高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分PAGEPAGE10第五章定積分教學(xué)目的：1、理解定積分的概念。2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法.3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式.4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分.教學(xué)重點:1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、定積分的換元積分法與分部積分法。3、牛頓—萊布尼茨公式。教學(xué)難點：1、定積分的概念2、積分中值定理3、定積分的換元積分法分部積分法。4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！?1 一、定積分問題舉例1曲邊梯形的面積在區(qū)間y0yf（x)所圍天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室成的圖形稱為曲邊梯形其中曲線弧稱為曲邊求曲邊梯形的面積的近似值[ab]中任意插入若干個分點ax0x1x2xn1xnb把[ab]分成n個小區(qū)間

1 2 2 3 n1 ［x0x1][xx］［xx］［x 1 2 2 3 n1 它們的長度依次為x1x1x0x2x2x1xnxnxn1經(jīng)過每一個分點作平行于y軸的直線段把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形在每個小區(qū)間i1 i i i1 i ［x x］上任取一以x]為底f（）為高的窄矩形近似替代第i1 i i i1 i 2n）把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值即1 1 2 2 n Af(）xf（）xf()1 1 2 2 n 求曲邊梯形的面積的精確值所求得的曲邊梯形面積AA要求曲邊梯形面積A記nmax{x1x2x｝于是上述增加分點使每個小曲邊梯形的寬度趨于零相當(dāng)于令0所以曲邊梯形的面積為n2變速直線運動的路程vv（t)是時間間隔1T2］tv（t)0計算在這段S天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室求近似路程2 i i i i i i i 我們把時間間隔1T］ntt物體運動看成是tt內(nèi)運動的距Sv(）2 i i i i i i i 2［T1T2］S在時間間隔1T］內(nèi)任意插入若干個分點2T1t0t1t2tn1tnT22把［T1T］分成n個小段2［t0t1］［t1t2］［tn1tn]各小段時間的長依次為t1t1t0t2t2t1tntntn1相應(yīng)地在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為S1S2Sn在時間間隔［t

t］（t

t以v(）[t

t]上各個時i1 i

i i1 i i

i i1 i刻的速度得到部分路程Si的近似值即Sv(）t(i12n）i i i于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運動路程S的近似值即求精確值n記max｛t1t2t｝當(dāng)0時取上述和式的極限即得變速直線運動的路程n設(shè)函數(shù)yf（x）在區(qū)間[ab］上非負、連續(xù)求直線xa、xb、y0天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積（1）用分點ax0x1x2xn1xnb把區(qū)間[ab］分成n個小區(qū)間1 1 2 2 3 n1 n i i [x0x］［xx］［xx］[x x］xxx (i11 1 2 2 3 n1 n i i （2)任取

［x x］以[x x］為底的小曲邊梯形的面積可近似為i i1 i i1 i（i12n）所求曲邊梯形面積A的近似值為1 2 （3）記max{xxx}1 2 2vv(t)[T1T］tv（t）0計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S212 n1n i i 用分點T1t0t1t2tn1tnT2把時間間隔1T2］分成n個小時間段［t0t1]［tt］［t t］ttt （12 n1n i i （2）任［t t]在時間段［t t]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v()ti i1i i1i i i（i12n）所求路程S的近似值為1 2 (3)記max{ttt｝1 2 二、定積分定義拋開上述問題的具體意義抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括就抽象出下述定積分的定義天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室定義設(shè)函數(shù)f（x）在[ab］上有界在［ab］中任意插入若干個分點ax0x1x2xn1xnb把區(qū)間［ab]分成n個小區(qū)間0 1 1 2 n1 ［xx］［xx］［x 0 1 1 2 n1 各小段區(qū)間的長依次為

