高二等差數(shù)列素質(zhì)能力提高競賽綜合測試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為，，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)等差數(shù)列的通項性質(zhì)以及前項和公式，把轉(zhuǎn)化為求解即可．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，．故選：C．2．正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色．先染1；再染3個偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2021個數(shù)是（

）A．3991 B．3993 C．3994 D．3997【答案】D【分析】根據(jù)題意將染色的所有數(shù)字進行分組，找出每組數(shù)字的最后一個數(shù)與組數(shù)和該組數(shù)的數(shù)字個數(shù)的關系，找出第組最后一個數(shù)在紅色子數(shù)列中所處的位數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)染色規(guī)律可將染色的所有數(shù)字分組，規(guī)律如下：第一組：1

共1個數(shù)；第二組：2，4，6

共3個數(shù)；第三組：7，9，11，16，15

共5個數(shù)；第四組：16，18，20，22，24，26，28

共7個數(shù)；第五組：29，31，33，35，37，39，41，43，45

共9個數(shù)；……由此規(guī)律可知，第組最后一個數(shù)是組數(shù)與該組的數(shù)字個數(shù)的乘積為，且該數(shù)在組成的紅色子數(shù)列中是第個數(shù)，易知，當時，即第45組最后一個數(shù)是與數(shù)字2021接近，此時，紅色子數(shù)列中第個數(shù)為，所以再往前數(shù)4個計數(shù)即為第2021個數(shù)，該數(shù)為3997.故選：D3．已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則數(shù)列的各項之和為（

）A．1666 B．1654 C．1472 D．1460【答案】A【分析】根據(jù)題意求出兩個數(shù)列相同的項組成的數(shù)列，求出項數(shù)，然后求出它們的和即可.【詳解】有兩個等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有項，是公差為12的等差數(shù)列，故新數(shù)列前17項的和為，即數(shù)列的各項之和為1666.故選：A.4．設等差數(shù)列的前n項和為，首項，公差，若對任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式得到，令，化簡得到，又因為，所以，得，再利用等差數(shù)列前項和公式得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意得則得，即，令得，即①，即得.因為首項，公差，則得，即.又因為，所以，代入①得.當時，由得即，所以即因此當或11時，的最小值為.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查等差數(shù)列前項和公式，根據(jù)題意化簡得到，從而得到為解決本題的關鍵，屬于中檔題.5．數(shù)列滿足，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將遞推式化為，從而得到是常列數(shù)，進而得到是等差數(shù)列，由此求得，據(jù)此解答即可.【詳解】因為，，所以，即，則，故，又，，所以，所以是以首項為的常數(shù)列，則，又，，所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，故，則，所以.故選：A.6．設等差數(shù)列滿足：，公差.若當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，則首項的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用公式對式子化簡，再借助函數(shù)來處理.【詳解】由，得，由積化和差公式，得，整理，得，所以，因為公差，所以，則.所以，設，其圖像的對稱軸方程為.由題意，當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，所以，解得.則首項的取值范圍是.故B，C，D錯誤.故選：A.7．數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項和為（

）A．1640 B．1680 C．2100 D．2120【答案】A【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進行求解.【詳解】設，因為的周期為，所以的周期為.又，，所以當n為奇數(shù)時，，所以當n為偶數(shù)時，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…，設，則數(shù)列是以6為首項，8為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項和為數(shù)列的前20項和.故B，C，D錯誤.故選：A.8．已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)的關系即可確定答案.【詳解】設函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．設等差數(shù)列的前n項和為Sn，公差為d．已知，S12＞0，，則（）A． B．C．Sn＜0時，n的最小值為14 D．數(shù)列中最小項為第7項【答案】ABD【分析】求得的正負情況判斷選項A；求得公差的取值范圍判斷選項B；求得Sn＜0時，n的最小值判斷選項C；求得數(shù)列中最小項判斷選項D.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項為，公差為d．由S12＞0，可得，則又，則，則選項A判斷正確；由，S12＞0，，可得，解之得，則選項B判斷正確；由可得或（舍）由，可得，則Sn＜0時，n的最小值為13.則選項C判斷錯誤；由時，，時，，時，，時，，可得時，，，，時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸則在時，單調(diào)遞減，且又時，為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列則在時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則時取得最小值.則數(shù)列中最小項為第7項，則選項D判斷正確.故選：ABD10．已知等差數(shù)列中，當且僅當時，的前k項和為，（

