第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動所遵從的力學(xué)規(guī)律，實際上是質(zhì)點運動的基本概念和原理在剛體中的應(yīng)用。重要的概念有轉(zhuǎn)動慣量和力矩。剛體的動能和角動量都有其特殊的表達式，但守恒定律同樣適用于包括剛體的系統(tǒng)?！?剛體的運動一剛體剛體是固體物件的理想化模型。實際的固體在受力作用時總是要發(fā)生或大或小的形狀和體積的改變。如果在討論一個固體的運動時，這種形狀或體積的改變可以忽略，我們就把這個固體當(dāng)做剛體處理。這就是說，剛體是受力時不改變形狀和體積的物體。剛體可以看成由許多質(zhì)點組成，每一個質(zhì)點叫做剛體的一個質(zhì)元，剛體這個質(zhì)點系的特點是，在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。既然是一個質(zhì)點系。所以關(guān)于質(zhì)點系的基本定律就都可以應(yīng)用。當(dāng)然，由于剛體這一質(zhì)點系有其特點，所以這些基本定律就表現(xiàn)為更適合于研究剛體運動的特殊形式。二剛體的運動形式剛體的運動可以是平動、轉(zhuǎn)動或二者的結(jié)合。如果剛體在運動中，連結(jié)體內(nèi)兩點的直線在空間的指向總保持平行，這樣的運動就叫平動。在平動時，剛體內(nèi)各質(zhì)元的運動軌跡都一樣，而且在同一時刻的速度和加速度都相等。因此在描述剛體的平動時，就可以用一點的運動來代表，通常就用剛體質(zhì)心的運動來代表整個剛體的平動。平動是剛體的基本運動形式之一。轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一，它又可分為定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動：運動中各質(zhì)元均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線(轉(zhuǎn)軸)上。定點轉(zhuǎn)動：運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。剛體不受任何限制的的任意運動。它可分解為以下兩種剛體的基本運動：隨基點(可任選)的平動，繞通過基點的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動。三剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動是最簡單的轉(zhuǎn)動情況。在這種運動中各質(zhì)元均做圓周運動，而且各圓的圓心都在一條固定不動的直線上，這條直線叫轉(zhuǎn)軸。剛體繞某一固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)元作圓周運動的軌道半徑不同，所以各質(zhì)元的線速度、加速度一般是不同的。但由于各質(zhì)元的相對位置保持不變，所以描述各質(zhì)元運動的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。因此描述剛體整體的運動時，用角量最為方便。描述剛體轉(zhuǎn)動的角量也是矢量。但對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，角矢量的方向只有兩個。因此，對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，角量可以用標(biāo)量來描述，角量的正負(fù)代表角矢量的兩個方向。1.角坐標(biāo)角坐標(biāo)是描述剛體在某一時刻的角位置的物理量。如圖3—1—1所示，剛體上P點相對于參考方向的角度?？梢杂脕砻枋鰟傮w的轉(zhuǎn)動的位置，稱為角坐標(biāo)。注意：角坐標(biāo)是有正負(fù)之分的。.角位移角位移定義為剛體在At時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，即角位置的變化A9=9(3—1—1)對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，角位移是有正負(fù)之分的。角位移的正負(fù)代表剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的兩個方向。.角速度如圖3—1—1所示，剛體在時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為，則剛體的平均角速度為A9一 、3=——AtA9 (3—1—2)At平均角速度的極限定義為角速度

