章節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類曲線積分二、類曲線積分的概念與性質(zhì)一、向量場三、類曲線積分的計算2021/5/91一、向量場機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/92機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/93機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束畫向量場2021/5/94機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/95機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束梯度場和保守場2021/5/96機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:2021/5/97二、對坐標(biāo)的曲線積分定向曲線與切向量：定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則L的切向量為：2021/5/98分割解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束“分割,近似,求和,取極限”求變力沿曲線所作的功，利用近似例：求變力F沿曲線L所作的功。已知常力F沿直線所作的功2021/5/99求和:取極限:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束向量形式坐標(biāo)形式則2021/5/910對坐標(biāo)的曲線積分的定義：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/911上式也稱為第二類曲線積分的向量形式。

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二類曲線積分也稱為向量場的線積分。

2021/5/912說明：

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/913基本性質(zhì)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)1：

性質(zhì)2：

性質(zhì)3：

2021/5/914第二類曲線積分的坐標(biāo)表示設(shè)則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束令若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在記為上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。2021/5/915（2）若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。2021/5/916則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、兩類曲線積分之間的關(guān)系2021/5/917證明：于是有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/918即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束平面曲線的情況完全類似推導(dǎo)。故2021/5/919解1：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/920解2：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/921解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束于是2021/5/922四、對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理（平面曲線的情形）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/923機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明：2021/5/924機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/925機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/926機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意：a

未必小于b。2021/5/927特殊情形機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/928(4)

若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：先化成參數(shù)方程：然后用公式計算。2021/5/929定理（空間曲線的情形）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/930注意：兩類曲線積分之間區(qū)別（1）第一類曲線積分是數(shù)量函數(shù)對弧長的積分；

第二類曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù)對坐標(biāo)的積分。（2）第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定積分時，下限總小于上限；

第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號），化成定積分時，下限未必小于上限。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/931機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束（2）對于第二類曲線積分，當(dāng)積分弧L是垂直于某坐標(biāo)軸的直線段AB時，對該坐標(biāo)的積分為零，即空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質(zhì)。說明：（1）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問題，因此要慎用對稱性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對稱性來化簡計算。2021/5/932例3:解:原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/933例4：解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/934機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/935

一般情況下，第二類曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點或終點有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同。例3說明：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

在有些情況下，第二類曲線積分的值，僅與積分路徑的起點或終點有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，路徑不同積分但結(jié)果相同。例4說明：2021/5/936例5.

求其中L是雙紐線的右半支逆時針方向。解:

L

的極坐標(biāo)方程是：L

的參數(shù)方程是：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束奇函數(shù)2021/5/937例6.

求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:

取的參數(shù)方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/938例7.解:動到向坐標(biāo)原點，其大小與作用點到xoy

面的距離成反比。沿直線移求F

所作的功W。已知F

的方向指一質(zhì)點在力場F

作用下由點機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/939例8：解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如圖則2021/5/940例9：解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則在t

時刻：單位時間流出的油漆為：2021/5/9411.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L—

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9423.計算?對有向光滑弧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?

若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：先化成參數(shù)方程：然后用公式計算。2021/5/943?對空間有向光滑弧:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/944區(qū)別：第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定積分時，下限總小于上限；機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號），化成定積分時，下限未必小于上限。4.兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：2021/5/945作業(yè)習(xí)題9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；

2(2)(4);3;5；7第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9461、解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題2021/5/947解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9483.已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/949原點

O

的距離成正比,4、設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指向原點,沿橢圓此質(zhì)點由點逆時針移動到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.

思考:

若題中F的方向

改為與OM垂直且與y

軸夾銳角,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9505.將積分化為對弧長的積分,解1：其中L沿上半圓周機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9515.將積分化為對弧長的積分,解2：其中L沿上半圓周機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9526：設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:

(1)(2)的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中為機(jī)動目錄