專題01數(shù)與式的運(yùn)算

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是

零.即：

Q,Q〉0,

|。|=<0,4=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)6之間的距離.

典型考題

【典型例題】

閱讀下列材料：

我們知道W的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)％對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即國(guó)=次一（）|,也就是說(shuō)，國(guó)表示在數(shù)軸

上數(shù)X與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為％-七|表示在數(shù)軸上數(shù)X,與數(shù)x2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間

的距離；

例1解方程|X|=2.因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程|打=2的解為尤=12.

例2解不等式口一1|>2.在數(shù)軸上找出|x—1|=2的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2

的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為x=-1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集為xv—

1或x>3.

?r-；士T-I.

-2-101234

例3解方程|X-1|+|X+21=5.由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之

和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X的值.因?yàn)樵跀?shù)軸上1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3（如圖），滿足方程的X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

1的右邊或一2的左邊.若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得x=2；若％對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一2的左邊，可得x=-3,

因此方程Ix—11+|x+2|=5的解是x=2或x=-3.

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：

(1)方程Ix+2|=3的解為；

(2)解不等式：|X-2|<6；

(3)解不等式：|x-3|+R+4|>9；

(4)解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

「I**-------------------------［4］一］與■

-2012

【變式訓(xùn)練】

實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡(jiǎn)，/+|。-引一|5一0.

【能力提升】

(%+y=5+a

已知方程組(僅-y=10-6a的解八丁的值的符號(hào)相同.

(1)求a的取值范圍；

(2)化簡(jiǎn)：|2a+2|-2|a-3|.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+份(。一匕)=。2-/；

(2)完全平方公式(。±份2=/±2而+/?2.

我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式3+6)(>-而+：)=。3+—;

(2)立方差公式(a—與(/+。分+/)=/—/；

(3)三數(shù)才口平方公式(a+3+c)2-a2+b2+c2+2(a/?+/7c+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=^+34%+3a廿+/；

2

(5)兩數(shù)差立方公式(。-bp=/-3。％+3加一優(yōu)

典型考題

【典型例題】

(1)計(jì)算：(一；)+2016°+(—2)3+(-2產(chǎn)

(2)化簡(jiǎn)：(a+2b)(a—2/?)—伍—2與2

【變式訓(xùn)練】

計(jì)算：

(1)(萬(wàn)一3.14)°+(—4)2—(；)二

(2)(x—3)2—(x+2)(光—2)

【能力提升】

已知l(/=a,5*=8，求：

(1)50r的值；

(2)2,的值；

(3)20'的值.(結(jié)果用含“、〃的代數(shù)式表示)

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

一般地，形如癡(。20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子

稱為無(wú)理式.例如紜+行工+?,4/2+七等是無(wú)理式,而近X?+當(dāng)x+T,x2+yflxy+y2,

等是有理式.

1.分母(子)有理化

3

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入

有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如-J2與V2,3G與,3+\[6與6-6,2#-3-72

與2代i+3正，等等.一般地，°右與47,久萬(wàn)與。石一〃6，a6+b與a&-b互

為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

yfay[b=4ab（a>0,b>Q）-,而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有

理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同

類二次根式.

2.二次根式的意義

a,a>0,

y/a^=\a\='

-a,a<Q.

典型考題

【典型例題】

計(jì)算下面各題.⑴(V6-2V15)X73-6^1;

(2)4x+2J2x—-\/Sx-4,x/x

【變式訓(xùn)練】

小穎計(jì)算屏十（七+七]

時(shí)，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計(jì)算:

解：原式=J=+J=

v3>/5

4

=岳義幣+岳父下

=3邪+5+.

她的解法正確嗎？若不正確，請(qǐng)給出正確的解答過(guò)程.

