實用標準文案文檔復合函數(shù)求導方法和技巧復合函數(shù)求導方法和技巧毛濤（陜西理工學院數(shù)計學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2011級1班，陜西漢中723000）指導老師：劉延軍[摘要]復合函數(shù)求導是數(shù)學分析中的一個難點，也是微積分中的一個重點和難點，因此本文先從復合函數(shù)的定義以及性質(zhì)入手，在全面了解復合函數(shù)后再探討復合函數(shù)的求導方法，分析復合函數(shù)求導過程中容易出現(xiàn)的問題，然后尋求能快速準確的對復合函數(shù)進行求導的方法，并進行歸納總結(jié)，最終進行推廣，幫助學生的有效學習。[關鍵詞]復合函數(shù)，定義，分解，方法和技巧，數(shù)學應用1引言復合函數(shù)求導是數(shù)學分析中的一個難點，也是高等數(shù)學三大基本運算中的關鍵，是學生深入學習高等數(shù)學知識，提高基本運算技能的基礎，對學生后繼課程的學習和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著至關重要的作用，在各學科和現(xiàn)實生活中也發(fā)揮著越來越重要的作用，從而必須解決復合函數(shù)的求導問題。同時，在教學過程中，許多學生在進行求導時也犯各種各樣的錯誤，有的甚至在學習復合函數(shù)求導之后做題時仍然不會進行求導，或者只能求導對一部分，而對另外一部分比較復雜的復合函數(shù)則還停留在一知半解的程度上，不知該求導哪一部分，也不知要對哪一部分得進行分解求導。復合函數(shù)求導方法是求導的重中之重，而且也是函數(shù)求導、求積分時不可缺少的工具，這個問題解決的好壞直接影響到換元積分法甚至以后的數(shù)學學習是否能夠順利進行。求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于搞清楚復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復合次數(shù)，然后由外層向內(nèi)層逐層求導（或者也可以由內(nèi)層向外層逐層求導），直到關于自變量求導，同時還要注意不能漏掉求導環(huán)節(jié)并及時化簡計算結(jié)果。因此本文先給出了復合函數(shù)的定義和性質(zhì)，在充分了解并且掌握復合函數(shù)的概念之后，根據(jù)其定義和性質(zhì)對各種復合函數(shù)進行求導，通過對鏈式求導法、對數(shù)求導法、反序求導法、多元復合函數(shù)的一元求導法以及反函數(shù)求導法的分析，加以對各種對應例題的詳細分解，分析每一步的步驟，比較各種求導方法，明確并且能夠掌握各種題型的最佳解決方法，最終尋求一種能夠既簡便又準確的解決復合函數(shù)求導問題的方法，并總結(jié)技巧，方便在以后學習生活中的使用。2復合函數(shù)的定義如果是的函數(shù)，又是的函數(shù)，即，，那么關于的函數(shù)叫做函數(shù)和的復合函數(shù)，其中是中間變量，自變量為，函數(shù)值為。3導數(shù)的四則運算定理1[1]若函數(shù)和在點可導，則函數(shù)在點也可導，且：定理2[1]若函數(shù)和在點可導，則函數(shù)在點也可導，且：推論1[1]若函數(shù)在點可導，為常數(shù)，則：定理3[1]若函數(shù)和在點都可導，且，則在點也可導，且：4復合函數(shù)求導方法和技巧4.1鏈式法則求復合函數(shù)的導數(shù)定理4[1]如果函數(shù)及都在點可導，函數(shù)在對應點具有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)在對應點可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：。思路根據(jù)公式我們首先要清楚的分析出復合函數(shù)的復合關系，找出要求導的復合函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)復合而成的，然后再恰當?shù)脑O置中間變量，把它分解成一些基本的初等函數(shù)的復合，最后由最外層開始，先使用法則，后使用導數(shù)基本公式，由表及里的一層一層地求導，注意不可忘記里層的求導。