千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第4章作業(yè)題解25554按照已知條件，0a>，因此011a

a

XP，則)2(977.0)96(Φ==≤XP即有)2()72

96(

Φ=-Φσ

所以

272

96=-σ

得12=σ

所以)12,72(~2

NX

故所求的概率為)1|12

72

(|

)12|72(|)8460(≤-=≤-=≤≤XPXPXP6826.018413.021)1(2=-?=-Φ=

4.12對習(xí)題4.1中的隨機(jī)變量X,計(jì)算2

2

()(54)EXEX+、.解：21.032.023.014.00)(22

2

2

2

=?+?+?+?=XE

144254)(5)45(22=+?=+=+XEXE

4.13設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

,0,

()0,

0,

xexfxx-?>=

≤?,分離計(jì)算2YX=的期望和2X

Ye-=的期望

解：由于)(~λEX，其中

1=λ，所以11

)(==

λ

XE

故212)(2)2()(=?===XEXEYE

3

1)()(0

30

222=

===???+∞

-+∞

--+∞

∞

dxedxee

dxxfe

e

Exx

x

x

X

4.14對球的直徑做近似測量,設(shè)其值勻稱分布在區(qū)間(,)ab內(nèi),求球體積的均值.

解：設(shè)球的直徑測量值為X，體積為V，則有31

6

VXπ=

.明顯X的概率密度函數(shù)為1

,

,()0,,

ax

bfxba

?≤≤=-?

其他

因此,球體積的均值為

2233111()()

()()6624

baababEVEXxdxbaπ++===-?.

4.15游客乘電梯從電視塔底層到頂層觀光,電梯于每個整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從

底層起運(yùn)行.設(shè)某一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處,且~[0,60]XU,求該游客迎候時光的期望.

解:用隨機(jī)變量Y表示游客的迎候時光(單位:分鐘),則()YgX=,其函數(shù)關(guān)系為

5,05,25,525,()55,2555,65,

5560.

xxxxygxxxxx-≤≤??-=≤?求()EXY.解：3

22)()(1

0=

?==

??

+∞

∞

-xdxxdxxxfXE，)()()(55

55

yyeyddyeydyyyfYE-+∞-+∞+∞

∞

--=?==?

?

?

61555

555

5

5=+=-=+-=+∞--+∞

+∞-?

y

yy

edyeye

由于X和Y互相自立，所以463

2

)()()(=?==YEXEXYE.

4.18設(shè)二維隨機(jī)向量(,)XY聽從圓域2

2

2

{(,):}DxyxyR=+≤上的勻稱分布,求

E.

解:按照二維隨機(jī)向量的計(jì)算公式：

2

22

(,),xyRExydxdy+∞-∞

-∞

+≤==?

?

??此積分用極坐標(biāo)計(jì)算較為便利，于是有

2

22

1

23

RRErdrdRπ

θπ=

=

??

4.19設(shè)隨機(jī)變量X與Y互相自立,并且均聽從(0,)Uθ,求(max{,})EXY.解：因?yàn)閄聽從(0,)Uθ，故其分布函數(shù)為

0,0,

(),

0,1,.XxxFxxxθθθ≤???

=

>ρ

σ

σ,由此得到：

(,)(4,2;3,1,0),

XYN

:由于0,

ρ=所以X與Y互不相關(guān)。

4.29設(shè)二維隨機(jī)向量(,)

XY的概率密度函數(shù)為

,02,02,

(,)8

0,,

xy

xy

fxy

+

?

≤≤≤≤

=

?其他

,求

XY

ρ.

解：由于，當(dāng)2

0≤

≤x時，

4

1

8

)

,

(

)

(2

+

=

+

=

=?

?+∞∞-x

dy

y

x

dy

y

x

f

x

f

X

所以

6

7

)

3

2

(

4

1

4

1

)

(

)

(

2

3

2

2

=

+

=

+

?

=

=?

?∞+∞-x

x

dx

x

x

dx

x

xf

X

E

3

5

)

4

3

(

4

1

4

1

)

(

)

(

2

4

3

2

2

2

2=

+

=

+

?

=

=?

?∞+∞-x

x

dx

x

x

dx

x

f

x

X

E

于是

36

11

)

6

7

(

3

5

)

(

)

(

)

(2

2

2=

-

=

-

=EX

X

E

X

Var

由對稱性得

6

7

)

(=

Y

E，

36

11

)

(=

Y

Var

又由于dy

y

x

xy

dx

dxdy

y

x

xyf

XY

E??

??+

=

=+∞

∞

-

+∞

∞

-

2

2

08

)

,

(

)

(

?

?+

=

?

+

?

=1

4

2

2

3

2

2)

3

4

(

)

3

2

(

8

1

dx

x

x

dx

y

x

y

x

3

4

)

6

12

(

2

2

3

=

+

=

x

x

所以36

1676734)()()(),(-=?-=-=YEXEXYEYXCOV故11

1

)

36/11()36/11(36/1)

()(),(-

=?-=

=

YVarXVarYXCOVXYρ.

4.30設(shè)二維隨機(jī)向量(,)XY的概率密度函數(shù)為

(),0,0,

(,)0,

,xyexyfxy-+?=?

?其他，0,()0,yYeyfy-?>=??其他

明顯，(,)()()XYfxyfxfy=，所以X與Y互相自立，從而互不相關(guān)。4.31設(shè)()25,()36,VarXVarY==0.4XYρ=,求()VarXY+和()VarXY-.解：由

)

()(),(YVarXVarYXCOVXY=

ρ得

1236254.0)()(),(=??=?=YVarXVarYXCOVXYρ

由于),(2)()()(YXCOVYVarXVarYXVar±+=±所以851223625)(=?++=+YXVar

371223625)(=?-+=-YXVar

4.32設(shè)X聽從(0.5,0.5),cos,UYX-=求XYρ.解：因X聽從(0.5,0.5),U-所以()0EX=.于是有