(3—1—3)3二(3—1—3)At—0 At—0Atd對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，角速度是有正負(fù)之分的。角速度的值為正，代表剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的方向沿角位置的正方向；角速度的值為負(fù)，代表剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的方向沿角位置的正方向的反方向。實際上，為了反映剛體轉(zhuǎn)動軸的方向及剛體轉(zhuǎn)動的快慢和轉(zhuǎn)向，角速度可以定義為矢量而。其大小為(3—1—4)方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋關(guān)系，如圖3—1—2所示。.角加速度如圖3—1—1所示，剛體的角加速度為A3d3d26a=lim——=——二—— (3—1—5)at—0At dtdt2對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，角加速度是有正負(fù)之分的。角加速度的值為正，代表剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的方向沿角位置的正方向；角加速度的值為負(fù)，代表剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的方向沿角位置的正方向的反方向。圖3—1圖3—1—1剛體的定軸轉(zhuǎn)動圖3—1—2角速度方向.線量和角量的關(guān)系如圖3—1—1所示，離轉(zhuǎn)軸的距離為廠±的質(zhì)元的線速度與剛體的角速度的關(guān)系為—>—?—>v=3Xr (3—1—6)對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，可以表示為標(biāo)量形式v=3r (3—1—7)離轉(zhuǎn)軸的距離為r1的質(zhì)元的加速度與剛體的角加速度和角速度的關(guān)系為d3 ———d3八八a=ra=r—,a=r32,a=a+a=r—t+r32n (3—1—8)t工工dtn1 tnddt例1如圖，一條纜索繞過一定滑輪拉動一升降機，滑輪半徑r=0.5m，如果升降機從靜止開始以加速度a=0.4m/s2勻加速上升，假設(shè)纜索和滑輪之間不打滑。求：(1)滑輪的角加速度。(2)開始上升后，t=5s末滑輪的角速度。⑶在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。(4)開始上升后，〃=15末滑輪邊緣上一點的加速度。解：(1)由于升降機的加速度與輪緣上一點的切向加速度相等。可得滑輪的角加速度為a a0.4八” ?、a=-(-=—= =0.8(raJ52)r r0.5(2)勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動，/=5s末滑輪的角速度為①。=5s)=fQLdt=aA?=0.8x5=4(rad/s)0(3)勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動3⑺=jadt=at+C當(dāng)t=0時，co=0,則。=03Q)=at在/=5s內(nèi)，滑輪轉(zhuǎn)過的角度A0=fs⑴dt=jcud?=；x0.8x52=10(ratZ)0 0與此相應(yīng)的圈數(shù)是AON=——(4)如圖，勻角加速度定軸轉(zhuǎn)動，可得力=心末滑輪的角速度為co/=ar/=0.8x1=0.8(rtzds')由此得輪緣上一點的法向加速度的大小為a=廠①/=0.5xO.82=0.32(zn/s2)n而切向加速度大小為a=a=OAm/52由此壽輪緣上一點的加速度的大小為a/=Ja2+a2=^0.322+0.42=0.51(m/52),nt加速度的方向與輪緣切線方向的夾角a 0.32_o_p=arctan—=arctan =38.7。a 0.4

§2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體是質(zhì)點系，應(yīng)該遵守質(zhì)點系的一般運動規(guī)律。但由于剛體這一質(zhì)點系的特殊性，質(zhì)點系中，各質(zhì)元的角量相同，使得剛體運動還遵守一些特殊的運動規(guī)律。尤其對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，運用這些特殊的運動規(guī)律處理問題會更加簡單。一剛體的定軸轉(zhuǎn)動慣量如圖3—2—1所示，剛體對某一固定轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動慣量定義為剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中各質(zhì)元的質(zhì)量和它們各自離該轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的總和。圖3—2平方的乘積的總和。圖3—2—1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動慣量圖3—2—2平行軸定理對于質(zhì)點系，對固定轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量為J=J=EAmr2 (3—2—1)z ii1i對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，對固定轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量為J=J=)r2dm (3—2—2)有時，”把剛體對固定轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量直接寫為J=ZAmr2,J=』r2dm (3—2—3)iii要注意r和r的含義是質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。i剛體對固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量相對于軸的分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。如果把剛體分成若干部分，每一部分分別計算對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，則剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量是各個部分對該軸轉(zhuǎn)動慣量的算術(shù)和J=ZJ (3—2—4)i這稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量的可疊加性。如圖3—2—2所示，設(shè)剛體的總質(zhì)量為m、質(zhì)心為。，剛體通過質(zhì)心的某軸Z的轉(zhuǎn)動慣量為J。如有另一與Z軸平行的任意軸Z/,兩軸間的垂直距離為d。則剛體對Z/軸的轉(zhuǎn)C動慣量為J=J+md2 (3—2—5)這稱為平彳行軸定理。二剛體對固定轉(zhuǎn)軸的角動量剛體在繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動過程中，質(zhì)元只能在各自轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動。如圖3—2—3所示，質(zhì)元Ami的速度［在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，而且沿著圓軌道的切線方向，匕=vf。質(zhì)元對O點的角動量為

