2022屆上海市楊浦區(qū)高三二模數(shù)學試題一、單選題1．設，則“且”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取特殊值推導充分性，利用不等式性質(zhì)推導必要性即可.【詳解】充分性：當，，滿足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：當且時，根據(jù)不等式性質(zhì)得，且成立，故必要性成立.綜上所述：“且”是“且”的必要不充分條件.故選：B.2．數(shù)列{}為等差數(shù)列，且公差，若，，也是等差數(shù)列，則其公差為（

）A．1gd B．1g2d C．lg D．1g【答案】D【分析】利用，，是等差數(shù)列，結(jié)合對數(shù)的運算，求出，進而可得答案.【詳解】因為，，是等差數(shù)列，所以，所以，又因為且公差，所以，可得，所以公差，故選：D.3．橢圓C：的左、右頂點分別為，，點P在C上（P不與，重合）且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A．[，] B．[，]C．[，1] D．[，1]【答案】B【分析】設P點坐標為，列出，，進而，最后得到直線斜率的取值范圍【詳解】設P點坐標為，則，，，，于是，故.∵∴.故選:B.4．定義域是上的連續(xù)函數(shù)圖像的兩個端點為、，是圖像上任意一點，過點作垂直于軸的直線交線段于點（點與點可以重合），我們稱的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域是上的函數(shù)中，曲徑最小的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的“曲徑”的定義，逐一求出給定四個函數(shù)的曲徑，比較后，可得答案．【詳解】當y＝f（x）＝sinx時，端點A（1，），B（2，），直線AB的方程為y，故||＝sinx，當x時，||的最大值為1，即該函數(shù)的“曲徑”為1，當y＝f（x）＝x2時，端點A（1，1），B（2，4），直線AB的方程為y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，當x時，||的最大值為，即該函數(shù)的“曲徑”為，當y＝f（x）時，端點A（1，2），B（2，1），直線AB的方程為y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，當x時，||的最大值為3﹣2，即該函數(shù)的“曲徑”為3﹣2，當y＝f（x）＝x時，端點A（1，0），B（2，），直線AB的方程為yx，故||＝xxx，當x時，||的最大值為，即該函數(shù)的“曲徑”為，故函數(shù)y＝x的曲徑最小，故選：D．【點睛】本題以新定義﹣﹣函數(shù)的曲徑為載體，考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)的最值，難度中檔．二、填空題5．已知，則=_________.【答案】【分析】根據(jù)向量的模的坐標表示，求得答案.【詳解】由，則，故答案為：6．函數(shù)的反函數(shù)為________.【答案】【分析】由解得，把與互換即可得出．【詳解】由解得，即，把與互換可得：．的反函數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題考查反函數(shù)的求法，考查方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題．7．若直線和互相垂直，則實數(shù)_____________.【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件求解．【詳解】因為直線和互相垂直，所以，所以．故答案為：6．8．若（虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程的根，則________.【答案】1【分析】可知也是實系數(shù)一元二次方程的根，從而利用韋達定理求得．【詳解】是實系數(shù)一元二次方程的根，是實系數(shù)一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案為：1．【點睛】本題考查復數(shù)的運算及實系數(shù)方程的性質(zhì)應用，考查方程思想和運算求解能力．9．已知，，則行列式的值等于________.【答案】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosx，進而可求secx的值，再計算行列式的值即可得解．【詳解】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查了行列式的計算，屬于基礎題．10．已知，，則________.【答案】【分析】求出與中不等式的解集分別確定出與，找出兩集合的交集即可．【詳解】集合中不等式，當時，解得：，此時，當時，解得：，無解，，集合中不等式變形得：，即，解得：，即，則.故答案為：．【點睛】本題考查不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題．11．在某次數(shù)學測驗中，5位學生的成績?nèi)缦拢?8、85、、82、69，他們的平均成績?yōu)?0，則他們成績的方差等于________.【答案】38【分析】由平均值求出，再根據(jù)方差公式計算方差．【詳解】∵5位學生的成績?nèi)缦拢?8、85、、82、69，他們的平均成績?yōu)?0，，解得：，，則他們成績的方差等于38.故答案為：38．【點睛】本題考查平均數(shù)和方差的定義，考查數(shù)據(jù)處理能力，求解時注意方差與標準差的區(qū)別.12．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為_________.【答案】7【分析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界位置，由此來求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，，即，由圖可知，當時，取得最大值為.故答案為：13．若展開式中各項系數(shù)的和等于，則展開式中的系數(shù)是________.【答案】15【分析】令，則展開式中各項系數(shù)的和，解得．再利用二項式定理的通項公式即可得出．【詳解】令，則展開式中各項系數(shù)的和為：，解得．的展開式的通項公式，令，解得．展開式中的系數(shù)為：．故答案為：15．【點睛】本題考查二項式定理的應用，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別.14．三行三列的方陣中有9個數(shù)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是_______．