【能力提升】

先化簡(jiǎn)，再求值：（生^-上）+仁生，其中a=&+后，b=,/2-^.

a+ba-ba+b

高中必備知識(shí)點(diǎn)4：分式

1.分式的意義

形如4的式子，若8中含有字母，且則稱4為分式.當(dāng)加加時(shí)，分式4具有下列性質(zhì):

BBB

A_AxM

「一BxM'

A_A^M

~B~B^M'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像絲等史這樣分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

典型考題

【典型例題】

x+]x+2+x

先化簡(jiǎn)，再求值（士一士）.:，其中x滿足好+工-1=0.

xx-1x-2x+l

【變式訓(xùn)練】

5

，34x2-4xy+y2

化簡(jiǎn)：一-~4-(4x2—y2)

【能力提升】

已知：11z,則黑糕的值等于多少？

專題驗(yàn)收測(cè)試題

1.下列計(jì)算結(jié)果為〃的是（)

A.。叼/（存0）B.a2，。

C.-3a?+(-2a)2D.，-〃2

2.如圖，將圖1中陰影部分拼成圖2,根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗(yàn)證下列哪個(gè)計(jì)算公式（）

圖1

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a+b)2=(a-b)2+4ab

3.下列計(jì)算正確的是（)

A.―+^三爐B.C.(-%2)3=必D.

4.下列計(jì)算正確的是（)

A.a3+a4=a7B.a4*a5=a9C.4,n*5m=9mD.a3+a3=2a6

5.下列幾道題目是小明同學(xué)在黑板上完成的作業(yè)，他做錯(cuò)的題目有（）

?a3jra'1=a2@(2a3)2=4/③(L步)3=④2-5=J_⑤(。+人)2=&+心

2632

A.2道B.3道C.4道D.5道

6.如圖是一個(gè)圓，一只電子跳蚤在標(biāo)有數(shù)字的五個(gè)點(diǎn)上跳躍.若它停在奇數(shù)點(diǎn)上時(shí)，則一次沿順時(shí)針?lè)较?/p>

跳兩個(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上時(shí)，則下一次沿逆時(shí)針?lè)较蛱粋€(gè)點(diǎn).若這只跳蚤從1這點(diǎn)開(kāi)始跳，則經(jīng)過(guò)2019

次跳后它所停在的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為（）

6

1

A.1B.2C.4D.5

7.下列計(jì)算中，正確的是

2362

A.V4=±2B.|cz|>aC.a-a=aD.-i=1

8.下列從左到右的恒等變形中，變形依據(jù)與其它三項(xiàng)不同的是()

A.18x[1-1]=18x--18xi

V36)36

B.2(x-y)=2r-2y

八x-0.110x-l

c.-----=------

0.33

D.a(/?-1)=ab-a

9.下列運(yùn)算正確的是()

A.a5-A=〃B.6x3y2-?(-3x)2=2xy2

D.(-2a)3=-8a3

10.下列運(yùn)算：其中結(jié)果正確的個(gè)數(shù)為()

①〃2?。3=〃6②(/)2=於③(ab)3=a3b3@a5^-a5=a

A.1B.2C.3D.4

11.當(dāng)a,b互為相反數(shù)，則代數(shù)式a2+ab-2的值為.

12.已知a2+2a=-2,則2a(2a+1)+(。+4>的值為

13.計(jì)算：(-2)239x0.52018=

x=2[ax-\-by=2

14.已知1個(gè)是方程組<「的解，則a2-b?=

y=-3[bx+ay=3

x+3y=I—2a

15.已知關(guān)于x、y的方程組1.,則代數(shù)式3劣9，=—.

x-y=2a-3

16.計(jì)算：(x-y)?,(y-x)3+(y-x)4*(x-y)=

17.張老師在黑板上布置了一道題：

7

11

化簡(jiǎn)：2(x+l)2—(4X-5),并分別求出當(dāng)x=5和X=—2時(shí)代數(shù)式的值.

小亮和小新展開(kāi)了下面的討論，你認(rèn)為他們兩人誰(shuí)說(shuō)得對(duì)？并說(shuō)明理由.

18.先化簡(jiǎn)，再求值：(x+2)(x-2)+(2%-1尸-4x(x-1),其中x=2g.

19.已知an——3(a>1),求(a-)x(a~H—-)x(a4H——)x(a---)~的值.

aaa~aa

20.請(qǐng)你將下式化簡(jiǎn)，再求值：(x+2)(x-2)+(x-2)2+(x-4)(x-1),其中爐-3工=1.

