歡迎共閱歡迎共閱地球上兩點之間的球面距離的教學(xué)設(shè)計與思考衛(wèi)福山（上海市松江二中）一、教學(xué)內(nèi)容分析球面距離是上海教育出版社數(shù)學(xué)（高三）第15章簡單幾何體第6節(jié)內(nèi)容，《上海市中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對球的要求是：類比關(guān)于圓的研究，對球及有關(guān)截面的性質(zhì)深入探討；知道球的表面積和體積的計算公式，并會用于進行有關(guān)的度量計算；知道球面距離和經(jīng)度、緯度等概念，進一步認(rèn)識數(shù)學(xué)和實際的聯(lián)系.在本節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生理解球面距離的概念（這不同于一般的直線距離），原因在于球面不能展開成平面.然后具體探究了如何求同緯度不同經(jīng)度、同經(jīng)度不同緯度、不同經(jīng)度不同緯度的地球上兩點之間的距離的求法，特別強調(diào)將其中的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為多面體（主要是特殊的棱錐）來分析，并綜合使用扇形、弧長、解三角形等數(shù)學(xué)知識.在探究球面距離的計算中培養(yǎng)了學(xué)生空間想象能力和探究性學(xué)習(xí)的能力.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計1、知道球面距離的定義，知道地球的經(jīng)度與緯度的概念，會求地球上同經(jīng)度或同緯度的兩點間的球面距離.2、在解決問題的過程中，領(lǐng)會計算地球上兩點間的球面距離的方法.3、在實際問題中，探索新知識，成功解決問題，完成愉悅體驗.三、教學(xué)重難點教學(xué)重點：掌握計算地球上兩點間的球面距離的方法.教學(xué)難點：如何求地球上同緯度的兩點間的球面距離.四、教學(xué)內(nèi)容安排（一）、知識準(zhǔn)備1、聯(lián)系右圖及中學(xué)地理中的有關(guān)知識認(rèn)識地球一一半徑為6371千米的球.（理想模型）2、經(jīng)度、緯度等相關(guān)知識地軸連結(jié)北南極的球的直徑稱為地軸經(jīng)線經(jīng)過北南極的半大圓稱為經(jīng)線本初子午線它是地球上的零度經(jīng)線分別向東和向西計量經(jīng)度，稱為東經(jīng)和西經(jīng)從度到度經(jīng)度經(jīng)線所在半平面與零度經(jīng)線所在半平面所成的二面角的度數(shù).參見右圖.赤道:過球心且垂直于地軸的大圓,稱為赤道.赤道的圓心就是球心.緯線:平行于赤道的小圓,稱為緯線.位于赤道以北的稱為北緯,位于赤道之南的稱為南緯.緯度:球面上某點所在球半徑與赤道平面所成的角從0度到90度.參見上圖.3、球面距離在球面上兩點之間的最短距離就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長度這個弧長叫兩點的球面距離.

歡迎共閱問題：為何最短距離是經(jīng)過兩點的大圓的劣??？解釋如下：如圖所示，A、B是球面上兩點，圓O'是經(jīng)過A、B的任一小圓（緯線圓），O是球心，設(shè)ZAOB=仇/AO'B=a,歡迎共閱問題：為何最短距離是經(jīng)過兩點的大圓的劣??？解釋如下：如圖所示，A、B是球面上兩點，圓O'是經(jīng)過A、B的任一小圓（緯線圓），O是球心，設(shè)ZAOB=仇/AO'B=a,a,9e（0,兀）,地球半徑為OA=OB=凡小圓半徑為O'A=O'B=r,則A、B兩地所在的大圓劣弧長為s=R9，小圓的劣弧長為s=ra,下面只要12說明s<s即可。

12在AAOB與^AOoB中山小門。底9 。.a壬旦Rsin|由于AB=2Rsin—=2rsin—，于是r= 2，.asin—2R9ra .9sin—2.asin—2a.aasin——22sin——a9由于a,9e（0,兀）,—,-e（0,:）,函數(shù)尸sinx在xe（0,于上單調(diào)遞減（利用導(dǎo)數(shù)知yy="（X-tanx）<0，從而單調(diào)遞減），又由于R>r,X29二asinsin-是有—rr2> -9a9 a 9 a -r從而sin<sin，即一<—，于