L=Amrxv=Am（r+干）x/=Amvvi：+Amvvri （3—2—6）i iii ii±i// it ii±i ii//ii式中，干、干分別是質(zhì)元位置矢量干在垂直和平行于轉(zhuǎn)軸z方向的投影；n是由質(zhì)元指向i± i// i i質(zhì)元圓周軌道圓心的單位矢量；z是沿轉(zhuǎn)軸z方向的單位矢量。將所有質(zhì)元對華點的角動量取矢量和，就是剛體對。點的角動量L=乙L=（乙Amvv）Z+乙Amvvri （3—2—7）i ii±i ii//iiEi i iv）Z是沿著轉(zhuǎn)軸ii//ii.. Amvvrv）Z是沿著轉(zhuǎn)軸ii//iiii的?？談傮w在定軸轉(zhuǎn)動過程中的某一時《所有質(zhì)元的角速度相同，所以（乙Amvv）Z=（乙Am223）Z=（乙Am22）①Z=J3Z （3—2—8）TOC\o"1-5"\h\zii±i ii± ii± zii i式中，J是剛體對轉(zhuǎn)軸Z的轉(zhuǎn)動慣量。定義剛體在定軸轉(zhuǎn)動過程中對固定轉(zhuǎn)軸的角動量為L-（乙Amv2）3Z=J3Z （3—2—9）Z ii1 Zi圖3—2圖3—2—3剛體對固定轉(zhuǎn)軸的角動量圖3—2—4外力對剛體固定轉(zhuǎn)軸的力矩三和外力對剛體固定轉(zhuǎn)軸的力矩如圖3—2—4所示，作用在質(zhì)元Ami的外力為￡,它對O的力矩為M=rxFM=rxF=(r+iii i1-rxF+rx—> —> —> —> —>：)x(F+F)=(—+—)x(F+F+F)i// i1 i// i1 i//itini//— — — —'+rxF+rxF+rxF+rxFini1i//i//iti//ini//i//(3—2—10)式中，—i「—i〃分別是質(zhì)元位置矢量—在垂直和平行于轉(zhuǎn)軸方向的投影；F」、￡〃分別是外 ― — — —力Fi在垂直和平行于轉(zhuǎn)軸方向的投影；Ft、F，分別是外力垂直于轉(zhuǎn)軸的分量F1在質(zhì)元圓周軌道切向和徑向的投影。 "‘" "xxFxxF-vfni//iti//itixxF-vFZi1iti1itrxF=0,rxF—vFt,i//i// i//ini//inixxF-vFt,rxF=0,i1 i//i1i//ii1in因此，質(zhì)元Ami的外力為F.,它對O的力矩化為(3—2—11)M —- xF -(vFt+(3—2—11)iiii//in ii//itii1i//ii1it式中，n是轉(zhuǎn)動平面圓周軌道徑向的單位矢量；無是轉(zhuǎn)動平面圓周軌道切向的單位矢量；Zi i是沿轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量。

將所有質(zhì)元受到的外力對'點的力矩取矢量和，就是剛體對答的和外力矩M=ZM=ZrxF=Z(rFT+rFn+rFT)+(ZrF)Z(3—2—12)i ii i//ini i//itii±i//i i±it其中，Z(rFT+rFn+rFT)的方向是在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，即垂直于轉(zhuǎn)軸的，對剛體i//ini i//itii±i//i的定軸轉(zhuǎn)動沒有貢獻，只能引起軸的形變；(ZrF)Z是沿著轉(zhuǎn)軸的，它左右剛體的定軸i±it轉(zhuǎn)動。定義剛體在定軸轉(zhuǎn)動過程中外力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩為M=(\rF)定義剛體在定軸轉(zhuǎn)動過程中外力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩為M=(\rF)Z(3—2—13)z i，it 、,由于z，/、z1n，所以，M?z=ZrF，因此和外力對固定轉(zhuǎn)軸的力矩可表示為i i\,M=(M?z)z=[(ZM)?z]z==(ZMr)?Z=(ZrxF)?Z、i上it[(ZrxF)?Z]zii(3-2-14)(3—2—15)這里要說明的是，在上面的討論中，我們對質(zhì)元的速度矢量、位置矢量、外力矩矢量的分解是不同的。由于剛體作定軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)元只能在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動，速度矢量匕.沒有沿軸分量，垂軸分量中只有切向分量，沒有徑向分量；質(zhì)元的位置矢置有沿軸分量，,垂軸i分量是沿徑向的，沒有切向分量；而質(zhì)元受到的外力F.，可能是三維空間矢量，三個方向I的分量可能都不為零。四剛體定軸轉(zhuǎn)動定律如圖3—2—5所示，剛體在外力ZF作用下，繞固定軸z轉(zhuǎn)動。將剛體對O點的力矩i和角動量表達式代入質(zhì)點系角動量定理Z(rFT+rFn+rFf)+(ZrF)z(3—2—16)=-[(ZAmrv(3—2—16)=-[(ZAmrv)]z+—[ZAmrvn]