）A．若，則當且僅當時，取得最大值B．若，則當且僅當時，取得最大值C．若，則當且僅當時，取得最大值D．若，，則當或14時，取得最大值【答案】BD【分析】由等差數(shù)列前n項和有最大值，得數(shù)列為遞減數(shù)列，分析的正負號，可得的最大值的取到情況.【詳解】由等差數(shù)列前n項和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對于A，且時取最大值，設，則，當時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當且僅當時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數(shù)列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.11．已知兩個等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項和分別為和，則下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為【答案】ABD【分析】對于A，利用化簡可得答案；對于B，利用化簡可得答案；對于C，利用化簡可得答案；對于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對于A，因為為等差數(shù)列，所以，即，所以，化簡得，所以，故A正確；對于B，因為為等差數(shù)列，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為為等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，所以或，故C不正確；對于D，因為，且，所以，所以，所以，所以也為等差數(shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：利用等差數(shù)列的定義以及等差中項求解是解題關鍵.12．在數(shù)列中，已知是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，其中，則下列說法正確的是（

）A．當時， B．若，則C．若，則 D．當時，【答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可判斷A；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可判斷B；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C；利用等比數(shù)列求和公式可判斷D.【詳解】對于A，當時，，可知數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故A正確；對于B，由已知，是公差為的等差數(shù)列，則，是公差為的等差數(shù)列，則，即，解得：或，故B錯誤；對于C，，解得：，故C正確；對于D，，故D正確；故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個小題，每小題5分，共20分．13．首項為正數(shù)的遞減等差數(shù)列的前項和為，且對任意項序數(shù)，總存在正整數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】首先利用前項和公式，將條件變形為，并由條件可知，并且時，由，得，推理得到，計算求得，再代入，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】由題意知，，，則，當時，∴，當時，，，，又，，則，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴或時取最小值為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是得到后，利用和得到，再代回后，得到，后面的問題迎刃而解.14．設是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，已知，，數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，若對于中任意序數(shù)不同的兩項和，在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得，則的最小值為___________.【答案】【分析】本題為數(shù)列的新定義題，由已知可推出，當時，或，根據(jù)，可推出數(shù)列前6項，結(jié)合題意，應有，，，…，，中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，同理推出數(shù)列后6項，即可得出最小值.【詳解】因為數(shù)列任意相鄰兩項的差的絕對值不超過1，，所以，又是由正整數(shù)組成且項數(shù)為的增數(shù)列，所以或，當時，，此時，這與在剩下的項中總存在序數(shù)不同的兩項和，使得矛盾，所以，類似地，必有，，，，由得前6項任意兩項之和小于等于3時，均符合，要最小，則每項盡可能小，且值要盡量小，則，，同理，，，…，，當中間各項為公差為1的等差數(shù)列時，可使得值最小，且滿足已知條件.由對稱性得最后6項為，，則的最小值.【點睛】對于數(shù)列的新定義題，關鍵在于讀懂題意.根據(jù)題意，可得出當時，或，根據(jù)已知，可推出數(shù)列的前6項以及后6項，進而推得中間項和取的最小值應滿足的條件.15．等差數(shù)列滿足，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由題設可得，令則，可得，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，利用二次函數(shù)性質(zhì)求t范圍即可.【詳解】由題設，，即，當時，為常數(shù)列，顯然有矛盾，故，令，則，所以，令，則在上有解，又開口向上且對稱軸為，，當，即時，，滿足要求；當時，，又，，滿足要求；綜上，.故答案為：16．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，則___________.【答案】【分析】先利用誘導公式將原式變形，然后構(gòu)造函數(shù)并分析其奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)的取值特點判斷出之間的關系，然后利用等差數(shù)列的前項和公式以及等差數(shù)列下標和性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，令，，且的定義域為，所以為奇函數(shù)，所以，且，所以，又因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是通過分析所給等式的特點，采用構(gòu)造函數(shù)的思想，分析出的關系，其中奇偶性的證明、單調(diào)性的分析都值得注意，最后計算時注意借助等差數(shù)列的下標和性質(zhì)進行解答.四、解答題17．已知數(shù)列滿足，，．(1)求的取值范圍；(2)記是在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前m項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得，，進而即得；（2）由題可知，進而，然后根據(jù)求和公式即得.【詳解】（1）因為，，即，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，同理可得，所以；（2）因為，設，則，又，是連續(xù)六個正整數(shù)構(gòu)成的集合，則對于給定的m，數(shù)列恰有兩項屬于集合，即，故．18．在下面兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.①；②.已知為數(shù)列的前項和，滿足，，______.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，令可求得的值，由可得，兩式作差可得為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的等差數(shù)列；選②，推導出數(shù)列是常數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）計算出，對任意的，計算出，可得出，利用等差數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】（1）解：選①，當時，則有，即，解得；對任意的，因為，則，故，即，因，，所以為定值，故數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，所以.選②，因為，故，所以，故數(shù)列是常數(shù)列，所以，故.（2）解：知，，故，對任意的，，所以，即為數(shù)列的前項和，因為，故數(shù)列為等差數(shù)列，所以.19．給定數(shù)列.對于任意的，若恒成立,則稱數(shù)列是互斥數(shù)列.(1)若數(shù)列，判斷是否是互斥數(shù)列，說明理由；(2)若數(shù)列與都是由正整數(shù)組成的且公差不為零的等差數(shù)列，若與不是互斥數(shù)列，求證:存在無窮多組正整教對，使成立；(3)若(是正整數(shù))，