x1x1x0x2x2x1xnxnxn1在每個小區(qū)間x］上任取一個（x x)作函數(shù)值f(）與小區(qū)間長

的乘積i1 i i i1 i i i if（）x(i12n）并作出和i imax{xxx｝[ab]也不論在小區(qū)間x］上點

怎樣取法1 2 n i1 i i只要當(dāng)0時和S總趨于確定的極限I這時我們稱這個極限I為函數(shù)f（x)在區(qū)間[ab]上的定積分記作即f（x）f(x）dxxab叫做積分［ab］定義設(shè)函數(shù)f用分點a01xn1nb分成n［1］n［x1x2]［xn1x］記xixixi1(i12n）n任［x x］(i12n)作和i i1 i1 2 記max｛xxx｝如果當(dāng)時上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間［ab]1 2 i則稱這個極限為函數(shù)f（x)[ab］即i天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室根據(jù)定積分的定義曲邊梯形的面積為變速直線運動的路程為說明（1）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)而與積分變量的記法無關(guān)即(2）和通常稱為f(x）的積分和（3）f（x）在[ab］f（x）在區(qū)間f(x)在[ab］f(x)在［ab］上可積呢？定理1設(shè)f（x）在區(qū)間［ab］上連續(xù)則f（x）在［ab］上可積2f(x)在區(qū)間f（x）在［ab］在區(qū)間b當(dāng)）0積分在幾何上表示由曲線f（、兩條直線a、b與x軸所yf、兩條直線xaxbx軸所圍成的曲邊xf(x)f(x)的圖形某些部分在xx軸的下方如果我們對面積賦以正負號在x軸上方的圖形面積賦以正號在x軸下方的圖形面積賦以負號則在一般情形下定積分的幾何意義為它是介于x軸、函數(shù)f（x）的圖形及兩條直線xa、xb之間的各部分面積的代數(shù)和用定積分的定義計算定積分例1。利用定義計算定積分解把區(qū)間[01］分成n等份分點為和小區(qū)間長度為天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室（i12n1)（i12n）?。╥12n)作積分和因為當(dāng)0時n所以利定積分的幾何意義求積分:例2用定積分的幾何意義求y1x在區(qū)間1]y1x以區(qū)間1］為底的曲邊梯形的面積y1x［01]1所以三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定abab性質(zhì)1函數(shù)的和（差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即證明：性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室這是因為性質(zhì)如果將積分區(qū)間分成兩部分則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和即abc成立〈bc由于于是有4如果在區(qū)間f（x）1則5b］f（x）0則(ab）1如果在區(qū)間b］f（x）g（x）（ab）g(x）f（x)0從而所以2（ab)

