2023屆黑龍江省牡丹江市高三上學(xué)期第六次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，由于，則，因此，.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)，即可求出.【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足，所以所以，所以.故選：B3．在平行四邊形中，對角線與交于點為中點，與交于點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，用表示出即可求解作答.【詳解】平行四邊形的對角線與交于點，如圖，則，而點為的中點，有，由得：，則有，所以.故選：C4．公元年，唐代李淳風(fēng)注《九章算術(shù)》時提到祖暅的開立圓術(shù)．祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是立體的高．意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面面積相等﹐則體積相等．更詳細(xì)點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理，國外則一般稱之為卡瓦列利原理．已知將雙曲線與直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則旋轉(zhuǎn)體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個圓錐）的體積，用垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得圓環(huán)的面積為，結(jié)合祖暅原理可求得旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】與雙曲線的交點為、，則用垂直于軸的平面截旋轉(zhuǎn)體的截面為圓面，截面圓的半徑為，截面面積為，與雙曲線的漸近線的交點為，所以是用垂直于軸的平面截兩條漸近線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的截面面積，，繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體（兩個圓錐）的體積為，用垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得圓環(huán)的面積為，因為底面半徑為，高為的圓柱的截面面積為，體積為，所以根據(jù)祖暅原理得旋轉(zhuǎn)體的體積為，故選：D．5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化簡為正、余弦的齊次分式，分式上下同除，代入可得答案.【詳解】,故選：A.6．某人連續(xù)兩次對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，若第一次擊中目標(biāo)，則第二次也擊中目標(biāo)的概率為，若第一次未擊中目標(biāo)，則第二次擊中目標(biāo)的概率為，已知第一次擊中目標(biāo)的概率為，則在第二次擊中目標(biāo)的條件下，第一次也擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式計算出，再利用條件概率公式計算出答案.【詳解】設(shè)第一次擊中目標(biāo)為事件A，第二次擊中目標(biāo)為事件B，則，，，所以，故，則故選：C7．在四棱錐中，ABCD是邊長為2的正方形，，平面平面，則四棱錐外接球的表面積為（

）A．4π B．8π C． D．【答案】C【分析】將該四棱錐的外接球放在一個長方體內(nèi)，畫出圖形，利用已知條件找出球心，建立相應(yīng)的關(guān)系式，求出外接球的半徑，利用球體表面積公式計算即可.【詳解】由題意將該四棱錐放在一個長方體的中，如圖①所示：取的中點，連接，連接交于，由，則在等腰中有：，又平面平面，且平面平面ABCD=，則平面，又，所以在中，，由底面為正方形，所以它的外接圓的圓心為對角線的交點，連接，則，外接圓的圓心為，且在上，過點，分別作平面與平面的垂線，則兩垂線必交于點，點即為四棱錐外接球的球心，且平面，又平面，即平面，所以，所以四邊形為矩形.如圖②連接，則，在中，，所以，解得，所以，所以，在圖①中連接，由，所以在中，，即四棱錐外接球的半徑為，所以四棱錐外接球的表面積為：，故選：C.8．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小，與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，令，則．令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因此在上單調(diào)遞增，所以．令x＝0.4，則，所以，即a＜b．構(gòu)造函數(shù)，則，因此在上單調(diào)遞減，所以，令x＝0.4，則，所以，所以c＜a．故b＞a＞c．故選：C．【點睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時首先把要比較的值變形為含有一個共同的數(shù)值，將這個數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，，將化為的目的就是出現(xiàn)，以便與中的一致，從而只需比較與這兩個函數(shù)大小關(guān)系即可.在構(gòu)造函數(shù)后比較大小還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小.二、多選題9．下列四個條件中，是的一個充分不必要條件的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用特殊值法可判斷AD選項；利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷BC選項.【詳解】對于A選項，取，，則，但，A不滿足條件；對于B選項，由可知，，由不等式的性質(zhì)可得，所以，，因為，但，所以，是的一個充分不必要條件，B滿足條件；對于C選項，若，則，由不等式的性質(zhì)可得，另一方面，若，取，則，所以，，，所以，是的一個充分不必要條件，C滿足條件；對于D選項，取，，則，則，但，D不滿足條件.故選：BC.10．一袋中有3個紅球，4個白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中任取3個球，事件A“這3個球都是紅球”，事件B“這3個球中至少有1個紅球”，事件C“這3個球中至多有1個紅球”，則下列判斷錯誤的是（