21.已知一組有規(guī)律的等式，它的前三項(xiàng)依次為：2-x2=2—+23,^x3=3=+34，彳乂44=彳+4,…，

112233

(1)寫出第5個(gè)等式；

(2)寫出第〃個(gè)等式，并證明該等式成立.

22.老師在黑板上寫出三個(gè)算式:32-l=8xl,92-52=8x7,132-72=8x15。李剛接著也寫了兩個(gè)具有同樣規(guī)律的

算式:“2一32=8x14,152-112=8x13,

(1)請(qǐng)你再寫出兩個(gè)(不同于上面算式)具有上述規(guī)律的算式

(2)用文字寫出反映上述算式的規(guī)律

(3)證明這個(gè)規(guī)律的正確性

8

專題02分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求

根法及待定系數(shù)法.

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法

要點(diǎn)一、十字相乘法

利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式f+hx+c,

「1pq=c9/-、

若存在〈,則x+bx-\-c=[x+p)\x+q).

p+q=b

要點(diǎn)詮釋：(1)在對(duì)+c分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)c的正、負(fù)入手，若。>0,

則〃、9同號(hào)(若c<0,則〃、q異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)/?的正負(fù)再確定〃、q的符號(hào)；

(2)若f+^+c中的反c為整數(shù)時(shí)，要先將c分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看

這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于〃，直到湊對(duì)為止.

要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法

在二次三項(xiàng)式辦2+/+C(〃力0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)Q可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即

a=a1a2,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，c=c1c2,把q,avq,c2排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到。]。2+。2仇，若它正好等于二次三項(xiàng)式雙？+加+。的一次項(xiàng)系數(shù)〃，即

2cl=b,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式4%+q與a2x+c2之積，即

1

ax+foY+c=(a1x+c1)(df2x4-c2).

要點(diǎn)詮釋：(1)分解思路為“看兩端，湊中間”

9

(2)二次項(xiàng)系數(shù)a一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)

里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.

典型考題

【典型例題】

閱讀與思考：將式子公-6%+8分解因式.

法一：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.

由公+(p+q)x+pq=(%+p)(x+q)得(x+p)(x+q')=x2+(p+q)x+pq,.

分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)8=(-2)x(-4),一次項(xiàng)系數(shù)-6=(-2)+(-4),

所以,-6%+8=/+[(-2)+(-4)]*+(-2)*(-4).

解：x2-6%+8=(%-2)(%-4).

法二：配方的思想.X2-6X+8

=X2-6X+9-9+8

=(x-3)2-1

=(x-3+1)-(x-3-1)

=(x-2)-(x-4)

請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：

(1)用兩種方法分解因式：X2-]0X+21.

(2)任選一種方法分解因式：(X2-6)2-2(X2-6)-3

【變式訓(xùn)練】

閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+(m+n)x+mn的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的

一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).

例如：X2+5X+6=X2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3).

運(yùn)用上述方法分解因式：

1()

(1)X2+6X+8；

(2)x2-x-6；

(3)x2-5xy+6y2；

(4)請(qǐng)你結(jié)合上述的方法，對(duì)多項(xiàng)式x3-2x2-3x進(jìn)行分解因式.

【能力提升】

由多項(xiàng)式的乘法：(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用，即可得到用“十字相乘法”進(jìn)行因

式分解的公式：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

實(shí)例分解因式：X2+5X+6=X2+(2+3)X+2X3=(X+2)(X+3).

(1)嘗試分解因式：x2+6x+8；

(2)應(yīng)用請(qǐng)用上述方法解方程：X2-3X-4=0.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法

1.提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成

公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符號(hào)語(yǔ)言：ma+mb+me-m^a+h+c)

3.提公因式的步驟：

(1)確定公因式(2)提出公因式并確定另一個(gè)因式(依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式)

原多項(xiàng)式

另一個(gè)因式

公因式

4.注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底

II

典型考題

【典型例題】

閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：

l+x+x(x+1)4-X(X+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(l+x)2(l+x)

=(l+x)3

(1)上述分解因式的方法是,共應(yīng)用了次.

