第二章圓與方程核心專項練習第二章圓與方程核心專項練習一、選擇題1．過點總可以作兩條直線與圓相切，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【詳解】把圓的方程轉(zhuǎn)化成標準方程得.由，解得.又點應(yīng)在已知圓的外部，把點的坐標代入圓的方程得，即，解得或，則實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】考查點與圓的位置關(guān)系，二元二次方程為圓的條件及一元二次不等式的解法．2．方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的一個充分不必要條件是（）A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞)C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1]【答案】D【詳解】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得，若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓，則0，即﹣2＜k＜2.∴A，B為方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圓的既不充分也不必要條件，C為充要條件，而（0，1]?（﹣2，2），則D為充分不必要條件.故選：D.【點睛】考查了圓的一般方程，充分條件，必要條件.3．已知圓：，圓：，是橢圓：的半焦距，若圓，都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】把圓：，圓：化為標準式得，圓，圓，則圓和圓關(guān)于原點對稱.圓，都在橢圓內(nèi)等價于圓上的點都在橢圓的內(nèi)部，，解得，即.故選：.【點睛】考查圓與橢圓的位置關(guān)系，根據(jù)圖形找出臨界值，列出關(guān)于的不等式組即可求解.4．已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】圓心在上，圓心的縱橫坐標值相反，顯然能排除C、D；驗證：A中圓心到兩直線的距離是；圓心到直線的距離是．故A錯誤．故選：B．【點睛】考查圓的標準方程的判斷5．已知圓:，圓:．若圓存在一點，使得過點可作一條射線與圓依次交于、兩點，且滿足，則半徑的取值范圍是（）A．[5，55] B．[5，50] C．[10，50] D．[10，55]【答案】A【詳解】解：圓：的圓心為，半徑為.圓:的圓心為，半徑為.兩個圓的圓心距為.如圖：因為，可得的最大值為直徑，此時，.當半徑擴大到55時，此時圓上只有一點到的距離為25，而且是最小值，半徑再擴大，就不會滿足.故選：A.【點睛】考查兩個圓的位置關(guān)系，直線與圓的綜合應(yīng)用.6．已知圓過點，點在圓上，則面積的最大值為（）A．100 B．25 C．50 D．【答案】D【詳解】設(shè)圓的方程為，將代入可得，，解得.故圓的一般方程為，即，故的面積.面積的最大值為.故選：.【點睛】考查圓的一般方程.7．已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為線段的中點坐標為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即與直線方程聯(lián)立，得圓心坐標為.又圓的半徑，所以，圓的方程為，即.故選：C.【點睛】考查圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系.8．圓關(guān)于點對稱的圓的標準方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，因為點關(guān)于點對稱的點為，所以對稱圓的圓心為，又因為半徑不變，所以所求圓的標準方程為.故選：A【點睛】考查了圓的標準方程，點關(guān)于點的對稱點的求法，圓關(guān)于點的對稱圓.9．已知圓上存在點，使（為原點）成立，，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意,設(shè)則由,可得化簡變形可得所以的軌跡為以為圓心,以為半徑的圓由題意可知為與的公共點即兩個圓有公共點,由圓與圓的位置關(guān)系可知解得又因為所以故選:D10．直線與曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．以上都不正確【答案】B【詳解】解：由變形得曲線表示半圓，如圖，作半圓的切線和經(jīng)過端點的直線，由圖可知，當直線為直線或位于和之間(包括，不包括)時，滿足題意．∵與半圓相切，∴根據(jù)圓心到直線的距離為半徑得；當直線位于時，；當直線位于時，.∴的取值范圍是或.11．由曲線圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】曲線可化為，當時，解析式為，易知曲線關(guān)于x軸，y軸，原點均對稱，由題意，作出圖形如圖中實線所示，則此曲線所圍成的圖形由一個邊長為的正方形與四個半徑為的半圓組成，故所圍成圖形的面積是.故選：D.12．已知點和圓，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過軸反射到圓的最短路程是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】解:由題可知，圓,整理得,圓心,半徑最短距離即和圓的圓心關(guān)于軸對稱的點的距離再減去半徑的距離，所以.故選:C【點睛】考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系,考查兩點間的距離公式.多選題13．若將直線向右平移1個單位長度再向下平移1個單位長度，平移后的直線與圓相切，則c的值為（）A．14 B．-14 C．6 D．