高考總復習對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【考綱要求】1.掌握對數(shù)的概念、常用對數(shù)、對數(shù)式與指數(shù)式互化，對數(shù)的運算性質、換底公式與自然對數(shù)；2.掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.3.正確使用對數(shù)的運算性質；底數(shù)a對圖象的影響及對數(shù)函數(shù)性質的作用.4.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質的學習，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進一步體會數(shù)形結合的思想方法；【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】考點一、對數(shù)概念及其運算我們在學習過程遇到2x=4的問題時，可憑經(jīng)驗得到x=2的解，而一旦出現(xiàn)2x=3時，我們就無法用已學過的知識來解決，從而引入出一種新的運算——對數(shù)運算.(一)對數(shù)概念:1.如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)恒等式：3.對數(shù)具有下列性質：(1)0和負數(shù)沒有對數(shù)，即；(2)1的對數(shù)為0，即；(3)底的對數(shù)等于1，即.(二)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，(三)對數(shù)式與指數(shù)式的關系.由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉化.它們的關系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.(四)積、商、冪的對數(shù)已知(1)；推廣：(2)；(3).(五)換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:(1)令logaM=b，則有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:.(2)，令logaM=b，則有ab=M，則有即即，即，當然，細心一些的同學會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結論:.考點二、對數(shù)函數(shù)及其圖像、性質1.函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫做對數(shù)函數(shù).2.在同一坐標系內，當a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸.(見圖1)(1)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)的定義域為(0，+∞)，值域為R(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)的圖像過點(1，0)(3)當a>1時，【典型例題】類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應用例1.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)(4)；(2)；(3)；；(5)；(6).【解析】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【總結升華】對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x(4)【解析】(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.類型二、對數(shù)運算法則的應用例2.求值(1)log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)【解析】(1)原式=(2)原式=.(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)舉一反三：【變式】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?【解析】∵∴，類型三、對數(shù)函數(shù)性質的綜合應用例3.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的值域；（2）求的單調性【解析】舉一反三：【變式】（2015天津高考文）已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|―1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，則a，b，c的大小關系為（）(A)a＜b＜c【答案】B(B)c＜a＜b(C)a＜c＜b(D)c＜b＜a【解析】由題意，因為，即，，解得m=0，所以，2m=0由函數(shù)關于y軸對稱，且在（0，+∞）上單調增可知：.故選B.例4．求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調區(qū)間.【解析】設t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4.∵y=∴y≥t為減函數(shù)，且0<t≤4，=-2，即函數(shù)的值域為[-2，+∞.再由：函數(shù)y=(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上遞增而在[1，3)上遞減，而y=t為減函數(shù).∴函數(shù)y=(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1，1)，增區(qū)間為[1，3.例5.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)(2).【解析】由所以函數(shù)的定義域為：(-1，1)關于原點對稱又所以函數(shù)是奇函數(shù)；【總結升華】此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運算性質.說明判斷對數(shù)形式的復合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數(shù)式的恒等變形.(2)【解析】由所以函數(shù)的定義域為R關于原點對稱，又即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).【總結升華】此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.例6．（2015瀘州模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)(2)當?shù)亩x域.時，關于的不等式有解，求的取值范圍.【解析】（1）由為奇函數(shù)得即解得解得的定義域為.（2）不等式等價于即在有解，故只需在函數(shù)上單調遞增的取值范圍是【鞏固練習】一、選擇題.1．設a，b，c為正數(shù)，且3a=4b=6c，則有()A.B.C.D.2.（2015寶安區(qū)校級二模）設，，，則（）3．圖中曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取次為()，則相應于C1，C2，C3，C4的a值依A.B.D.C.4.已知函數(shù)的周期為2，當時，那么函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交點共有（）5．設偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-∞，0)上是增函數(shù)，則f(a+1)與f(b+2)的大小關系是()A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)>f(b+2)C.f(a+1)<f(b+2)D.不能確定6．設方程2x+x-3=0的根為，方程log2x+x-3=0的根為，則的值是()A.1B.2C.3D.6二、填空題7．已知函數(shù)y=loga(kx2+4kx+3)，若函數(shù)的定義域為R，則k的取值范圍是__________；若函數(shù)的值域為R，則k的取值范圍是________.8．設函數(shù)f(x)＝A．[－1，2]則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是B．[0，2]C．[1，＋)D．[0，＋).9．已知a=0.33，b=30.3，c=log30.3，d=log0.33，則a，b，c，d的大小關系是______.三、解答題10．設logac，logbc是方程x2-3x+1=0的兩根，求的值.11.已知函數(shù)，(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性.12.已知函數(shù)13．設的定義域為，值域為，求的值.1)判斷f(x)的單調性，并給出證明；2)若f(x)的反函數(shù)為f-1(x)，證明f-1(x)=0有唯一解；3)解關于x的不等式.14.(2015天津校級模擬)對于函數(shù)，解答下列問題：（1）若（2）若（3）若（4）若（5）若的定義域為，求的取值范圍.的值域為，求的取值范圍.在上有意義，求的取值范圍.的值域是在，求的取值范圍.內為增函數(shù)，求的取值范圍.【參考答案與解析】一、選擇題1．設3a=4b=6c=k，則a=log3k，b=log4k，c=log6k，∴，同理，，而，∴，即.2.A【解析】故選A.3.在第一象限內，，從順時針方向看圖象，逐漸增大，，從順時針方向看圖象，逐漸增大，；在第四象限內，；所以相應于C1，C2，C3，C4的a值依次為.選A.4.A【解析】函數(shù)的周期為2，當時所以可以做出函數(shù)的圖像，可知函數(shù)的值域為再作出；的圖像，發(fā)現(xiàn)在上單調遞減，在上單調遞增且當結合圖像可知兩函數(shù)圖像的交點共有10個.5．由f(x)是偶函數(shù)，得b=0；又因為f(x)在(-∞，0)上是增函數(shù)，得0<a<1.所以0<a+1<2=b+2，由f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，得f(a+1)>f(b+2)6．將方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如圖所示，可知是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點A的橫坐標；是對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點B的橫坐標.由于函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以A，B兩點也關于直線y=x對稱，所以，.注意到在直線y=-x+3上，所以有，即.二、填空題7．.要使函數(shù)的定義域為R，只需對一切實數(shù)x，kx2+4kx+3>0恒成立，其充要條件是k=0或解得k=0或，故k的取值范圍是.要使函數(shù)的值域為R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正數(shù)，則，解得.故k的取值范圍是.8．.∵1<log23<2，3+log23>4，∴.又∵當x<4時，f(x+1)=f(x)，∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=.9．b>a>d>c，∵0.3>0，3>0，∴a=0.33>0，b=30.3>0.∵3>1，0<0.3<1，∴c=log30.3<0，d=log0.33<0又∵b=30.3>1，a=0.33<1，∴b>a而，，∴d>c.三、解答題10．依題意得：即，即∴.∴.故.11.(1)∵，∴，又由得，∴的定義域為.(2)∵的定義域不關于原點對稱，∴為非奇非偶函數(shù).12.由，得，即∵即，由，得，由根與系數(shù)的關系得，解得.13．1)由得-1<x<1.所以f(x)的定義域為(-1，1).設-1<x1<x2<1，則f(x1)-f(x2)=，又因為(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，(1-x1)(1+x2)>0，(1+x1)(1-x2)>0，所以所以，又易知，∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).2)因為，所以，即f-1(x)=