⑵若分解1+無(wú)+g+1)+忒什1)2+...+式葉1)20°4,則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是

(3)分解因式：i+x+xa+i)+xa+i)2+...+x(x+i)"(〃為正整數(shù)).

【變式訓(xùn)練】

因式分解：

(1)16a2-4b2

(2)x3-2^+x

(3)(a2-2/?)2-(1-2/7)2

【能力提升】

分解因式：

(1)-4ab-8b2+10b

(2)2(n-m)2-m[m-ri)

(3)15y(a-b)2-3y(b-a)

(4)6(m-n)3-12(n-m)2

(5)X2+3X+1=0,求2%2°I°+6%2°°9+2,OO8的值

12

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(aW0)的因式分解

若關(guān)于工的方程+Z?x+c=0(〃W0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否、x2,則二次三項(xiàng)式以2w0)

就可分解為a(x-x1)(x-x2).

典型考題

【典型例題】

因式分解：(/+2到2_7(/+2%)-8

【變式訓(xùn)練】

分解因式：(X2-X)2+(X2-X)-6.

【能力提升】

閱讀材料：

對(duì)于多項(xiàng)式爐+2以+屏可以直接用公式法分解為。+42的形式.但對(duì)于多項(xiàng)式3+2ar—3a2就不能直接用

公式法了，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在爐+2G一34中先加上一項(xiàng)“2,再減去/這項(xiàng)，使整個(gè)式子的

值不變.

解題過(guò)程如下：

^+2ax-3a2

=/+2公一3〃2+/一。2(第一步)

=/+2以+〃2—〃2一3〃2(第二步)

=。+0)2—(2〃)2(第三步)

=。+3。)(%—。),(第四步)

參照上述材料，回答下列問(wèn)題：

(1)上述因式分解的過(guò)程，從第二步到第三步，用到了哪種因式分解的方法()

A.提公因式法B.平方差公式法

13

C.完全平方公式法D.沒(méi)有因式分解

（2）從第三步到第四步用到的是哪種因式分解的方法：

（3）請(qǐng)你參照上述方法把m2-6mn+Sn2因式分解.

專題驗(yàn)收測(cè)試題

1.下列分解因式正確的是()

A.m4-8m2+64=(m2-8)2

B.x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

C.4a2-4a+l=(2a-1)2

D.a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a-b)

2.將b3-4b分解因式，所得結(jié)果正確的是（）

A.b(b2-4)B.b(b-4)2

C.b(b-2)2D.b(b+2)(b-2)

3.下列各式因式分解正確的是()

A.a2+4ab+4b2=(a+4b)2B.2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2

C.3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D.a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)

4.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()

A.(a2)3=a5B.(a-b)2=a2-b2C.-3a2b-2a2b--a2bD._02~~

5.多項(xiàng)式6y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式正確的是（）

A.3yo+避)0-隹)B.3y(N-2)

C.yOx2-6)D.-3y(x+^)(x-V2)

6.下列變形屬于因式分解的是(

A.4x+x=5xB.(x+2)2=f+4x+4

C.=x(x+1)+1D.x2-3x=x(x-3)

7.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式f+x-1分解因式正確的是（）

1-1+\-非1+M

A.(x-2)(x-2)B.(x-2)(工+2)

1+—1+—

C.(x+2)(%-2)D.(x+2)(冗+2)

8.下列分解因式正確的是（）

14

A.x2+y2=(x+y)(x-y)B.m-2m+l=(m+l)

C.a-16=(a4-4)(a-4)D.x3-x=x(x2-l)

9.下列各式中，不是多項(xiàng)式2X2-4X+2的因式的是(

B.2(x-1)C.(x-1)D.2(x-2)

10.已知a,b,c是AABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a3+ab2+bc?=b3+a2b+ac2,則4ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

11.因式分解：-4(a-b)=_.

12.分解因式：4a2-4a+l=.

13.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：孫3x=.

14.分解因式：2a3b-8ab=.