）A．事件A發(fā)生的概率為 B．事件B發(fā)生的概率為C．事件C發(fā)生的概率為 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意求出基本事件總數(shù)、滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式及條件概率公式求解即可.【詳解】由題意7個球中任取3個球的基本事件總數(shù)為：這3個球都是紅球的基本事件數(shù)為：，所以事件A發(fā)生的概率為：，故A錯誤，這3個球中至少有1個紅球的基本事件數(shù)為：，所以事件B發(fā)生的概率為：，故B錯誤，這3個球中至多有1個紅球的基本事件數(shù)為：，事件C發(fā)生的概率為,故C錯誤，因為，所以由條件概率公式得：，故D正確，故選：ABC.11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定和最小正周期，由此可得，結(jié)合可求得，從而得到的解析式，根據(jù)可構(gòu)造方程求得，由此可得可能的取值.【詳解】由圖象可知：，最小正周期，，，，解得：，又，，，，，，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：AD.12．已知函數(shù)，.（

）A．當(dāng)時，沒有零點B．當(dāng)時，是增函數(shù)C．當(dāng)時，直線與曲線相切D．當(dāng)時，只有一個極值點，且【答案】ACD【分析】當(dāng)時，，求導(dǎo)，借助零點存在性定理求出單調(diào)性，并求出，據(jù)此判斷AB；當(dāng)時，，求導(dǎo)，將代入得斜率，又因為，代點斜式求出切線方程，繼而判斷C；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理判斷D.【詳解】當(dāng)時，，則，在上為增函數(shù)，且，所以在上存在唯一的零點m，則，所以，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而沒有零點，故A正確，B錯誤.當(dāng)時，，則，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，所以C正確.因為在上為增函數(shù)，且所以只有一個極值點，且，所以D正確.故選：ACD三、填空題13．已知雙曲線C的一條漸近線方程為，且其實軸長小于4，則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為___________.【答案】【分析】可設(shè)雙曲線的方程為，假設(shè)，則雙曲線的實軸為，再根據(jù)實軸長小于4，求得此時的范圍，即可寫出符合題意的雙曲線方程.【詳解】解：可設(shè)雙曲線的方程為，即，當(dāng)時，雙曲線的實軸為，則，所以，可取，則C的一個標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.故答案為：.（答案不唯一）14．在的展開式中，第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為___________.【答案】【分析】根據(jù)二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，求得，再求出展開式的通項，令的指數(shù)等于，從而可得出答案.【詳解】解：因為二項式的第3項和第6項的二項式系數(shù)相等，所以，所以，則二項式展開式的通項為，令，則，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15．在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為________．【答案】【分析】由已知得，由各項均為正數(shù)，得公差的范圍，把表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性計算最小值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，得，等差數(shù)列各項均為正數(shù)，則有，所以，，令，，，解得；，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以的最小值為.故答案為：16．已知A，B是雙曲線上的兩個動點，動點P滿足，O為坐標(biāo)原點，直線OA與直線OB斜率之積為2，若平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為______．【答案】【分析】設(shè),根據(jù)得到，，根據(jù)點,在雙曲線上則，代入計算得，根據(jù)雙曲線定義即可得到為定值.【詳解】設(shè),則由,得，則，，點,在雙曲線上,，則，設(shè)分別為直線,的斜率,根據(jù)題意,可知,即，，即在雙曲線上,設(shè)該雙曲線的左、右焦點分別為，由雙曲線定義可知||為定值，該定值為.故答案為：.四、解答題17．在中，角的對邊分別是，．(1)求C；(2)若，的面積是，求的周長．【答案】(1).(2).【分析】（1）將化為，由余弦定理即可求得角C.