例1求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：（可以看出要求導的函數(shù)是由這兩個函數(shù)復合而來，然后設置中間變量）第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的變量：（注意對u的求導時也是一個復合函數(shù)，不可忘記里層的求導，要做到準確求導）第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例2求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：（可以看出要求導的函數(shù)是由這三個函數(shù)復合而來，設置恰當?shù)闹虚g變量）第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的變量：（注意的表達式均是一元函數(shù)表達式）第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例3求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：（可以看出要求導的函數(shù)是由這三個函數(shù)復合而來，設置恰當?shù)闹虚g變量）第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的變量：（注意的表達式均是一元函數(shù)表達式）第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：注：鏈式法則求復合函數(shù)的導數(shù)是復合函數(shù)求導的一種基本方法，也是一種關鍵方法。在運用鏈式法則求導時，一定要先明確鏈式法則的適用條件，在適合運用鏈式法則求導的前提下，準確的設置中間變量，在分析所給的函數(shù)時，等分解表達式必須為一元函數(shù)。在求導過程中，一定要記清每一步是誰對誰（即什么函數(shù)對哪個變量）求導數(shù)，對前變量（即函數(shù)）求導后，在后邊應馬上乘以一個前變量對后變量求導因子，不能漏掉鏈式法則中的任何一個環(huán)節(jié)，不能忘記對里層函數(shù)的求導。而在實際做題中，當我們已經(jīng)熟練掌握鏈式法則后，并不一定要每一步都寫出所求復合函數(shù)的中間變量，心中知道是怎么復合而來的就行，然后做到準確無誤的求導。4.2對數(shù)求導法求復合函數(shù)的導數(shù)對數(shù)求導法可以把乘積的函數(shù)轉(zhuǎn)化成加減的函數(shù)，把函數(shù)的冪運算轉(zhuǎn)化成函數(shù)的相乘運算，對于一些函數(shù)的乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的函數(shù)，采用對數(shù)求導法來求導，這會簡化我們的求導運算，因此對數(shù)求導法是復合函數(shù)求導的一種重要的，同時也是一種比較簡便的方法。思路先對類型如的復合函數(shù)兩邊同時取對數(shù)，然后對兩邊同時關于求導數(shù)，最后移項，移成的形式，最終整理得出答案。例4求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：第二步，對上式兩邊同時對求導數(shù)，得：（切記不可寫成）移項，得：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例5求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：第二步，對上式兩邊同時對求導數(shù)，得：移項，得：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例6求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：第二步，對上式兩邊同時對求導數(shù)，得：移項，得：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：注：對數(shù)求導法對一些冪指數(shù)函數(shù)，乘積形式函數(shù)這類復雜的復合函數(shù)的求導是很便捷的。在求解時先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，然后對此對數(shù)式兩邊同時對求導，但要注意在解題時，時，，而不是；由于此類復合函數(shù)求導計算比較繁瑣，所以在求導過程中要及時對所求導后的函數(shù)式進行化簡，最后通過移項，整理得出結(jié)果，確保得到最簡潔、準確的答案。4.3反序求導法求復合函數(shù)的導數(shù)反序求導法是一種對復合函數(shù)從里到外依次求導的方法，它和鏈式求導法在求導時具有相似性，但本質(zhì)又不同。反序求導法具有以下三個方面的優(yōu)點：第一，求導次序和求復合函數(shù)值的次序一樣，合乎習慣，有助于對此方法的掌握和運用；第二，從里到外的求導，避免了求導不徹底的錯誤；第三，形式上便于書寫。思路通常求由函數(shù)，構(gòu)成的復合函數(shù)的導數(shù)時，是應用復合函數(shù)求導法則：，從外到里求導；而反序求導法則是：，從里到外進行求導。