2023屆陜西省西安市西北工業(yè)大學(xué)附中高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡后，由公式直接求模即可.【詳解】,.故選：B2．設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目．，則10人一組的混合核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若10人一組的混合核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性，則這10人中至少有1人核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性，其對(duì)立事件為這十人核酸結(jié)果都不是陽性，根據(jù)對(duì)立事件的概率求法求得答案.【詳解】因?yàn)槊咳说暮怂釞z測(cè)結(jié)果呈陽性的概率為p，則每人的核酸檢測(cè)結(jié)果不是陽性的概率為，所以這10人核酸檢測(cè)結(jié)果都不是陽性的概率為，于是至少有1人核酸檢測(cè)結(jié)果呈陽性的概率為，故選:C.4．已知向量在向量方向上的投影為，向量在向量方向上的投影為，且，則A． B．4 C．2 D．12【答案】C【詳解】分析：向量在向量方向上的投影為，求出向量夾角，由向量在向量方向上的投影為，求出向量的模，將平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)的夾角為，向量在向量方向上的投影為，且，所以得，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀?，所以，，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角，（此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.5．設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，利用拋物線焦點(diǎn)弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，解得：；.故選：C.6．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用．若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤，則下列結(jié)論正確的是（

）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了【答案】C【分析】利用反證法,即可得出結(jié)論【詳解】假設(shè)甲說的是真話，即丙被錄用，則乙說的是假話，丙說的是假話，不成立；假設(shè)甲說的是假話，即丙沒有被錄用，則丙說的是真話，若乙說的是真話，即甲被錄用，成立.故甲被錄用.若乙被錄用，則甲和乙的說法都錯(cuò)誤，不成立.故選:C.7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】將題設(shè)中的兩個(gè)條件作比值，可得，再由即得解【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，，故選：B8．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出平移后的解析式，根據(jù)對(duì)稱性得到，，再結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到，求出，列出不等式，求出，得到最小正周期.【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長度后，得到，則關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，解得：，，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：，故，解得：，因?yàn)?，所以，故，則函數(shù)的最小正周期為.故選：B9．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫法∶先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，法1：求三個(gè)弓形的面積，再加上三角形的面積即可；法2：求出一個(gè)扇形的面積并乘以3，減去三角形面積的2倍即可.【詳解】由已知得：，則，故扇形的面積為，法1：弓形的面積為，∴所求面積為．法2：扇形面積的3倍減去三角形面積的2倍，∴所求面積為．故選：D10．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．【答案】A【分析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半功倍，信手拈來．11．如圖，在三棱錐中，平面，，，側(cè)棱與平面所成的角為，為的中點(diǎn)，是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過線面位置關(guān)系的證明得到的面積為，當(dāng)?shù)拿娣e最小，此時(shí)，據(jù)此即可利用解三角形的方法進(jìn)行求解即可【詳解】由題意知為等腰直角三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又平面，所以，所以平面，所以，故的面積．易知，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，過作，交的延長線于點(diǎn)，則，連接，如圖，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，所以，所以，所以，．又，所以，所以，，在中，易知，所以，故當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為故選：D【點(diǎn)睛】本題以三棱錐為載體考查空間線面關(guān)系的判定、線面角、異面直線所成的角，考查考生的空間想象能力、邏輯思維能力，屬于中檔題12．已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，∴當(dāng)?shù)那芯€斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以即兩邊同除以，，令求導(dǎo)令，得，即當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且故的最大值為故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，需要結(jié)合圖象分類討論，構(gòu)造函數(shù)將問題轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力，是難題.二、填空題13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是：__________．(請(qǐng)用數(shù)字作答)【答案】-20【詳解】，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為．14．設(shè)，若，則______.【答案】##【分析】根據(jù)題意，有函數(shù)的解析式分析函數(shù)在區(qū)間和，上的單調(diào)性，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，變形可得的值，將的值代入，由解析式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，則區(qū)間上，，是增函數(shù)，在區(qū)間，上，，也是增函數(shù)，若，必有或，當(dāng)時(shí)，，不能成立，則必有，則有，變形可得：，解可得，則（e），故答案為：．15．若表示整數(shù)的個(gè)位數(shù)字，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.【答案】1012【分析】根據(jù)題意可推得為周期數(shù)列，求得其周期為10，計(jì)算出，求得，即可求得的值.【詳解】由題意知表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)字,因?yàn)?