dt ii1idt ii〃iiii由于徑向單位矢量ni對時間的微分結(jié)果是切向方向，所以上式中的第4項只有徑向和切向分量，而沒有沿軸分量；上式中的第1項只有徑向和切向分量，而沒有沿軸分量；第2項、第3項只有沿軸分量，因此上式的分量形式為Amrvri]ii//ii(3—2—17)ZAmrvri]ii//ii(3—2—17)i//inii//itii1i//i(ZrF)z=d(ZrF)z=d[(Zamrv)]z

i1itdt ii1i二d[(Z

dtAmr2)w]z(3—2—18)第1式，垂軸分量式，只說明在剛體定軸轉(zhuǎn)動過程中，轉(zhuǎn)軸會變形，沒有利用價值；由第2式以及剛體對固定轉(zhuǎn)軸的角動量和和外力對剛體固定轉(zhuǎn)軸的力矩的定義，可得M=與 (3—2—19)zdt這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動定律。由于L=J^，所以剛體定軸轉(zhuǎn)動定律還可以表達為M=J?=Ja (3—2—20)zdti圖3—圖3—2—5剛體定軸轉(zhuǎn)動定律例1如圖所示，長度為L，質(zhì)量為m的均勻 細(xì)棒AB，在B端粘有質(zhì)量為M、大小可以 L1不計的小球。求整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量：（1）對于通過棒的a端與棒垂直的軸； Ai ; IQB（2）對于通過棒的中點C與棒垂直的軸； 1（3）對于通過棒的B端與棒垂直的軸。解：（1）如圖所示，沿捧長方向取了軸。取任一長度元dx，棒單位長度的質(zhì)量P=m/L，則這長度元的質(zhì)量為dm=pdx=mdxL對于在棒的A端的軸來說，棒的轉(zhuǎn)動慣量為r I*Jf.m, 1xx+dxJ=x2dm=Jx2—dx=—mLxx+dxAm L30B端小球?qū)端的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=MLAM所以，整個系統(tǒng)對A端的軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=J+J=1mL+MLAAmAM3CmAm（2）棒的中點C就是棒的質(zhì)心。由平行軸定理，棒對中點C的軸的轉(zhuǎn)動慣量為CmAm2=^mL——mL=—mL

3 4 12B端小球?qū)χ悬cC的軸的的轉(zhuǎn)動慣量為J=M（L）2=1ML2cm2 4整個系統(tǒng)對中點C的軸的轉(zhuǎn)動慣量為JCJCm+JCMJCJCm+JCM=—mL2+1ML212（3）棒對B端的軸的轉(zhuǎn)動慣量為1JBm=JAm=3B端小球?qū)端的軸的的轉(zhuǎn)動慣量為JBM=0整個系統(tǒng)對B端的軸的轉(zhuǎn)動慣量為JB=JBm+JBM=3心例2如圖所示，一個質(zhì)量為M，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上。另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，繩不可伸長。求物體下落的加速度，滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度，繩中的張力。分析：繩與滑輪之間有摩擦力，等于繩子的張力，正是這個力帶動滑輪轉(zhuǎn)動?；喛梢钥醋鲃傮w，如果取滑輪的轉(zhuǎn)軸為剛體的轉(zhuǎn)軸，則繩子對滑輪的作用力垂直于轉(zhuǎn)軸并在滑輪轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，該力到轉(zhuǎn)軸的垂直距離就是滑輪的半徑?；嗊€受到重力和桿的支撐力，但它們都過轉(zhuǎn)軸，對轉(zhuǎn)軸的力矩為零。繩子不可伸長，滑輪邊緣質(zhì)元的切向加速度與重物的加速度相等。解：圖中繩子對物體的拉力與繩子的張力大小相等To對定滑輪M，由轉(zhuǎn)動定律，對于軸O，有

