廣義積分f(x)dx收斂的含義是f(x)dx與c f(x)dx同時收斂.若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)limF(x)

bb

f(x)dxF(x)

F(b)limFf(x)dxF(x)limF(x)lim(3) 、函數(shù)的廣義積定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù).而

f(x)，稱a為f(x)的瑕點如果極限

f(x)dxf(x)在區(qū)間[a,b)b記作af(x)dx，即bb

af

bta

fbb此時稱廣義積分af(x)dx收斂。如果上述極限不存在，則稱廣義積分af(x)dx發(fā)散bb類似的，若b為瑕點，則bb

tbf(x)dx ftba f(x)在[a,b]內(nèi)c為瑕點，af(x)dxaf(x)dxcf(x)dx 廣義積分af(x)dx收斂的含義是af(x)dx與cf(x) F(x)f(x)ba為瑕點f(x)dxF(x)

F(b)lim b為瑕點

f(x)dxF(x)

limF(x)F(a)18下列積分（）收斂.A、1dx

B

C、

D 1 1解：1dxp1B，p21x

dx為（ (x1A、發(fā) B、 C、 D2解

dxdx (x

(x (x x 2(x則

dxlim

0(x b0(xlim(1

)2

x

2(x1)220下列結(jié)論中，錯誤的是（A、 x2dx發(fā) B、 dx收01C、 1

0收 D

01 1

dx 1 2解：A

1x2dx2

1

ln(1x B

dxarctan 1 dx dx dx，由A知 dx發(fā)散0C、 01

1

01

01例 xln解：

limb

lim(lnlnx)

limlnlnb xln bexln

x3dx1

1 3解： x3dxlimx3dxlim(3x3 lim(3 )3 b

例23若廣義積分 dx1，其中k為常數(shù)，則k .11bbk dx dxlimkarctankb11 b11 klimarctanbk 故k224計算xex0解

dx

)

xex]

1lim[

0epxdx(p 2x1、

2

3、 xx x4、xex2

arctan5 yyyy2DyOabx基本型A 1ba2(x)1ydc2xA 2dc2(y)(1yabxVbf2xa2、旋轉(zhuǎn)體體積1、平面圖形面積yyd0cxVd2(yc1、求平面圖形的面積基本步驟：根據(jù)已知條件畫出草圖根據(jù)圖形特點確定積分變量，使積分簡便。確定被積函數(shù)式及積分上下限。例 求曲線yx2x1與直線x1,x2及y0所圍成的平面圖形的面積

x1)dx( 2.求由曲線ylnxx0,ylna,ylnb(ba0所圍成的圖形面Alnbeydyeln

lnbln3.yx2y2x2 yx由y2x2得交點(1,1 A1[(2x)x]dx40(1x)dx4(x3)04.y1x2及其在點(1,0)y軸所圍成的封閉圖形的面積。因為y2x，故斜率kyx12，過點(1,0)處的切線方程為y2(x1)2x

3S0[2x2(1x)]dx0 2x1)dx( 3

5.求曲線yln(1x及通過點(1,0)處切線與x設(shè)切點為x,ln1x fx 1

0x-x010帶入-1,0ln1x0解得:x0e-則其切線方程為y1xe解法一A01(x1)dxe11(x1)ln(11 0 1x 1x

1

xln(10

0+01xee1(xln(1x))e1

解法二Ae11(x1)dxe1ln(1x)dxe1 解法三A1[(ey1)(ey1)]dye 1例6 求由y22x與該曲線在點12解:fxFx

)法線方程為y-y3x2

f

x-x0 由 解得交點2,12 1 y2 S y- dy y1 33 2 3

- -例7 對曲線ysinx(0x)，問t取何值時，圖中陰影部分面積 1

S2解：S1tsinttsinxdx；S22sinxdxtsint S(t)S1S22tsintsintsinxdx2sin (0t2 S(t)2sint2tcostcostsintsint(2t)cos S(t)0得駐點t4當tS(t)0；當t