，與的個(gè)位數(shù)字均為0，所以，因?yàn)椋?0的個(gè)位數(shù)字為0，所以，，即數(shù)列為周期性數(shù)列，且周期為10，所以，因?yàn)?，，，，，，，，，，則，故，故答案為：1012.16．已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，且該三棱錐的體積為，平面，，，則球的體積的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)體積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)正弦定理得到，根據(jù)得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，故.根據(jù)余弦定理：，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)外接圓半徑為，故，即.設(shè)球的半徑為，球心在平面的投影為外心，則，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.三、解答題17．在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知的面積為，求邊b．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，逆用兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果；（Ⅱ）利用同角的平方關(guān)系即可求出，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式即可求出邊長，再結(jié)合余弦定理即可求出邊b.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理，（其中R為外接圓的半徑），所以，，，代入已知條件可得：，所以，即，，故．（Ⅱ）因?yàn)?，且，所以，故，所以的面積為，故，解得，所以，即．18．如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的中點(diǎn)（圖2）．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，由于點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是中點(diǎn)，可得平面，進(jìn)一步得到，又因?yàn)?，，則平面；（2）取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，代入夾角公式可求出結(jié)果．【詳解】（1）作的中點(diǎn)，連接，由題知平面．因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，則，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則，，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則有，令，所以易知平面的一個(gè)法向量為所以，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定，二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角是常用方法，本題屬于中檔題.19．2021年，為降低疫情傳播風(fēng)險(xiǎn)，保障經(jīng)濟(jì)社會(huì)良好運(yùn)行，各地區(qū)鼓勵(lì)外來務(wù)工人員就地過節(jié)、過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人員數(shù)與就地過年的人員數(shù)，得到如下的表格：區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)外來務(wù)工人員數(shù)/萬人3456就地過年的人員數(shù)/萬人34(1)已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的人每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.（?。┤粼撌袇^(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給區(qū)選擇就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；（ⅱ）若區(qū)的外來務(wù)工人員中甲、乙兩人選擇就地過年的概率分別為，，該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1500元，求的取值范圍.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)(2)（?。?750萬元；（ⅱ）【分析】（1）線性回歸方程直接用參考公式求解．（2）（i）將x=2代入（1）中的線性回歸方程，即可求出E區(qū)就地過年的人數(shù)；（ii）由X的所有可能取值為0，1，2，并分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出p的取值范圍．【詳解】（1）

所以，，則故關(guān)于的線性回歸方程為（2）（ⅰ）將代入得故，估計(jì)該市政府需要給區(qū)選擇就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）（ⅱ）設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2所以的分布列為012所以，所以，由，得，又所以.所以的取值范圍為20．已知橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l和橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意，得到，求得且，即可得到橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為，進(jìn)而得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得出,進(jìn)而得到的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為，可得，解得，又由，故橢圓C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，不妨設(shè).因?yàn)?，則直線的方程為.由可得.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以，即，所以，同理可得，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等．21．已知是函數(shù)(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解的單調(diào)性.（2）由已知可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，探求的范圍，借助零點(diǎn)用表示a，再利用導(dǎo)數(shù)求解作答.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，由得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）可知時(shí)不滿足條件，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，，即使得，令，則，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因此，，則使得，從而有，又，即，則有，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，又，則，令，則，即在上單調(diào)遞減，，因此，，所以a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.22．在極坐標(biāo)系中，圓．以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角