試確定滿足的條件，使是互斥數(shù)列.【答案】(1)是互斥數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)互斥數(shù)列的概念判斷即可；（2）由題知存在，使得，設的公差分別為，進而得都為正整數(shù)，取，證明即可證明結(jié)論；（3）由題知除以的余數(shù)為或，進而分，或，三種情況證明即可.【詳解】（1）解：中只有首項為1，其余均為偶數(shù)，均為大于1的奇數(shù)，故對任意的，若恒成立，所以是互斥數(shù)列；（2）證明：若與不是互斥數(shù)列，則存在，使得，設的公差分別為，因為數(shù)列與都是由正整數(shù)組成的且公差不為零的等差數(shù)列，所以都為正整數(shù)，取，所以,，，所以，因為，所以，存在無窮多組正整數(shù)對，使成立，證畢.（3）解：由于，因為除以的余數(shù)為，是互斥數(shù)列，所以除以的余數(shù)為或，（i）若，則對成立即可，（ii）若或，則或都為的倍數(shù)，此時是互斥數(shù)列，滿足題意，（iii）若，則，下面我們證明除以3的余數(shù)為1，由二項式定理，展開得，所以,除以3的余數(shù)為1所以是互斥數(shù)列，滿足題意，綜上，滿足的條件是，對成立；或或，或，其中.【點睛】關鍵點點睛:本題第二問解題的關鍵在于取，進而根據(jù)證明即可；第三問解題的關鍵在于討論使得除以的余數(shù)為或的情況即可.20．在無窮數(shù)列中，對于任意，都有，且．設集合，將非空集合中元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)最大值；為空集時，記．我們稱數(shù)列為數(shù)列的相依數(shù)列．例如：數(shù)列是1，3，4，…，它的相依數(shù)列是1，1，2，3，…．(1)設數(shù)列是2，3，5，…，請寫出的相依數(shù)列的前5項；(2)設，求數(shù)列的相依數(shù)列的前20項和；(3)設，求數(shù)列的相依數(shù)列的前n項和．【答案】(1)的前5項是0，1，2，2，3；(2)的前20項和為；(3)的前n項和．【分析】（1）根據(jù)是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)最大值，即可得的前5項；（2）將的前4項列出，再列出的前20項，相加即可；（3）根據(jù)相依數(shù)列的定義，得出當時，，再將分為三種情況，分別對求和即可.【詳解】（1）時，；時，；時，；時，；時，；即的前5項是0，1，2，2，3.（2），，，，則，，，∴的前20項和為.（3），，，當時，，∴當時，；當時，；當時，；綜上，的前n項和．21．對于無窮數(shù)列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”．(1)若數(shù)列的通項公式為的通項公式為，分別判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”．【答案】(1)是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”；(2)①9,10,12,16；②證明見解析．【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義驗證即可；（2）①設公差為，利用“數(shù)列”定義得是8的正約數(shù)：1，2，4，8，分別求出并驗證符合題意即得；②利用，求出公差與首項的關系，然后表示出通項公式，再根據(jù)“數(shù)列”定義證明．【詳解】（1），對任意的，，，，，取，則，∴是“數(shù)列”，，對任意的，，，，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，因此不存在使得，∴不是“數(shù)列”；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列，，且，，，，對任意的，，，，，由題意存在，使得，即，顯然，所以，，，所以是8的正約數(shù)，即，2，4，8，時，，；時，，；時，，；時，，．綜上，的可能值為9，10，12，16；②若對任意，存在，使得成立，所以存在，，，設公