2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市高二下學期第一次驗收考試數(shù)學試題一、單選題1．已知是等差數(shù)列，且，，則（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【分析】設數(shù)列的首項為，公差為，根據題意建立方程組，求解即可得到數(shù)列的通項，進而即可求得．【詳解】設數(shù)列的首項為，公差為，則有，解得，所以數(shù)列的通項為，所以．故選：C．2．下列函數(shù)求導運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及乘法、除法運算的求導法則，計算函數(shù)的導數(shù)，即可得出答案.【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，故B項正確；對于C項，因為，故C項錯誤；對于D項，因為，故D項錯誤.故選：B.3．已知正項等比數(shù)列中，，其前n項和為，且，則（

）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】根據等比數(shù)列基本量的運算可得，然后利用求和公式即得.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比，由題意可知：，即，解得：，或(舍去)則.故選：C.4．已知為的導數(shù)，圖象如圖所示，且，則的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系由導函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調性，由此可得結論.【詳解】設的零點為，，由圖象可得，當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，符合以上信息的選項只有A，故選：A.5．設表示落在區(qū)間內的偶數(shù)個數(shù)，已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用累加法可求得的值，可得出區(qū)間，進而可求得的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，，則，所以，，則在區(qū)間上的偶數(shù)有：、、、，因此，，故選：B.6．已知函數(shù)，其導函數(shù)記為，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】函數(shù)，分析其性質可求的值，再求并討論其性質即可作答.【詳解】由已知得，則，顯然為偶函數(shù).令，顯然為奇函數(shù).又為偶函數(shù)，所以，，所以.故選：A.7．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．144 B．89 C．55 D．34【答案】A【分析】已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設表示第行中的白圈個數(shù)，則有，利用遞推關系求解.【詳解】已知表示第行中的黑圈個數(shù)，設表示第行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產生下一行的一個白圈和兩個黑圈，所以，又因為所以，所以，，，，故選:A.8．已知為定義在上的偶函數(shù)，已知，當時，有，則使成立的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，其中，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調性，由可得出，可得出，可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】令，其中，因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，則，所以，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，由可得，則，所以，，解得或，因此，使成立的的取值范圍為.故選：D.二、多選題9．已知等差數(shù)列的公差d和首項都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質求出首項和公差d的關系式，進而即可判斷各選項．【詳解】由，，成等比數(shù)列，則，即，即，又公差d和首項都不等于0，則，故C正確；D錯誤；所以，故A錯誤；B正確．故選：BC．10．函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在上單調遞增B．在定義域內無最小值C．存在，使得函數(shù)有兩個零點D．存在，使得函數(shù)在處取極小值【答案】ACD【分析】利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系可判斷A選項；利用導數(shù)與函數(shù)最值的關系可判斷B選項；令，可得出，作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結合可判斷C選項；利用函數(shù)極值點與導數(shù)的關系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，當時，，所以，函數(shù)在上單調遞增，A對；對于B選項，函數(shù)的定義域為，且，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，即函數(shù)在定義域內有最小值，B錯；對于C選項，由可得，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以，存在，使得函數(shù)有兩個零點，C對；對于D選項，存在，使得函數(shù)在處取極小值，則，則，則，解得，此時，，令，則，令，可得，當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，故當時，函數(shù)在處取得極小值，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.11．下列命題正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】構造函數(shù)，根據導數(shù)判斷其單調性并求最大值，從而即可判斷A；構造函數(shù)，根據導數(shù)判斷其單調性并求最大值，從而可得對，成立，再根據，則，可得對，，進而即可判斷B；構造函數(shù)，根據導數(shù)判斷其單調性并求最大值，從而即可判斷C；構造，根據導數(shù)判斷其單調性并求最小值，從而即可判斷D．【詳解】對于A，令，則，當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減，所以，即對，，故A正確；對于B，令，則，當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減，所以，即對，；由，則，所以，即對，，綜上，對，，故B正確；對于C，令，則，當時，，此時單調遞增；當時，，此時單調遞減，所以，即對，，故C錯誤；對于D，令，則，則在上單調遞增，所以，即對，，故D錯誤．故選：AB．12．已知數(shù)列中，，，下列說法正確的是（參考公式：）（