15.把多項(xiàng)式V—6/+9%分解因式的結(jié)果是.

16.分解因式：ab1-2crh+a2—_.

17.閱讀下列材料，解決問(wèn)題：

12345678987654321這個(gè)數(shù)有這樣一個(gè)特點(diǎn)：各數(shù)位上的數(shù)字從左到右逐漸增大(由1到9,是連續(xù)的自然

數(shù))，到數(shù)9時(shí)，達(dá)到頂峰，以后又逐漸減小(由9至打)，它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數(shù).記第

一個(gè)橄欖數(shù)為ai=l,第二個(gè)橄欖數(shù)為"2=121,第三個(gè)橄欖數(shù)為。3=12321……有趣的是橄欖數(shù)還是一個(gè)平

方數(shù)，如1=12,121=112,12321=1112,1234321=11112……而且,橄欖數(shù)可以變形成如下對(duì)稱式：

121=------------

1+2+1

根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題

(1)11111112=.將123454321變形為對(duì)稱式：123454321=.

(2)一個(gè)兩位數(shù)(十位大于個(gè)位)，交換其十位與個(gè)位上的數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，將原數(shù)和新數(shù)相

加，就能得到橄欖數(shù)121,求這個(gè)兩位數(shù).

(3)證明任意兩個(gè)橄欖數(shù)即，%的各數(shù)位之和的差能被“L〃整除(機(jī)=1,2...9,”=1,2...9,m>n)

18.如果SMx+B=(x-3)(x+5),求34-8的值.

15

19.閱讀例題，回答問(wèn)題：

例題：已知二次三項(xiàng)式：x2-4x+m有一個(gè)因式是x+3,求另一個(gè)因式以及m的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為x+n,得X?-4x+m=(x+3)(x+n),則x?-4x+m=x2+(n+3)x+3n.

儼+3=-4

：.{m=3n

(n=-7

(m=-21

,另一個(gè)因式為x-7,m=21.

仿照以上方法解答下面的問(wèn)題：

已知二次三項(xiàng)式2x?+3x+k有一個(gè)因式是2x-5,求另一個(gè)因式以及k的值.

20.仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：

例題，已知二次三項(xiàng)式x2—4x+m有一個(gè)因式是(x+3),求另一個(gè)因式以及m的值.

解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),得x2—4x+m=(x+3)(x+n),

貝l]x2—4x+m=x2+(n+3)x+3n.

儼+3=-4

1m=3n,

解得n=-7,m=-21,

...另一個(gè)因式為(x—7),m的值為一21.

問(wèn)題：仿照以上方法解答下面問(wèn)題：

已知二次三項(xiàng)式3x2+5x-m有一個(gè)因式是(3x—1),求另一個(gè)因式以及m的值.

21.閱讀下列材料，解答下列問(wèn)題：

材料1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式.如果把整式的乘

法看成一個(gè)變形過(guò)程，那么多項(xiàng)式的因式分解就是它的逆過(guò)程.

公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一種基本方法.如對(duì)于二次三項(xiàng)式“2+2H+按，可以逆

用乘法公式將它分解成(研。)2的形式，我們稱“2+2"+^為完全平方式.但是對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式，就

不能直接應(yīng)用完全平方了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使其配成完全平方式，再減去這項(xiàng)，使

整個(gè)式子的值不變，于是有：

x2+2ax-3a2

=x1+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)

16

材料2.因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1

解：將“x+）戶看成一個(gè)整體，令x+y=A,則

原式=A2+2A+1=（A+1）2

再將還原，得：原式=（x+y+1）2.

上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:

（1）根據(jù)材料1，把，-6c+8分解因式；

（2）結(jié)合材料1和材料2完成下面小題：

①分解因式：（。-6）2+2（〃-Z?）+1；

②分解因式：（加+〃）（加+4）+3.

22.已知x4+y4+2x2y2-2x2-2y2-15=0,求x2+y2的值.

