PAGEPAGE4圓內(nèi)極點(diǎn)與極線性質(zhì)簡證原題如圖，過定點(diǎn)P作定⊙O兩條動(dòng)割線PAB與PCD，連結(jié)AD與BC，交于點(diǎn)Q．求證：動(dòng)點(diǎn)Q在一條定直線上．問題1如圖，過點(diǎn)P作⊙O兩條割線PAB與PCD，連結(jié)AD與BC，交于點(diǎn)Q，直線PQ交⊙O于點(diǎn)E、F，點(diǎn)M為弦EF的中點(diǎn)．求證：．注：要證明的結(jié)論等價(jià)于，即“內(nèi)分比＝外分比”，也即點(diǎn)P，E，Q，F(xiàn)構(gòu)成調(diào)和分割。證法一：在射線PF上取點(diǎn)M，使PQ·PM＝PA·PB＝PC·PD＝PE·PF，則A，Q，M，B四點(diǎn)共圓，Q，C，D，M四點(diǎn)共圓．因此∠BMF＝∠BAD，∠DMF＝∠DCB，因此∠BMF＝∠FMD，從而∠BOD＝∠BMD，因此O，M，B，D四點(diǎn)共圓．因此∠OMD＝∠OBD，又，OB＝OD，因此∠FMD＋∠OMD＝90°即OM⊥MF（另法：將∠OMF視為圓周角，則其所對的弧由兩部分組成一個(gè)半圓）因此點(diǎn)M為弦EF的中點(diǎn)．證法二：在射線PF上取點(diǎn)M，使PQ·PM＝PA·PB＝PC·PD，延長DM交⊙O于點(diǎn)N．連結(jié)OM，BM，BN，EN．由于C，Q，M，D四點(diǎn)共圓，Q，A，B，M四點(diǎn)共圓．因此∠BQF＝∠NDC＝∠NBC因此NB∥EF因此NE＝BF，∠NEF＝∠BFE又∠NME＝∠BCD＝∠BAD＝∠BMF因此△NME≌△BMF（AAS）因此EM＝FM，下略．證法三：這題可以用“面積正弦法”解決，你可以隨便找三角形來構(gòu)成正弦比．因此只要證明，這可以由下面的推導(dǎo)得到：（由∠BAD＝∠BCD得∠PAQ＝∠PCQ）從而得證．證法四：設(shè)直線PQ為x軸，直線AB，CD，AD，BC方程為，，，；P(p，0)，Q(q，0)，E(e，0)，F(xiàn)(f，0).即，由此得，整理得.問題2如圖，過定點(diǎn)P的動(dòng)直線交定⊙O于點(diǎn)E、F，點(diǎn)M為弦EF的中點(diǎn)，求證：滿足PE·PF＝PQ·PM的動(dòng)點(diǎn)Q在一條定直線上．證明：如圖，作直線OP，交⊙O于點(diǎn)、，取點(diǎn)H使．連結(jié)OM．因?yàn)?，所以．因此Q，H，O，M四點(diǎn)共圓，從而QH⊥OP．下面證明點(diǎn)H為定點(diǎn)．設(shè)⊙O的半徑為R，由得，，整理得，因此點(diǎn)P為定點(diǎn)．故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為過定點(diǎn)H且與OP垂直的直線．當(dāng)直線PEF成為⊙O的切線時(shí)，點(diǎn)E與F重合為切點(diǎn)，因此定直線QH為切點(diǎn)弦所在的直線．HYPE