RT=M=Ja=1MR2az2對物體m，由牛頓第二定律，有mg一T=ma滑輪與物體的運動學(xué)關(guān)系為a=Ra聯(lián)立解以上三式，可得物體下落的加速度為mm+M/2"滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度為TOC\o"1-5"\h\za m/Ra=-= gRm+M/2繩子的張力為mmM/4T= g2m+M§3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能一力矩的功在剛體轉(zhuǎn)動時，作用在剛體上某點的力做的功仍用此力和受力作用的質(zhì)元的位移的標(biāo)量積來定義。但對于剛體這個特殊質(zhì)點系，在轉(zhuǎn)動中力做的功可以用一個特殊形式表示。如圖3—3—1所示，一剛體的某個轉(zhuǎn)動平面與其轉(zhuǎn)軸正交于O/點，F(xiàn)為作用在剛體此—>轉(zhuǎn)動平面上P點的外力。力F做的元功為dA=F-dr (3—3—I)由于剛體作定軸轉(zhuǎn)動，d—的方向只能在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，而且沿著圓周切線方向，dr=dr=drf。因此匕TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1\o"CurrentDocument"―— — —dA=F?dr=(F+F+F)?drt=Fdr (3—3—2)\o"CurrentDocument"http:// n t 1t1當(dāng)剛體繞轉(zhuǎn)軸有一角位移d9時，力F做的元功為dA=Frd9=Md9 (3—3—3)式中，Mz就是力F對轉(zhuǎn)軸的力矩。圖3—3圖3—3—1外力矩對剛體作的功對于有限的角位移，力做的功應(yīng)該用積分求得(3—3—4)A=fdA(3—3—4)z9上式常叫力矩的功，它就是力做的功在剛體定軸轉(zhuǎn)動中的特殊表示形式。二剛體的動能圖3—圖3—3—2剛體的動能如圖3—3—2所示，當(dāng)剛體以角速度①轉(zhuǎn)動時，其內(nèi)部質(zhì)量為Am,的質(zhì)量元在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動，質(zhì)元運動速度的方向沿著圓周軌道的切線方向，速度的大小為肘二r① (3—3—5)該質(zhì)元的動能為1AE=—Amv2=_Amr2①2(3—3—6)ik2ii2id整個剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能為EkyEk、 1 (3—3—7)=—(乙Amr2后2= Jto2s2式中，J=￡Amr2為剛體對該固定轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量。ii1這個關(guān)于定軸轉(zhuǎn)動的剛體的轉(zhuǎn)動動能公式與質(zhì)點的動能公式相似。這里的轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于質(zhì)點的質(zhì)量，角速度相當(dāng)于質(zhì)點的速度。三剛體的重力勢能如果一個剛體受到保守力的作用，也可以引入勢能的概念。例如在重力場中的剛體就具有一定的重力勢能，它的重力勢能就是它的各質(zhì)元重力勢能的總和。如圖3^—3所示，對于一個不太大，質(zhì)量為m的剛體，重力勢能為E=ZE』mJgZamh(3—3—8)ii ii(3(3—3—9)所以剛體的重力勢能為E=mgh (3—3—10)這一結(jié)果說明，。一個不太大的剛體的重力勢能與它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的重力勢能一樣。圖3—3—3剛體的重力勢能四剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理質(zhì)點系的動能定理是由牛頓第二定律導(dǎo)出的，當(dāng)然也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體。把質(zhì)點系的動能定理應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，由于剛體內(nèi)各質(zhì)元間的相互作用力不做功(做功為零)，即Aint=0。而外力的功A.,可用力矩的功表示。再應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動動能公式，由質(zhì)點系的動能定理可得 m￥Md9=A=E一E=-Jto2-1Jto2 (3—3—11)z 2k 1k2221°1