）A．B．C．D．存在，使得【答案】ABC【分析】由題意可得到，再根據累乘法可求得，從而可求得，進而即可判斷A，B；將進行分組求和即可判斷C；先對分組求和，再進行放縮，再結合裂項相消即可判斷D．【詳解】由，則，所以，又，得，對于A，由，故A正確；對于B，由，故B正確；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，所以，故D錯誤．故選：ABC．【點睛】關鍵點睛：運用累乘法、分組求和、放縮、裂項相消法是解題的關鍵．三、填空題13．如果某物體做運動方程為的直線運動（s的單位為m，t的單位為s），那么其在1.2s末的瞬時速度為______m/s．【答案】【分析】利用導數(shù)求解即可【詳解】由可得，所以在1.2s末的瞬時速度為m/s，故答案為：．14．設數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【分析】代入法求得，由表達式可知數(shù)列為等差數(shù)列，求得首項和公差后可得通項公式．【詳解】依題意得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，，設其公差為，則，所以，故答案為：．15．，，且滿足，則______．【答案】2【分析】根據給定條件，利用導數(shù)的定義求出的值，再代入計算作答.【詳解】函數(shù)，求導得，依題意，，因此，解得，，所以.故答案為：216．已知數(shù)列滿足：，且數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，再根據數(shù)列是單調遞增數(shù)列，可得不等式，解不等式即可得到答案；【詳解】由題可得，，又，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，，，又，數(shù)列是單調遞增數(shù)列，，且對恒成立，.故答案為：.四、解答題17．已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在R上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，得到的解析式，求得，從而得到，，再利用點斜式即可得到曲線在點處的切線方程；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為對任意，都有恒成立，再根據二次函數(shù)的性質即可求出a的取值范圍．【詳解】（1）當時，則，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程，即．（2）由，則，又在R上單調遞增，則對任意，都有恒成立，當時，不恒成立，不符合題意；當時，恒成立，符合題意；當時，要恒成立，則需，即，綜上，實數(shù)a的取值范圍．18．已知數(shù)列滿足且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）計算得出為常數(shù)，結合等差數(shù)列的定義可證得結論成立；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）證明：因為數(shù)列滿足且，所以，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為.（2）解：由（1）可得，可得，所以，，①，②①②可得，因此，.19．已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）求的單調區(qū)間.【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）詳見解析.【解析】（1）由導函數(shù)的正負可確定的單調性，進而確定極大值為，極小值為，代入可求得結果；（2）求得后，分別在、、和四種情況下確定的正負，由此可得單調區(qū)間.【詳解】（1）當時，，，當和時，；當時，，在，上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，在處取得極小值，極大值為，極小值為.（2）由題意得：，①當時，當時，；當時，，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；②當時，當和時，；當時，，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；③當時，在上恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；④當時，當和時，；當時，，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；綜上所述：當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的極值、討論含參數(shù)函數(shù)的單調性的問題；討論含參數(shù)函數(shù)單調性的關鍵是能夠通過導函數(shù)的零點所處的范圍進行分類討論，由此確定導函數(shù)的正負.20．已知平面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．(1)求動點的軌跡方程；(2)設動點的軌跡為曲線，過定點的直線和曲線交于不同兩點、滿足，求線段的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據距離公式可得出關于、所滿足的等式，化簡可得點的軌跡方程；（2）分析可知直線直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，由可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由結合韋達定理可求得的值，然后利用弦長公式可求得的值.【詳解】（1）解：因為面內動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則，整理可得，因此，點的軌跡方程為.（2）解：若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的頂點，若點、，則，，此時，不合乎題意，若點、，同理可得，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立可得，，因為，即，所以，，即，由韋達定理可得，所以，，，解得，因此，.21．已知數(shù)列中，，前n項和滿足；數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據給定的遞推公式，結合“”探求數(shù)列的特性即可作答.（2）將給定等式變形，再利用等比數(shù)列定義推理作答.（3）利用（1）（2）的結論，求出，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】（1），，，當時，，兩式相減得：，即，因此，而，解得，于是數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由得：，而，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.（3）由（2）知，由（1）知，則，所以數(shù)列的前n項和.22．已知函數(shù)．(1)當時，證明：；(2)數(shù)列的前項和為，且；（?。┣?；（ⅱ）求證：．【答案】(1)證明見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析．【分析】（1）令，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，即可證得結論成立；（2）（i）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（ii）利用導數(shù)證明出當且時，，可得出，驗證當時，結論成立；當時，利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，利用放縮法證得結論成立.【詳解】（1）證明：令，其中，則，因為，則，又因為，則，所以，，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調遞減，當時，，即.（2）解：（i）對任意的，，當時，則，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，所以，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故；（ii）令，其中且，則，因為，則，又因為，則，所以，，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，當且僅當時，等號成立，因為，令，則，當