概率論第二章最終稿浙大版詳解演示文稿目前一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點優(yōu)選概率論第二章最終稿浙大版目前二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點我們記取出的黑球數(shù)為

X，則X的可能取值為1,2,3．因此,X是一個變量．但是，X取什么值依賴于試驗結果，即X的取值帶有隨機性，所以，我們稱

X為隨機變量．X的取值情況可由下表給出：目前三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結果都對應著變量

X

的一個確定的取值，因此變量

X是樣本空間S上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件

表示取出2個黑球這一事件；目前四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例2一大批產品中次品率為p，從中任取n件，求其中最多有k件次品的概率。求P(B)目前五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例3.Bernoulli試驗中，A表示成功，可設目前六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點隨機變量的定義定義：設隨機試驗E的樣本空間是S={e}，

X=X(e)是一個定義在S上的單值實值函數(shù)，稱X=X(e)為隨機變量,簡記為X。esxX=X(e)－－為S上的單值函數(shù)，X為實數(shù)

目前七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點說明目前八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例4

盒中有5個乒乓球,其中2個白球，3個黃球,從中任取3個,記X=“取到白球的個數(shù)”,則X是一個隨機變量,且X的可能取值是0,1,2,且有目前九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例5上午8:00～9:00在某路口觀察，令Y：該時間間隔內通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數(shù)大于

50輛但不超過100輛這一隨機事件．目前十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，使人們可利用數(shù)學分析的方法對隨機試驗結果進行廣泛而深入的研究.隨機變量因其取值方式的不同，通常分為兩類：離散型隨機變量連續(xù)型非離散型其它目前十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點2.2離散型隨機變量及其分布律目的：學習離散型隨機變量的概率分布律重點：1.掌握表格和直方圖2.掌握三種重要的離散型分布目前十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點定義如果一個隨機變量僅可能取得有限個或可數(shù)無窮多個數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機變量為離散型隨機變量.設離散型隨機變量X其可能的取值為稱為離散型隨機變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布律一、離散型隨機變量的分布律目前十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點表格形式分布列的性質：目前十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點概率直方圖（面積大小表示概率數(shù)值）另外還可用圖形來表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X目前十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例1袋中有1個白球和4個黑球，每次不放回地從中任取一個球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布.解設X為取到白球時的取球次數(shù)X的可能取值為1,2,3,4,5不難求得因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2目前十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二幾種常見的離散型分布一、兩點分布二、二項分布三、泊松(Poisson)分布四、超幾何分布*目前十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.一、兩點分布目前十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明目前十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例1

拋擲一枚質地均勻的硬幣,有兩種可能的結果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入變量X，令pi=P{X=i}=0.5(i=0,1

)X

0

1p0.5

0.5X的概率分布表：概率分布為目前二十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例2200

件產品中,有

196

件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點分布.于是,4

件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定目前二十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二、二項分布定義

若隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

很顯然,n重伯努利試驗中成功的次數(shù)服從二項分布事實上,二項分布就是來源于n重伯努利試驗模型目前二十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點n=1時，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k

,(k=0,1)，(0-1)分布性質(1)(2)目前二十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二項分布的圖形特點:對于固定及當增加時,概率先是隨之增加直至達到最大值,隨后單調減少.目前二十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點在圖1和圖2中，分別給出了當和時二項分布的圖形.從圖易看出：對于固定及當增加時，概率先是隨之增加直至達到最大值，隨后單調減少.pknOn=10,p=0.7圖1目前二十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點注：為不超過的最大整數(shù).當為整數(shù)時，二項概率在和處達到最大值.可以證明，一般的二項分布的圖形也具有這一性質，二項概率在達到最大值；不為整數(shù)時，且當pknOn=10,p=0.7圖1目前二十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例3

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解每答一道題相當于做一次伯努利試驗，則目前二十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例4按規(guī)定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知某批產品的一級品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機地抽取20只,問20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只為一級品的概率為多少？記X為20只元件中一級品的只數(shù),解目前二十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解：將每次射擊看成一次試驗,設擊中的次數(shù)為X,則X~B(400,0.02),某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為目前二十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布又稱泊松小數(shù)法則（Poissonlawofsmallnumbers）

性質目前三十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點目前三十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.目前三十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例5一輸電網一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)目前三十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二項分布的泊松逼近對二項分布當試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻煩.例如，要計算n=5000故須尋求近似計算方法.這里先介紹二項分布的泊松逼近目前三十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當時，為常數(shù)),則有該定理于1837年由法國數(shù)學家泊松引入！目前三十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二項分布

泊松分布

可見，當n充分大,p又很小時,可用泊松分布來近似二項分布！實際計算中，時近似效果變很好.目前三十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

由泊松定理，n重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.

我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等目前三十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例6

一家商店采用科學管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應進該種商品多少件?解設該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設商店在月底應進該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.目前三十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算投保人在一年內死亡若干人的概率。設某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保,每個人一年內死亡的概率為0.005個，試求在未來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過10人的概率．對每個人而言，在未來一年是否死亡相當于做一次伯努利試驗，1000人就是做1000重伯努利試驗，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理目前三十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點2.3連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)目的：學習連續(xù)型隨機變量的描述，采用概率密度重點：1.理解概率密度函數(shù)的幾何意義，并會求已知密度函數(shù)，求未知常數(shù)和某個區(qū)間概率2.掌握三種連續(xù)型分布及其不同性質和用途目前四十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點f()為X的概率密度函數(shù),x(或概率密度),f(x)定義與物理中的線密度定義相似一、密度函數(shù)定義目前四十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點xf(x)x密度函數(shù)幾何意義目前四十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二、有關事件的概率=0事實上目前四十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點積分中值定理目前四十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例1設隨機變量X的密度函數(shù)為求常數(shù)A和

解所以目前四十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知三、幾種常見的連續(xù)型分布目前四十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點均勻分布的意義目前四十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例2某公共汽車站從上午7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站,如果乘客到達此站時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.目前四十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解以

7:00為起點

0,以分為單位,依題意為使候車時間少于

5分鐘,乘客必須在

7:10到7:15之間,或在

7:25到

7:30之間到達車站,故所求概率為即乘客候車時間少于5分鐘的概率是

1/3.目前四十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例3

設隨機變量

X在

[2,5]上服從均勻分布,現(xiàn)對

X進行三次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率.