這一公式可稱之為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。它說明，合外力矩對一個繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。五機械能守恒對于包括有剛體的系統(tǒng)，如果在運動過程中，只有保守內(nèi)力做功，則該系統(tǒng)的機械能應(yīng)該守恒。例1如圖所示，一均勻細(xì)桿，質(zhì)量為m，長為乙，可繞固定的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。使細(xì)桿從水平靜止?fàn)顟B(tài)開始轉(zhuǎn)動，求當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，細(xì)桿轉(zhuǎn)動的角速度。分析：討論此捧的運動時，不能再把它看成質(zhì)點，而應(yīng)作為剛體轉(zhuǎn)動來處理。如果以細(xì)桿為研究對象，細(xì)桿在下落過程中，受到的外力是重力和轉(zhuǎn)軸對細(xì)桿的支持力。其中只有重力的力矩對細(xì)桿作功；支持力過軸，對軸的力矩為零，不做功。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理，可知重力對細(xì)桿作的功等于細(xì)桿轉(zhuǎn)動動能的增量。如果以細(xì)桿和地球為研究對象，細(xì)桿在下落過程中，受到的外力是轉(zhuǎn)軸對細(xì)桿的支持力，支持力過軸，對軸的力矩為零，不做功。重力的力矩對細(xì)桿作功，但它是保守內(nèi)力的力矩。細(xì)桿在下落過程中，機械能守恒。解一：如圖，以細(xì)桿為研究對象，細(xì)桿在下落過程中，只有重力這一外作功。細(xì)桿的質(zhì)心。，位于桿的中點。在細(xì)桿由水平位置轉(zhuǎn)過。角時，重力對轉(zhuǎn)軸的力矩為1rcM=—mgLoSz2在此位置，下轉(zhuǎn)d9時，重力力矩做功dA=Md9=LmgLcos9d9z2細(xì)桿由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置，重力力矩做功TOC\o"1-5"\h\z1 J/2 1A=JdA=Md9=2mgLJcos9d9=^mgL由動能定理J32-0=A=—mgL2 2而細(xì)桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為7 1入J=—mL3細(xì)桿由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置時的角速度為解二：以細(xì)桿和地球為研究對象，只有重力這一保守內(nèi)力的力矩對細(xì)桿作功，機械能守恒。剛體的重力勢能等于剛體質(zhì)量完全集中在質(zhì)心時質(zhì)點的重力勢能。勢能取細(xì)桿水平位置時，細(xì)桿的重力勢能為零0+0=(-2mgL)+2J32…飛牛飛3g解三：以細(xì)桿和地球為研究對象，由轉(zhuǎn)動定律得到d3 ^d9d3*d3mgLcos9=M=Ja=J=J=J3z dtdtd9 d9mgLcos9d9=2J3d3mgLJK/2cos9d9=2JJ33d30 0mgL=J32

§4剛體對定軸的角動量守恒剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，應(yīng)該具有角動量。在第二節(jié)中已經(jīng)敘述過，當(dāng)一剛體繞一定軸以角速度3轉(zhuǎn)動時，它繞該軸的角動量為L=Jcoz而且可以將剛體定軸轉(zhuǎn)動定律表示為其中，J=zAmr2為剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量，ii1而且可以將剛體定軸轉(zhuǎn)動定律表示為idLM=zzdt此式說明，剛體所受的外力矩等于剛體角動量的變化率。在上式中，如果外力矩M=0，則剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量不變，即L=常量 z—>注意：外力矩為零，可以是r=0；也可以是f=0；還可能是轉(zhuǎn)軸與外力平行。由于剛體的角動量等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積。定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量的情況有兩種：對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，由于剛體不變形，其轉(zhuǎn)動慣量J為常數(shù)，其角速度3為常數(shù)，3=30。剛體在受合外力矩為0時，原來靜止則保持靜止，原來轉(zhuǎn)動的將永遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動下去。對于定軸非剛體，轉(zhuǎn)動慣量是變化的，當(dāng)它受的外力矩為零時，角動量守恒，即J和3讓一個人坐在有豎直光滑軸的轉(zhuǎn)椅的乘積保持不變，J3=C。這樣，它的角速度可能發(fā)生變化。讓一個人坐在有豎直光滑軸的轉(zhuǎn)椅上，手持啞鈴，兩臂伸平，用于推他，使他轉(zhuǎn)起來。當(dāng)他把兩臂收回使啞鈴貼在胸前時，他的轉(zhuǎn)速就明顯地增大，如圖3—4-1所示。這個現(xiàn)象可以用角動量守恒解釋。把人住兩臂伸平時和收回