17

專題03一元二次方程

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程公2+尿+c=0(存0),用配方法可以將其變形為

b2-4ac

u+)2.①

￡4片

因?yàn)閍#),所以，4〃2>0.于是

(1)當(dāng)按一4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±Jb2-4ac

X\,2=---------------；

2a

(2)當(dāng)反一44c=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根

b

X]=X2=——；

2a

(3)當(dāng)爐一4acV0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+2)2一定大于或等于零，因此，

2a

原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+hx+c=()(厚o)的根的情況可以由加一4。。來(lái)判定，我們把力2-4ac叫

做一元二次方程依2+bx+c=0(〃#))的根的判別式，通常用符號(hào)來(lái)表示.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(〃#)),有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±y1b2-4-ac

XL2=--------------；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b

笛=尤2=---；

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

典型考題

18

【典型例題】

關(guān)于“的一元二次方程，-（m-l）x+2m-l=0,其根的判別式為16,求m的值.

【變式訓(xùn)練】

已知關(guān)于工的一元二次方程-（m+2）x+2=°

（1）若方程的一個(gè)根為3,求小的值及另一個(gè)根；

（2）若該方程根的判別式的值等于1,求小的值.

【能力提升】

方程（x-5）（2x-1）=3的根的判別式b2-4ac=_.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程〃/+公+。=（）（〃/））有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

一。+-4ac-b-y/b2-4ac

尤］=-----------------------，X?

2a2a

則有

-?+J-2-4〃c-h-ylh2-4ac-2bb

X+=------------------+-------------------=-----=——

2。2a2aa

-b+A//72-4ac-b-yjb1-4ach1-(b1-4ac)4acc

--------------------------------------=---=一

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

bc

如果以2+法+。=0（存0）的兩根分別是X1,X2,那么Xl+l2=----,XrX2=—?這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定

aa

理.

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程9+〃工+9=0,若為，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X]+x2=-ptXvX2=q9

即〃=一（即+及），q=XvX2f

所以，方程x2+px+q=0可化為/一（為+%2）元+%].12=0,由于X|,X2是一元二次方程N(yùn)+px+4=0的兩根,

所以，XI,X2也是一元二次方程N(yùn)—（%]+x2）x+xi?尤2=0.

19

典型考題

【典型例題】

如果關(guān)于X的一元二次方程以2+bx+c=0"刈）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這

樣的方程為“倍根方程”.

（1）請(qǐng)問(wèn)一元二次方程f-6x+8=0是倍根方程嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若一元二次方程好+云+。=0是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2,求氏c的值.

【變式訓(xùn)練】

求方程X2-2x-2=0的根亢1,X2（X]>%2）,并求婷+2X2的值.

【能力提升】

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有兩根a,p

（1）求m的取值范圍；

（2）若a+p+ap=0.求m的值.

專題驗(yàn)收測(cè)試題

1.已知汨，是關(guān)于X的方程X2-〃a-3=0的兩個(gè)根，下面結(jié)論一定正確的是（）

A.Xl+X2>0B.X\i^X2C.Xi*X2>0D.Xl<0,X2<0

2.已知關(guān)于工的一元二次方程*+3-3=0的一個(gè)根是-1,則另一個(gè)根是()

33

A.1B.-1C.—D.

22

3.用配方法解一元二次方程好+我-5=0,此方程可變形為()

A.(x+2)2=9B.(%-2)2=9C.(x+2)2=1D.(%-2)2=1

4.有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了90場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽2場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是（）

11

A.-x（x-1）=90B.-x（x+1）=90C.x（x-1）=90D.x（x+1）=90

22

5.關(guān)于x的一元二次方程x+%=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是（）

A.tn<3B.m>3C.m<3D.m>3

6.關(guān)于x的方程x2-乒而x+'=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍（）

4

20

A.，區(qū)一且"/2B.m>—C.m<—D.，怔3且〃洋2

222

7.關(guān)于x的一元二次方程x2-（，"+2）x+m=O根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

8.下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）

A.2/+3=0B.x2=2xC.-1=0D.x2-8x+16=0

a

9.歐幾里得的《原本》記載，形如/+以=加的方程的圖解法是：畫RlZ\ABC,使NACB=90。BC=-

2

AC=A再在斜邊AB上截取B￡>=q.則該方程的一個(gè)正根是（）

2

A.AC的長(zhǎng)B.AD的長(zhǎng)C.BC的長(zhǎng)D.C3的長(zhǎng)

10.若關(guān)于x的一元二次方程ax?+2x-5=0的兩根中有且僅有一根在。和1之間（不含0和1）,則a的取

值范圍是（）

A.a<3B.a>3C.a<-3D.a>-3

11.一元二次方程x（x+5）=x+5的解為.

