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§11.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分高等數(shù)電子教編安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics案安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics1959學(xué)二、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系高等數(shù)學(xué)2023年5月12日§11.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、概念與性質(zhì)1.1、變力沿曲線作功1.2、定義存在條件及

組合形式1.3、性質(zhì)二、計(jì)算法2.1、參數(shù)方程計(jì)算公式2.2、特殊情形及推廣三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系四、小結(jié)思考題作業(yè)：P2003⑶⑹;4⑴⑶;8.復(fù)習(xí)對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分2023年5月12日定義:幾何意義:性質(zhì):

可積性、線性性、可加性、保序性；計(jì)算公式:復(fù)習(xí)對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分2023年5月12日1.1、變力沿曲線所作的功常力沿直線作功:考察變力沿曲線所作的功(微元法)⑴分割⑵近似⑶求和近似值⑷取極限精確值一、概念與性質(zhì)2023年5月12日⑴定義1.2、定義、存在條件及組合形式設(shè)L為xoy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上有界,用L上的點(diǎn)M1(x1,y1),M2(x2,y2),…,Mn-1(xn-1,yn-1)把L分成n個(gè)有向小弧段Mi-1Mi(i=1,2,…,n;M0=A,Mn=B).設(shè)Dxi=xi-xi-1,

Dyi=yi-yi-1,點(diǎn)(xi,hi)為Mi-1Mi上任意取定的點(diǎn).如果當(dāng)各小弧段長(zhǎng)度的最大值l?0時(shí),),(1niiiixPD?=hx的極限存在,則稱此極限為函數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分或稱第二類曲線積分,記作lim),(0LdxyxP=ò?l),(1niiiixPD?=hx類似地定義一、概念與性質(zhì)2023年5月12日⑵注意：②存在條件（可積性）①組合形式③變力F沿曲線L所做的功可表示為一、概念與性質(zhì)2023年5月12日④推廣一、概念與性質(zhì)2023年5月12日1.3、性質(zhì)(Property)⑶有向性⑴線性性⑵可加性即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).一、概念與性質(zhì)2023年5月12日定理2.1、參數(shù)方程計(jì)算公式),(),(,0)()(,],[)(),(),(,),(),(,),(),,(

22存在,且則曲線積分且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在；其中到終點(diǎn)沿從起點(diǎn)點(diǎn)時(shí)變到單調(diào)地由當(dāng)?shù)膮?shù)方程為上有定義且連續(xù)在曲線弧設(shè)ò+1￠+￠?íì==LdyyxQdxyxPttttBLAyxMttytxLLyxQyxPyjbayjbayj二、計(jì)算法2023年5月12日2.2、特殊計(jì)算公式及推廣二、計(jì)算法2023年5月12日例1解二、計(jì)算法2023年5月12日例2解問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同。為什么會(huì)不同呢？二、計(jì)算法2023年5月12日例3解⑴直線AC的參數(shù)方程為二、計(jì)算法2023年5月12日⑵曲線L的方程為:⑶按曲線積分的可加性二、計(jì)算法2023年5月12日例4解二、計(jì)算法2023年5月12日問(wèn)題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同。又是為什么會(huì)不同呢？二、計(jì)算法2023年5月12日例5解二、計(jì)算法2023年5月12日例6解直線的方向向量為故參數(shù)方程為二、計(jì)算法2023年5月12日例7解如圖，二、計(jì)算法2023年5月12日其中（可以推廣到空間曲線上Γ）三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系2023年5月12日可用向量表示有向曲線元；三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系2023年5月12日把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分例8解⑴在xOy面內(nèi)沿直線從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)；化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中L分別為：⑵在拋物線y=x2從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)；⑶沿上半圓周x2+y2=2x從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)。⑴直線L的方