（2）根據(jù)三角形面積求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案.【詳解】（1）由題意在中，，即，故，由于，所以.（2）由題意的面積是，，即，由，得，故的周長為.18．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，記為數(shù)列的前n項和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用遞推式相減得出，并驗證首項符合通項，最后得出答案；（2）錯位相減法求前n項和.【詳解】（1）∵，①當(dāng)時，由①得，即；當(dāng)時，則，②可得，即；綜上所述：.（2）由（1）可得：，則，③可得，④可得，故.19．如圖，四棱錐中，平面平面，為正三角形，底面為等腰梯形，//，．(1)求證：平面；(2)若點為線段上靠近點的三等分點，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析；(2)【分析】（1）先用幾何關(guān)系證明，然后根據(jù)余弦定理求出，結(jié)合勾股定理可得，最后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）過作，垂足為，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)先說明可以在處為原點建系，然后利用空間向量求二面角的大小.【詳解】（1）取中點，連接，根據(jù)梯形性質(zhì)和可知，//，且，于是四邊形為平行四邊形，故，則為等邊三角形，故，在中，由余弦定理，，故，注意到，由勾股定理，，即，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面.（2）過作，垂足為，連接，由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，平面，為正三角形，，故（三線合一），由和中位線性質(zhì)，//，由（1）知，平面，故平面，于是兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知，平面，又//軸，故可取為平面的法向量，又，，根據(jù)題意，，設(shè)，則，解得，又，，，，設(shè)平面的法向量，由，即，于是為平面的法向量，故，二面角大小的范圍是，結(jié)合圖形可知是銳二面角，故二面角的大小為20．新高考模式下，數(shù)學(xué)試卷不分文理卷，學(xué)生想得高分比較困難．為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，張老師對自己的教學(xué)方法進(jìn)行改革，經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實驗，張老師所教的名學(xué)生，參加一次測試，數(shù)學(xué)學(xué)科成績都在內(nèi)，按區(qū)間分組為，，，，，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于分（百分制）為優(yōu)秀．(1)求這名學(xué)生的平均成績（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作代表）；(2)按優(yōu)秀與非優(yōu)秀用分層抽樣方法隨機(jī)抽取名學(xué)生座談，再在這名學(xué)生中，選名學(xué)生發(fā)言，記優(yōu)秀學(xué)生發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法直接計算即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可確定優(yōu)秀與非優(yōu)秀學(xué)生對應(yīng)的頻率，根據(jù)分層抽樣原則可確定名學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)員的人數(shù)，由此可得所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；由數(shù)學(xué)期望計算公式可求得期望.【詳解】（1）名學(xué)生的平均成績?yōu)?（2）根據(jù)頻率分布直方圖知：優(yōu)秀學(xué)員對應(yīng)的頻率為，則非優(yōu)秀學(xué)員對應(yīng)的頻率為，抽取的名學(xué)生中，有優(yōu)秀學(xué)生人，非優(yōu)秀學(xué)生人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望.21．已知橢圓M：（a>b>0）的離心率為，AB為過橢圓右焦點的一條弦，且AB長度的最小值為2.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線l與橢圓M交于C，D兩點，點，記直線PC的斜率為，直線PD的斜率為，當(dāng)時，是否存在直線l恒過一定點？若存在，請求出這個定點；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意求出，即可求出橢圓M的方程.（2）設(shè)直線l的方程為m(x－2)+ny＝1，，，聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得，則，化簡得，即可求出直線l恒過的定點.【詳解】（1）因為（a>b>0）的離心率為，過橢圓右焦點的弦長的最小值為，所以a＝2，，，所以橢圓M的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為m(x－2)+ny＝1，，，由橢圓的方程，得.聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得，即，，所以，化簡得，代入直線l的方程得，即，解得x＝－2，y＝－4，即直線l恒過定點.22．已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見