S(t04所以t4

2

t (2、求旋轉(zhuǎn)體體積基本步驟：畫草圖確定積分變量確定積分限

4例8 求拋物線yx2與直線y2x所圍圖形分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所形成的體積0繞x0xV22x2dx-x0 x 4 x

2x22dx0264

24x2-x4Vy4(y)2dy4(y)2 04(yy20(y2

y3)

48 例9. 試求拋物線yx2在點(1,1)處的切線與拋物線及x軸所圍成的圖形繞x軸旋曲線yx2過(1,1)y12(x1，y2x1xx2 Vx(x2)dx1(2x1)dx 3、綜合題例10 設(shè)曲線yx2(x0)在某點A處作一切線，使之與曲線以及x軸圍成的面30解：（1）設(shè)切點A的坐標為(x0x2)，0yx22x(xx0，即y2x0xx2 x2y

1 故面積S

0

dy

3所以x02，即切點為切線方程為y4x2

200

216Vx0xdx1(4x4)

(x(x3例11 在曲線yx2(0x1)上求一點(a,a2)，過此點分別作平行于y軸和xyx2xax軸圍成的平面圖形的面積為S1yx2與直ya2x1所圍成的平面圖形為S2，試求aS1S2最小。S

ax2dx0

1x2-a2a11 3 11 3x3-a2x

a-a3 S3a22a,令S0得a0或a(a0舍去3S6a2，220，所以當a2SSSS()

也就是最小值，即a2SS 專題四：二重積分1、直角坐標系下的二重積分D累次積分結(jié)果X(x)yD: axyOy2Dybxf(x,f(x,1(c(2df(x,y)dxdy DcyxcOD:dyYf(x,(21(baf(x,y)dxdy DD1(r2(，

f(x,y)d 、交換積分次序

f(rcos,rsin)rdrd

1(

解題提示：交換積分次序的步驟、由所給的二次積分限，寫出積分域D的表達、畫出積分區(qū)域D的圖、按新的二次積分次序，寫出積分域D的表達式，并把原積分化為新的二次積分次序。例1.交換下列積分次序 2（1）0dx0f(x, （2）0 2 3

f(x,（3）

f(x,y)dx1 f(x,解：（1）D(xy|0x20yx交換積分次序D{(x,y|0y2,yx 0dx0f(x,y)dy0dyyf(x,（2）D{(x,y)|0y2,y2xD{(x,y)|0x4,xy 2 2 0dyy2f(x,y)dx

dx2

f(x,D1{(x,y)|0y1,0x2y}D2{(x,y)|1y3,0x3y}D{(x,y)|0x2,xy32 20 2 3 0dx2

3f(x,y)dx1dyf(x,

f(x,例2 二重積分If(x,y)d為二次積分，其中積分區(qū)域D：直線yx,x2Dy1(x0)x若將D看成x—型區(qū)域D若將D看成x—型區(qū)域DDD11xD1: yD:yx21y I

dxx

f(xy)dy I1dy1f(x,y)dx1dyyf(x, 2、直角坐標系下計算二重積分解題提示，計算步驟：、畫出D的草圖、選擇積分次序，確定相應(yīng)的積分上下限選擇積分次序的原則：（1）D不分塊，若必須分塊，則劃分的小塊越少越好(2）積分易于計算（經(jīng)驗：哪個變量函數(shù)關(guān)系復(fù)雜（特別只會某一個變量）就后積分 計算(xD

D:yx2,yx2yDX-型區(qū)域D：1xx(xy)dxdy= (xy)dy=1(xy1y2)|1x11 11D

=1(x1x31x4)dx=1(11x4 1 4=54.ID

D:yx,yx1,y0,y解法一0yDD0y

D:x1yD1:0x

21x 1 2 2 =02y|0dx12|x1=11x2dx12[1(x1)22 2=1.1

|1

1[x

1(x

]2 1=2解法二:yxy0y DIydxdy=0 D1=0y(y11=1y2 1=2注：此題將其看成Y-型區(qū)域簡單。例5 ey2 D:yx,y1及y軸所圍成的封閉區(qū) y 1D