12.一元二次方程X?-3X-2=0的兩根為X|,X2,則X/+3X2+X|X2-2的值為.

13.若關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-3x+2+〃?=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是.

11

14.已知無(wú)”及是一元二次方程/+3x-6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么直線丫=（一+一）x-（XiW）不經(jīng)

X\X2

過(guò)第象限.

15.已知X—1是關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+1）x-m2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m=.

16.己知a、0是一元二次方程x2-2019x+l=0的兩實(shí)根，則代數(shù)式（a-2019）（「-2019）=.

17.已知關(guān)于x的一元二次方程A-2=0.

（1）求證：無(wú)論A取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩根之和等于3,求火的值以及方程的兩個(gè)根.

18.四川雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，揚(yáng)州市教育局開(kāi)展了“一方有難，八方支援''賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天

收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元

21

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；

(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？

19.解方程或不等式：

(1)解方程：2X2-4X-6=0.

(2x+1<x4-5

(2)解不等式I4x>3x+2.

20.關(guān)于x的一元二次方程/-(2k-l)x+乃+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xi,及.

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根R,X2滿足比|+以2|=X>X2,求2的值.

21.關(guān)于X的一元二次方程x2+(2k+l)x+k2+l=0有兩個(gè)不等實(shí)根Xi,X2.

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若方程兩實(shí)根Xi,X2滿足Xi+X2=—X1X2,求k的值.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程公-3x+1-k=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求后的取值范圍；

(2)若左為負(fù)整數(shù)，求此時(shí)方程的根.

22

專題03一元二次方程

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程公2+尿+c=0(存0),用配方法可以將其變形為

b2-4ac

u+)2.①

￡4片

因?yàn)閍#),所以，4〃2>0.于是

(1)當(dāng)按一4ac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±Jb2-4ac

X\,2=--------------；

2a

(2)當(dāng)反一44c=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根

b

X]=X2=——；

2a

(3)當(dāng)爐一4acV0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+2)2一定大于或等于零，因此，

2a

原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+hx+c=()(厚o)的根的情況可以由加一4。。來(lái)判定，我們把力2-4ac叫

做一元二次方程依2+bx+c=0(〃#))的根的判別式，通常用符號(hào)來(lái)表示.

綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(〃#)),有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±y1b2-4-ac

XL2=--------------；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b

笛=尤2=---；

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

典型考題

23

【典型例題】

關(guān)于“的一元二次方程，-（m-l）x+2m-l=0,其根的判別式為16,求m的值.

【變式訓(xùn)練】

已知關(guān)于工的一元二次方程-（m+2）x+2=°

（1）若方程的一個(gè)根為3,求小的值及另一個(gè)根；

（2）若該方程根的判別式的值等于1,求小的值.

【能力提升】

方程（x-5）（2x-1）=3的根的判別式b2-4ac=_.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程〃/+公+。=（）（〃/））有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

一。+-4ac-b-y/b2-4ac

尤］=-----------------------，X?

2a2a

則有

-?+J-2-4〃c-h-ylh2-4ac-2bb

X+=------------------+-------------------=-----=——

2。2a2aa

-b+A//72-4ac-b-yjb1-4ach1-(b1-4ac)4acc

--------------------------------------=---=一

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

bc

如果以2+法+。=0（存0）的兩根分別是X1,X2,那么Xl+l2=----,XrX2=—?這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定

aa

理.

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程9+〃工+9=0,若為，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X]+x2=-ptXvX2=q9

即〃=一（即+及），q=XvX2f

所以，方程x2+px+q=0可化為/一（為+