(結(jié)果用分數(shù)表示)【答案】【分析】先計算從9個數(shù)中任取3個數(shù)共有種不同的取法，再求三個數(shù)任意兩個數(shù)不在同一行或者同一列的事件數(shù)，利用對立事件及古典概型計算公式求解即可.【詳解】從9個數(shù)中任取3個數(shù)共有種不同的取法，若三個數(shù)任意兩個數(shù)不在同一行或者同一列，共有種不同的取法，設事件M為“這3個數(shù)中至少有2個數(shù)位于同行或同列”，則事件M包含的取法共有種，根據(jù)古典概型的概率計算公式得．故答案為：15．已知拋物線，斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，與拋物線交于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為，點P關于直線的對稱點為，且滿足，則直線l的方程為______.【答案】【分析】設直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關系式，利用得到相應等式，結(jié)合根與系數(shù)的關系式化簡，即可求得答案.【詳解】由題意可知,且，故設直線l的方程為，聯(lián)立拋物線可得：，，設，則，且，由于，故，就，解得，故直線l的方程為，故答案為：16．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當且時，，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒有最大值，也沒有最小值，則，其中，所以，，解得，由，可得，因為且，當時，；當時，；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．如圖，圓錐的頂點為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，取劣弧BC上一點E，使，連結(jié)PE.已知，.(1)求該圓錐的體積；(2)求異面直線PE、BD所成角的大小.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用勾股定理和圓錐體積公式進行求解即可；（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合正弦定理和余弦定理進行求解即可.【詳解】(1)由勾股定理可知：，所以圓錐的體積為：；(2)過做，所以是異面直線PE、BD所成的角（或其補角），因為線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即異面直線PE、BD所成角的大小為.18．已知函數(shù)，其中.(1)若不等式的解集是，求m的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，求m的取值范圍.【答案】(1)－1；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)韋達定理，直接求解即可（2），，可得，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得到的取值范圍【詳解】(1)的解集是，得到的解集是，所以，，所以，(2)令，因為，所以，當時，，即有，因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點，令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得，因為與有且僅有一個交點，根據(jù)對勾函數(shù)的圖像性質(zhì)，得或，進而可得答案為：19．如圖，有一塊扇形草地OMN，已知半徑為R，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN（1）若點A為弧MN的一個三等分點，求矩形ABCD的面積S；（2）當A在何處時，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？【答案】（1）;（2）當A在弧MN的四等分點處時，．【詳解】（1）如圖，作于點H，交線段CD于點E，連接OA、OB，，，（2）設則，，即時，，此時A在弧MN的四等分點處答：當A在弧MN的四等分點處時，20．已知橢圓C：，過定點T（t，0）的直線交橢圓于P，Q兩點，其中.(1)若橢圓短軸長為2且經(jīng)過點（－1，），求橢圓方程；(2)對（1）中的橢圓，若，求△OPQ面積的最大值；(3)在x軸上是否存在點S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的關系；如果不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）由題意可得，求出，再將點（－1，）的坐標代入橢圓方程中可求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設直線為，設，將代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關系，從而可表示出，再把前面的式子代入化簡可求得其最大值，（3）由題意設直線為，設，將直線方程代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關系，由∠PST=∠QST，得，，結(jié)合前面的式子化簡即可得結(jié)果【詳解】(1)由題意得，得，所以橢圓方程為，因為點（－1，）在橢圓上，所以，得，所以橢圓方程為(2)由題意設直線為，設，由，得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以△OPQ面積的最大值為(3)由題意設直線為，設，由，得，所以，因為∠PST=∠QST，所以，所以，所以，，所以，所以，所以，所以，得，所以x軸上是存在點S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此時21．已知a為實數(shù)，數(shù)列{}滿足：①；②.若存在一個非零常數(shù)，對任意，都成立，則稱數(shù)列{}為周期數(shù)列.(1)當時，求的值；(2)求證：存在正整數(shù)n，使得；(3)設是數(shù)列{}的前n項和，是否存在實數(shù)a滿足：①數(shù)列{}為周期數(shù)列；②存在正奇數(shù)k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說明理由.【答案】(1)8(2)證明見解析(3)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意分別求出，即可得解；（2）當時，．可知在數(shù)列中直到第一個小于等于3的項出現(xiàn)之前，數(shù)列是以為首項，為公差的遞減的等差數(shù)列．寫出通項公式，可得當足夠大時，總可以找到，使，當，易證得；（3）分和兩種情況討論，結(jié)合（2）可得當時，不合題意，再根據(jù)當時，數(shù)列的周期性，即可得出結(jié)