2 2 2 22 2圓劣弧最短.4、一些記號即工<1,s<s，因此，在連結(jié)球面上兩點的路徑中，通過這兩點的大s1 22冗中點的坐標(biāo)，用A（a,P）表示A地的球面坐標(biāo)，顯然ae[0,兀],Pe[0,—].^2（二）、創(chuàng)設(shè)問題情境飛機飛行的路線稱為空中交通線，簡稱航線.飛機的航線不僅確定了飛機飛行具體方向、起訖點和經(jīng)停點，而且還根據(jù)空中交通管制的需要，規(guī)定了航線的寬度和飛行高度，以維護空中交通秩序，保證飛行安全.飛機航線的確定除了安全因素外，也取決于經(jīng)濟效益和社會效益的大小，其中有一項毫無疑問是追求航線盡可能的“短”，那怎樣才能做到這一點呢？（三）、地球上兩點間的距離的常見題型1、同經(jīng)度不同緯度的兩點間的球面距離：如圖所示，設(shè)A（a,P）,B（a,P）為1 2地球球面上同經(jīng)度但不是同緯度的兩點（緯度分別為a,a，規(guī)定北緯時緯度1 2正，南緯時緯度為負，經(jīng)度為P），則球心角/AOB=1a-a|，則A、B12歡迎共閱歡迎共閱兩地的球面距離為s=R-Ia-a|（R為地球半徑）. （公式1 2一）注：同經(jīng)度不同緯度的A、B兩地實質(zhì)上已經(jīng)在一個大圓上，只要求出球心角（圓心角），即兩地的緯度差（和）即可.2、同緯度不同經(jīng)度的兩點間的球面距離：如圖所示，設(shè)A（a,p）,B（a,0）12為地球球面上同緯度但不同經(jīng)度的兩點（緯度為a，經(jīng)度分別為0,0，12規(guī)定東經(jīng)時經(jīng)度為正，西經(jīng)時經(jīng)度為負），點A、B在赤道平面上的投影分別為C、。，則TOC\o"1-5"\h\z/COD=/AOrB=IP-0I（若I0-0Ie（兀,2兀），則/AOrB=2兀-10-0I），且12 12 1 2cos/AOfB=cosI0-0I=cos（2兀一I0-0I）.四邊形ABDC是矩形，AB=CD.小圓半徑1 2 1 2O'A=O'B=Rcosa，于是在^AO,B中，由余弦定理得…E :—― - … .I0-0IAB=（RRcosa）2+（Rcosa）2一2RcosaRcosacos/AOB=2Rcosasin1 2-.在AAOB中，由余弦定理得cosZAOB= +上_"2-1-2cos2asin2L0_K，2R2 2于是球心角/AOB-arccos（1-2cos2asin2101-02I），則A、B兩地的球面距離為2s-R-arccos（1-2cos2asin21012021）（R為地球半徑）. （公式二）注：同緯度不同經(jīng)度的A、B兩地距離實質(zhì)上只要考慮如右圖所示的三棱錐O-ABO'，其中OA-OB-OO-R,/OAO=/O.BO為緯3度，/AOB為兩地的經(jīng)度差（和）（或經(jīng)度差相對周角的補角），OA-OB,OO1面ABOf，只要能求出球心角/AOB即可.3、（拓展）不同緯度不同經(jīng)度的兩點間的球面距離：如圖所示，TOC\o"1-5"\h\z設(shè)A（a,0）,B（a,0）為地球上不同緯度不同經(jīng)度的兩點（緯度分別1 1 2 2為a,a，經(jīng)度分別為0,0，規(guī)定北緯時緯度為正，南緯時緯度為1 2 1 2負，東經(jīng)時經(jīng)度為正，西經(jīng)時經(jīng)度為負），點A、B在赤道平面上的投影分別為C、D，則/AOC-a,/BOD-a，12/COD-I0-0I（若I0-0Ie（兀,2兀），則/COD-2兀-I0-0I），12 12 12OAOROC,R-cD,a-csA,Rai-BRan-a1212在ACOD中，由余弦定理得在直角梯形ABDC中，易求在^AOB中，由余弦定理有

cos/AOB=R2+R2—AB22R=sinacos/AOB=R2+R2—AB22RTOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2 12于是球心角為ZAOB=arccos(sinasina+cosacosacosIP-PI),1 2 1 2 12則A、B兩地的球面距離為s=R?arccos（sinasina+cosacosacosIP-PI）.1 2 1 2 12（R為地球半徑）. （公式三）.注：不同緯度不同經(jīng)度的A、B兩地距離實質(zhì)上只要考慮如右圖所示的四棱錐O-ABDC，其中OA=OB=R,ZAOC,ZBOD為A、B的緯度，ZCOD為兩地的經(jīng)度差（和）（或經(jīng)度差相對于周角的補角），AC1面COD,BD1面COD，四邊ABDC為直角梯形，只要能求出球心角ZAOB即可。而且容易驗證公式一、二都滿足公式三.（四）例題應(yīng)用例1：已知上海的位置約為東經(jīng)121。，北緯31。，臺北的位置約為東經(jīng)121。，北緯25。，求兩個城市之間的距離.（地球半徑約為6371千米，結(jié)果精確到1千米）分析：兩地點經(jīng)度相同，已保證兩者已落在大圓上.解：作出如右圖所示的簡圖，則球心角ZAOB=31-25=6,r 0 0于是兩個城市之間的距離為s=6371X—X兀。667（千米）.180O例2：已知北京的位置約為東經(jīng)116。，北緯40。，紐約的位置約為西經(jīng)74。，北緯40。，求兩個城市之間的距離.（地球半徑約為6371千米，結(jié)果精確到1千米）OTOC\o"1-5"\h\z分析：兩地同緯度不同經(jīng)度. 01.■■解：作出如右圖所示的簡圖， A（40,116）,B（40,-74）分別表示北京與 、 \'c o o o ----1---紐約，則ZOAO'=ZOBO'=40,經(jīng)度差 「ZAOfB=360-[116-（-74）]=170，于是小圓半徑為0 0 o 0O'A=O'B=Rcos40，使用公式二得兩地的距離為0s=6371xarccos（1-2cos240sin285）?11062（千米）.o o五、教學(xué)反思本節(jié)課可以作為一節(jié)師生共同探究課.引入中，從學(xué)生學(xué)習(xí)的地理知識入門，問問學(xué)生在地理上了解的經(jīng)度、緯度的定義及其中的道理，極大激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.本節(jié)課中球面距離定義中“經(jīng)過兩點的大圓的劣弧長最短”是難點，因為這一結(jié)論的證明需要用到高等數(shù)學(xué)知識，即利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)y=汕在xe（0,-）上單調(diào)遞減，這可以作為部x2分學(xué)有余力的學(xué)生課下鉆研。在求兩點的球面距離中，如何在棱錐中利用邊角的關(guān)系求出球心角是解題的核心，只要學(xué)生能正確把握大圓、小圓的關(guān)系以及緯度差、經(jīng)度差與歡迎共閱棱錐的角的關(guān)系，并恰當(dāng)使用余弦定理，解決這類