dxdy=

dx=

6

1

sin

=1ey2|1=1(1e1 0y y 解：由 xx2yxD:0x1sin1dx

xsinx 1sin = .y|2 1=0(sinxxsin1 =0sinxdx0xdcos=cosx|1xcosx|1

cos3、極坐標下計算二重積分解題提示，基本步驟：

=1 被積函數(shù)為f y2),f

f() xr作變量代換yrsin化二重積分為二次積分例7 D

x2y2 D:x2y20rD0D

x2y2dxdy=rD D

r2dr=213

r|038

(1x2y2D0rD

=1R32d Dyxy0x2y21解：D: 0 (1xy)dxdy=4d(1r2 D r r4 3)dr=4 0=0d0(r011 4

4例9 arctan(y D:(x,y)|1x2y24,x0,y0 1r解：D: 0 arctan()dxdy=rarctan(tan 22=2

2.r|221 213 3 2d r2|2=3

2 D例10 D0r0

D:x2y22 =d r2cosdr=cos.r2

0|2sin0 =8cossin33=8.1sin4|3 專題五：微分方程通解求法微分方程類型及標準形式1、一階通解求法微分方程類型及標準形式1dyf(x)g(y) f(x)dxg(y)兩邊積分得gy)f2dyy 令u，代入原方程得ux (u) 分離變量： (u) 兩邊(uuy積分后再 代替u，便得原方程的通x1、一階線性微分方程dyp(x)yQ(x)通解yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx 2、二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyqy二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解步驟：1、寫出對應(yīng)的特征方程r2prq 3、根據(jù)特征方程的兩個根的不同情形，按下列表格寫出微分方特征方程r2prq0r1ypyqy0yCer1xCer2 y(CC yex(CcosxCsin 1、求解一階微分方程問題yf(x,y)dy

f(x)gy)否dy

否dyp(xyQ(x) 例1 解方程yyey22xdy1ey2 ydye2xdxey2-1e-y2d-y2-1e2xd ey2e2xx例2 若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)x方程兩端對xf(x)f

f(t)dt2f

dff

兩邊積分

dff

即ln|f(x|xln|cf(x)ce 由f(0)2將其帶入（1）f(x)4.y2x2yxyy

y y

x解：將原方程變形為

xyx

x該方程 方程，令uy，則yxu，dyxdu xduu

2u，uu

x(u分離變量得(11)du1

uln

lnxln即ulnC 即ylnC 所以，原方程的通解為yCex（C 5、y2xy解：所給方程為一階線性非方程，其中P(x)由公式得 ye-PxdxQxePxdxdx =e2xdx[2xex2e2xdxdx=ex2[2xex2.ex2dx=ex2(x2 (c

Q(x)例6 解方程(x1)y2y(x1)4并滿足y(0)1的特2解：所給方程為一階線性非方y(tǒng) x

y(x其中P(x) x

,Q(x)(x ye-PxdxQxePxdxdx 2dx

2-21dx=ex1x1e =(x1)2[(x1)3 dxc](x=(x1)2[(x1)dx=(x

2[12

(x

2y1(x2例7 已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)xtf(t)dt1x2，試求f 方程兩端同時對xf(x)xf(x)fxxfx ye-PxdxQxePxdxdx =exdxxe-xdxdx x2 e1x2[1x22d(x)e e= 2 21 2=e2(e21ce2 f(0)0代入得c11f(x)e 例8 設(shè)曲線yf(x)在任意一點(x,y)處的切線的斜率為yx2，且該曲線經(jīng)過x2yf1yf(xy0,x1x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積V。解：（1）由題意知1yyx2，x

x1該方程可化為yyx2，這是一階線性 x11

1 y

x(

xdxC)=x(xdxC)2

x2C)由 1，代入通解得C0，故f(x)1 1（2）V(1x3)2dxx6dx110 4 2、求解二階常系數(shù)線性微分方程問題例9.y4y3y的通解特征方程r24r3特征根r13r2故