復(fù)變函數(shù)積分第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

復(fù)變函數(shù)論多媒體教學(xué)課件DepartmentofMathematics第一節(jié)

復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)

1、復(fù)變函數(shù)積分的的定義2、積分的計(jì)算問題3、基本性質(zhì)第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復(fù)變函數(shù)積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C(周線)的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時,鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個端點(diǎn)中的一個作為起點(diǎn),另一個作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2.定義3.1設(shè)有向曲線C把曲線C分成若干弧段,作和式第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于定義的說明:第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3.定理3.1證明正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)線積分的存在定理,所以第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月在形式上可以看成是公式即復(fù)函數(shù)積分可表為兩個實(shí)積分.第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算問題設(shè)有向曲線C或第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月證明注用公式(3.2)或(3.3)計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分,是從積分路徑的參數(shù)方程著手,稱為參數(shù)方程法.第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

解積分路徑的參數(shù)方程為第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月估值不等式(6)積分估值定理3.2第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月證明兩端取極限得[證畢]第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月證明而C之長為2,根據(jù)估值不等式知例2第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例3證明xy..第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為積分路徑不同,積分結(jié)果也可能不同.第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

解積分路徑的參數(shù)方程為第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)與思考本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P141習(xí)題(