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室(x)｜f(x）|f（x）|所以即|性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間b］上的最大值及最小則(ab）證明因為mf(x）M所以從而性質(zhì)7 （定積分中值定理如果函數(shù)f(x）在閉區(qū)間上連則在積分區(qū)間b]上至少存在一個使下式成這個公式叫做積分中值公式證明由性質(zhì)6各項除以ba得再由連續(xù)函數(shù)的介值定理在[ab］上至少存在一點使于是兩端乘以ba得中值公式天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室積分中值公式的幾何解釋應(yīng)注意不論a〈b還是a〉b積分中值公式都成立§52微積分基本公式一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系tS（t）vv(t）S(t)(v(t）0）則在時間間隔［T1T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為及即2 1 v(t)在區(qū)間］v（t）在區(qū)間T]上的增量2 1 這個特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)并且設(shè)x為［ab]上的一點我們把函數(shù)f(x）在部分區(qū)間[ax］上的定積分稱為積分上限的函數(shù)它是區(qū)間[ab］上的函數(shù)記為(x）或（x）定理1如果函數(shù)f(x）在區(qū)間［ab］上連續(xù)則函數(shù)(x）在[ab］上具有導(dǎo)數(shù)并且它的導(dǎo)數(shù)為（x）(ax〈b）簡要證明若x（ab）取x使xx（ab）天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室（xx)（x）應(yīng)用積分中值定理有f（)x其中在x與xx之間x0時x于是(x）若xa取x〉0則同理可證(x）f（a）若xb取x<0則同理可證(x)f（b）定理2如果函數(shù)f(x）在區(qū)間[ab]上連續(xù)則函數(shù)（x）就是f（x)在［ab］上的一個原函數(shù)萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F（x)是連續(xù)函數(shù)f（x)在區(qū)間［ab］上的一個原函數(shù)則此公式稱為牛頓萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式這是因為F（x)和（x）都是f(x)的原函數(shù)所以存在常數(shù)C使F(x）(x)C（C為某一常數(shù)由F(a)(a)C及(a)0得CF（a)F（x）（x）F(a)F（b）（b)F(a）（b）F(b）F（a）即天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室證明已知函數(shù)F(x）是連續(xù)函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)又根據(jù)定理2積分上限函數(shù)(x）也是f（x）的一個原函數(shù)于是有一常數(shù)C使F（x）（x）C(axb)當(dāng)xa時有F(a)(a）C而(a）0所以CF(a）當(dāng)xb時F（b)（b）F(a）所以（b)F(b）F（a）即為了方便起見可把F（b）F（a）記成于是進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系例1。計算解由于是的一個原函數(shù)所以2計算解由于arctanx是的一個原函數(shù)所以例3。計算解ln1ln2ln2例4.計算正弦曲線ysinx在［0]上與x軸所圍成的平面圖形的面積天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室解這圖形是曲邊梯形的一個特例它的面積(1）（1）2例5。汽車以每小時36km速度行駛到某處需要減速停車設(shè)汽車以等加速度a5m/s2剎車問從開始剎車到停車汽車走了多少距離？解從開始剎車到停車所需的時間當(dāng)t0時汽車速度v036km/hm/s10m/st時刻汽車的速度為v（t)v0at105t當(dāng)汽車停止時速度v（t)0從v（t）105t0得t2（s）于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為(m）即在剎車后汽車需走過10m才能停住6.f（x)在［0，f（x)>0證明函數(shù)在(0)證明故按假設(shè)當(dāng)0tx時f(t)>0(xt)f（t）0所以天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室從而F（0〉0這就證明了F）在7解這是一個零比零型未定式由羅必達法則提示設(shè)則§53 一、換元積分法定理假設(shè)函數(shù)f（x)在區(qū)間［ab］上連續(xù)函數(shù)x（t）滿足條件（1)(）a（）b(2）（t）在[](或［]）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其值域不越出［ab］則有這個公式叫做定積分的換元公式（在區(qū)間bf（）（或])F（x)f（x）則F（b）F(a）因為（］F［（（）f（］所以F］是f［從而F［］F］（b）Fa天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室因此例1計算（a>0)解提示dxacost當(dāng)x0時t0當(dāng)xa時例2計算解令tcosx則提示當(dāng)x0時t1當(dāng)時t0或3計算解提示在上｜cosx｜cosx在上|cosx｜cosx4計算解提示dxtdt當(dāng)x0時t1當(dāng)x4時t3天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室5f（x)在［aa］則證明因為而所以若f(x）在［aa］上連續(xù)且為奇函數(shù)問？f（x)f（x）f(x）0從而6f（x)在[01］證明（1）（2)證明(1)令則（2)令xt則所以7x2t則天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室提示設(shè)x2t則dxdt當(dāng)x1時t1當(dāng)x4時t2二、分部積分法設(shè)函數(shù)u）在區(qū)間b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、由(uv）uvuv得uvuvuv式兩端在區(qū)間［ab］上積分得或這就是定積分的分部積分公式分部積分過程1計算解2計算則例3設(shè)證明n（2）當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時證明n 2 （n1)I(n1）n 2 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室由此得而因此例3設(shè)(n為正整數(shù))證明證明n 2 (n1）I(n1)n 2 由此得特別地因此天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室§54 反常積分一、無窮限的反常積分定義1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a)上連續(xù)取b>a如果極限存在則稱此極限為函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間[a）上的反常積分記作即這時也稱反常積分收斂如果上述極限不存在函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間[a）上的反常積分就沒有意義此時稱反常積分發(fā)散f(x)在區(qū)間（b］如果極限（a〈b）存在則稱此極限為函數(shù)f(x）在無窮區(qū)間（b]上的反常積分記作即f(x）在區(qū)間如果反常積分和都收斂則稱上述兩個反常積分的和為函數(shù)f（x)在無窮區(qū)間（)上的反常積分記作即這時也稱反常積分收斂如果上式右端有一個反常積分發(fā)散則稱反常積分發(fā)散定義1連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a）上的反常積分定義為天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)教研室f(x）(b］(）上