例7求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，設（采用反序求導法則求導復合函數(shù)依然先要設置中間變量，將復合函數(shù)分解成初等函數(shù)）第二步，根據(jù)反序求導法則：從里到外進行求導第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例8求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，設（設置中間變量，將復合函數(shù)分解為初等函數(shù)后采用反序求導法則從里到外進行求導）第二步，根據(jù)反序求導法則：從里到外進行求導第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例9求復合函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，設（先恰當?shù)脑O置中間變量，然后將原復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)，最后采用反序求導法從里到外進行求導）第二步，根據(jù)反序求導法則：進行求導第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：注：在對復合函數(shù)進行求導時，反序求導法與鏈式求導法的區(qū)別在于鏈式求導法對復合函數(shù)的求導是從外到內(nèi)依次進行求導，而反序求導法對復合函數(shù)的求導則是從內(nèi)到外依次進行求導，因此反序求導法相比較于鏈式法則的優(yōu)點在于鏈式法則對復合函數(shù)從外到內(nèi)進行求導時容易忽略對內(nèi)部函數(shù)的求導，從而導致求導不徹底，而反序求導法在對復合函數(shù)進行求導時首先就對函數(shù)內(nèi)部進行求導，因此出現(xiàn)求導不徹底的可能性非常小，甚至直接可以避免這種情況的發(fā)生，所以反序求導法則是復合函數(shù)求導中的一種非常重要的方法。4.4多元復合函數(shù)的一元求導法多元復合函數(shù)的一元求導法是根據(jù)多元復合函數(shù)偏導數(shù)的概念，對自變量求偏導數(shù)，把其余自變量都暫時看成常量，從而函數(shù)就變成是的一元函數(shù)，從而就可以利用一元函數(shù)求導法進行復合函數(shù)的求導，對一些復合函數(shù)求偏導可以起到既方便又準確的作用。思路將復合函數(shù)中除過要求導的自變量外其余自變量均看成常量，然后利用一元函數(shù)求導法依次進行求導。例10已知復合函數(shù)，其中，求。解（分析過程））第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：第二步，然后利用一元函數(shù)求導法依次進行求導：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例11已知復合函數(shù)，其中，求。解（分析過程）第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：第二步，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例12已知復合函數(shù)求。解（分析過程）第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：第二步，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：第二步，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：注：利用多元復合函數(shù)的一元求導法求導函數(shù)時對自變量求偏導，把其余自變量都暫時看成常量，從而要求導的函數(shù)就變成了一元函數(shù)，此時，便可以使用一元函數(shù)的所有求導公式和法則進行求導了，使用這種方法可以既快速又準確的對復合函數(shù)進行求導，但一定要看清要求導的自變量和把其余自變量要看成常數(shù)。4.5反函數(shù)求導法定理5[1]設為的反函數(shù)，若在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴格單調(diào)且，則在點可導，且。思路設可導函數(shù)的反函數(shù)也可導，然后由兩邊對求導，從而得出所要求復合函數(shù)的導數(shù)。例13求函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，由于，是，的反函數(shù)，故由公式得到：第二步，兩邊同時對求導后變形得：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：例14求函數(shù)的導函數(shù)。解（分析過程）第一步，由于，是，的反函數(shù)，因此由公式可以得出：第二步，兩邊同時對求導后變形得：第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：注：反函數(shù)求導方法是復合函數(shù)求導中一種重要的方法，熟練的寫出原函數(shù)的反函數(shù)是求導的關鍵，此外，在求導過程中要記得是同時對兩邊進行求導，不可以一邊求導而另外一邊照寫。