-6【答案】AD【詳解】將直線即向右平移1個單位長度再向下平移1個單位長度，平移后的直線方程為，即.由直線與圓相切，得，即，所以或.故選：AD.14．已知圓A、圓B相切，圓心距為10cm，其中圓A的半徑為4cm，則圓B的半徑為（）A．6cm B．10cmC．14cm D．18cm【答案】AC【詳解】令圓A、圓B的半徑分別為r1，r2，當兩圓外切時，r1＋r2＝10，所以r2＝10－r1＝10－4＝6；當兩圓內(nèi)切時，|r1－r2|＝10，即|4－r2|＝10，r2＝14或r2＝－6(舍)，即圓B的半徑為6cm或14cm.故選：AC．【點睛】考查圓與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交．圓與圓的位置關(guān)系：兩圓圓心距離為，半徑分別為，則相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含．15．若圓與圓相切，則m的值可以是A． B． C． D．【答案】AC【詳解】由題意，圓可化簡為，所以，圓的圓心坐標，半徑，圓的圓心坐標，半徑，所以，，所以，或，解得或.故選：AC.【點睛】考查兩圓的位置關(guān)系的判定16．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(﹣4，0)，點B是圓C：上任一點，點P為AB的中點，若點M滿足MA2＋MO2＝58，則線段PM的長度可能為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】BC【詳解】設(shè),點P為AB的中點，所以，代入圓C：，可得：，整理得：點P的軌跡方程為：設(shè)則，則易知當兩圓心和PM共線時取得最大值和最小值故選：BC.三、填空題17．已知圓的半徑為1，圓心在第一象限，與軸相切，與軸相交于，兩點，若，則該圓的一般方程是____________________.【答案】【詳解】根據(jù)，可得圓心到軸的距離為，故圓心坐標為，故所求圓的標準方程為，化為一般式是【點睛】考查了圓的一般方程和標準方程，當題目中易確定圓心坐標和半徑，求圓的一般方程時，直接將圓心和半徑代入圓的標準方程，再將標準方程轉(zhuǎn)化為一般方程即可.18．將圓沿x軸正方向平移2個單位后得到圓C，則圓C的標準方程為_______________．【答案】【詳解】由平移知識易得出答案為．19．已知圓，若存在圓C的弦，使得，且其中點M在直線上，則實數(shù)k的取值范圍是_____．【答案】【詳解】圓C的方程可化為，圓心，半徑，由于弦滿足，且其中點為M，則，因此M點在以為圓心，1為半徑的圓上，又點M在直線上，故直線與圓有公共點，于是，解得．故答案為：．20．已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則的最小值為___________【答案】9【詳解】圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0標準方程：圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0標準方程：因為圓C1、C2內(nèi)切，所以,即，（）==當且僅當時等號成立.解答題21．已知點P1（-+1,0）,P2（+1,0）,P3（1,1）均在圓C上.（1）求圓C的方程;（2）若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長;（3）設(shè)過點（-1,0）的直線l與圓C相交于M,N兩點,試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過原點O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.【答案】（1）（x-1）2+（y+2）2=9；（2）；（3）x=-1和y=x+1.【詳解】解:（1）∵點P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圓C上,∴圓心C的橫坐標為1,設(shè)圓C的方程為(x-1)2+(y-b)2=r2,則解得∴圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9.（2）圓C的圓心坐標為(1,-2),半徑為3,圓心到直線3x-y+1=0的距離為d=.∴直線3x-y+1=0被圓C截得的弦AB的長為2.（3）存在直線l滿足題意.理由如下,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意,知OM⊥ON,且OM,ON的斜率均存在,①當直線l的斜率不存在時,可得直線l的方程為x=-1,則M(-1,-2),N(-1,--2),滿足x1x2+y1y2=0,∴直線l:x=-1滿足條件;②當直線l的斜率存在時,可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,則x1+x2=-,x1x2=,∴kOM·kON=-1,則=-1,即x1x2+y1y2=0.由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1,∴直線l的方程為y=x+1.綜上可知,存在滿足條件的直線l:x=-1和l:y=x+1.22．已知直線，圓．（1）求證：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒相交于兩點；（2）當直線被圓截得的線段最短時，求線段的最短長度及此時的值．【答案】（1）證明見解析；（2），.【詳解】（1）直線，必過直線與直線的交點．聯(lián)立方程，解得，所以直線過定點．，即點在圓內(nèi)，直線與圓C恒相交于兩點.（2）當直線被圓截得的線段最短時，直線垂直．，直線l的斜率，則，解得．此時，弦長.23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）【詳解】圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所