在解題時熟練掌握各種公式的變形也是正確解題的一個關鍵點。5小結(jié)在對復合函數(shù)進行求導時，首先必須熟練掌握函數(shù)的運算順序，其次在于弄清楚復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)。在用鏈式法則求導復合函數(shù)時，首先應將其分解成若干簡單函數(shù)，復合函數(shù)分解的徹底與否是復合函數(shù)求導正確與否的關鍵所在，所以在分解復合函數(shù)時，要做到不漏不重，明確復合次數(shù)，應注意分清哪個是外層函數(shù)，哪個是里層函數(shù)，如果這一步發(fā)生錯誤，那么后一步求導肯定是錯誤的。求導時應先對外層函數(shù)進行求導，再對里層函數(shù)進行求導，按法則詳細寫出求導過程，并應注意及時化簡計算結(jié)果，不能遺漏求導環(huán)節(jié)。做題時，要會引進中間變量，將復合函數(shù)正確分解是復合函數(shù)求導的關鍵，這需要通過一定數(shù)量的練習才可掌握。當熟練掌握復合函數(shù)的分解后，可以不必把中間變量寫出來，按照復合函數(shù)的求導法則，由外向里，逐層求導即可。在用對數(shù)求導法求導復合函數(shù)時，首先要對函數(shù)兩邊同時取對數(shù)，以此來方便求導。在用反序求導法進行復合函數(shù)求導時，首先也要對復合函數(shù)進行分解，但是注意是從內(nèi)到外進行求導，該方法避免了求導不徹底的錯誤，而且方便于書寫。多元復合函數(shù)的一元求導法主要是對復合函數(shù)求偏導，注意要把要求自變量之外的其余自變量都暫時看成常數(shù)，使用這種方法對一些復合函數(shù)求偏導可以起到既方便又準確的作用。在實際求導過程中，有時將復合函數(shù)進行變形也可以起到方便求導的作用，如：復合函數(shù)可以變形為：，；復合函數(shù)變形為，再進行求導就方便很多了。所以在求導時要根據(jù)具體情況對復合函數(shù)進行具體分析，要有明確的思路，靈活選用恰當?shù)那髮Х椒?，最終尋求一種能夠既簡便又準確的解決復合函數(shù)求導問題的方法，進行準確無誤的求導。參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].(第三版)．北京：高等教育出社.2001.87-114.[2]孫清華,孫昊.數(shù)學分析內(nèi)容、方法與技巧(上).華中科技大學出版社,2003[3]周建瑩,李正元.高等數(shù)學解題指南.北京-北京大學出版社,2002.[4]張月華.復合函數(shù)求導探析[J].漯河職業(yè)技術(shù)學院學報，2011，10（2）：123-124.[5]張筑生.數(shù)學分析新講[M].北京:北京大學出版社,1990.[6]馬俊.復合函數(shù)的幾種簡便求導法[J].現(xiàn)代企業(yè)教育，2006，8（下）：83-85.[7]羅洪艷，閆運和.復合函數(shù)求導法則教學淺析[J].才智，2011，第二十八期[8]趙建玲.復合函數(shù)導數(shù)的新方法[J].河北北方學院學報，2008，24（4）：81-84.[9]劉玉璉.數(shù)學分析講義（上冊）[M].北京:高等教育出版社,1997.[10]馮德興.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,1993[11]吳炯圻.數(shù)學專業(yè)英語[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009[12]蔣紅英.突破求復合函數(shù)導數(shù)的重點、難點[J].思茅師范高等?？茖W校學報，2004，20（3）：69-70[13]賀建平.復合函數(shù)求導數(shù)教學法探討[J].職業(yè)技術(shù)，2007，第五期.[14]趙奎奇,方鋼.關于復合函數(shù)的求導方法[J].高等函授學報，2008，21（5）:13-14.[15]農(nóng)建誠.復合函數(shù)求導方法教學教法探討[J].課程教育研究，2012，第十九期.[16]梁樹春.復合函數(shù)求導法教學探討[J].廣西財政高等?？茖W校學報，2002，15（4）：61-63.[17]倪煥敏.關于復合函數(shù)求導有效教學的探究[J].湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院學報，2012，12（3）：116-117.[18]Kramsch,C.LanguageandCulture.OxfordUniverityPress,1998.CompositefunctionderivationmethodsandtechniquesMaotao（Grade11,Class1,MajorMathematicsandappliedmathematics,Ma