X的分布密度函數(shù)為

{X>3}

表示“對

X的觀測值大于

3的概率”,解因而有設Y表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則目前五十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點2.如果隨機變量

X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布的幾何圖形如圖.注：指數(shù)分布常用來描述對某一事件發(fā)生的等待時間.例如，乘客在公交車站等車的時間，電子元件的壽命等，因而它在可靠性理論和排隊論中有廣泛的應用.目前五十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例4某保險公司想開展一種新的壽險業(yè)務，被保險人需一次性繳納保費1000元，若被保險人在10年內死亡，保險公司將賠負5000元，假設人的壽命服從參數(shù)為1/65的指數(shù)分布.試幫保險公司做出決策.解假設某人的壽命為X假設某人投保時年齡超過S歲則此人再活10年以上的概率為目前五十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點因此，被保險人在10年內死亡的概率為所以保險公司對該被保險人的預期收益為1000-0.1426*5000=287(元)結論:保險公司可以開展這種保險業(yè)務.一般化在已活s年的基礎上,再活t年的概率等于壽命大于t年的概率.指數(shù)分布永遠年輕,無記憶性目前五十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點3、正態(tài)分布目前五十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應用與背景

目前五十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點標準正態(tài)分布的概率密度表示為二、標準正態(tài)分布目前五十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點2.4

分布函數(shù)目的：為了統(tǒng)一描述離散和連續(xù)隨機變量的概率分布，引入累積概率的分布函數(shù)重點：1.正確理解分布函數(shù)F(x)，區(qū)分x定義域和隨機變量X的取值區(qū)間2.必須會給定分布律，求分布函數(shù)和概率給定概率密度，求分布函數(shù)和某區(qū)間概率目前五十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點稱為X的分布函數(shù)．0xxX

設X是一個隨機變量,是任意實數(shù),函數(shù)幾何定義：一、分布函數(shù)的定義目前五十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點分布函數(shù)的性質F(x)是單調不減函數(shù)

0≤F(x)≤1,且不可能事件必然事件F(x)處處右連續(xù)目前五十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

引進分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來表示。分布函數(shù)表示事件的概率目前六十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點是不是某一隨機變量的分布函數(shù)？不是因為函數(shù)可作為分布函數(shù)思考目前六十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二，離散隨機變量的分布函數(shù)目前六十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(1)X的分布函數(shù)F(x)，并且畫圖例子1隨機變量X得的分布律如下(2)求概率目前六十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點三，連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)積分關系導數(shù)關系目前六十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點1.如果隨機變量X的密度函數(shù)為從密度函數(shù)的意義可知四，幾種常見的連續(xù)型分布函數(shù)目前六十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點均勻分布的分布函數(shù)為目前六十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維隨機變量第五節(jié)目的：引入同時描述多個變量的隨機變量重點：1.會求離散型的聯(lián)合分布律和概率2.會求連續(xù)型的聯(lián)合概率密度和概率目前六十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例如

E：抽樣調查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

此時不僅僅是X及Y各自的性質，要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關系。因此，我們將二者作為一個整體來進行研究，記為(X,Y),稱為二維隨機變（向）量。一，概念引入目前六十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

設X、Y

為定義在同一樣本空間S上的隨機變量，則稱向量（X，Y）為S上的一個二維隨機變量定義二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的取值可看作平面上的點（x，y）A目前六十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機變量，對于任意的實數(shù)x,y.定義稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)性質(3)(x,y)目前七十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點x1x2y1y2

P（x1Xx2，y1Y

y2）

=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)目前七十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維離散型隨機變量

若二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值只有限對或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量。如何反映（X，Y）的取值規(guī)律呢？定義研究問題聯(lián)想一維離散型隨機變量的分布律。目前七十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常見形式）性質目前七十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1，2，2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設每次取球時，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布列.

的可能取值為(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例1解目前七十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

若存在非負函數(shù)f（x，y），使對任意實數(shù)x，y，二元隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機變量。f（x，y）稱為二元隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度

定義目前七十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質非負性幾何解釋..隨機事件的概率=曲頂柱體的體積目前七十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設二維隨機變量的概率密度為

(1)確定常數(shù)k；

(2)求的分布函數(shù)；；

.

(4)求例2目前七十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(1)所以解

目前七十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(2)當時，當時，所以，目前七十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(3)41或解目前八十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(4)目前八十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點224例3

已知二維隨機變量（X，Y）的分布密度為求概率解

1目前八十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點續(xù)解……….x+y=3目前八十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點思考已知二維隨機變量（X，Y）的分布密度為求概率2241解答

目前八十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點目的：通過給出的二維分布，求出X,Y的一維分布重點：掌握由二維分布求一維分布和邊緣概率密度第六節(jié)：邊緣分布目前八十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點回顧二維隨機變量,是兩個隨機變量視為一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律。問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問題

目前八十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維離散型R.v.（隨機變量）的邊緣分布如果二維離散型隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………目前八十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維離散型R.v.的邊緣分布關于X的邊緣分布關于Y的邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…目前八十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點邊緣分布是兩個一維分布關于X的邊緣分布關于Y的邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…目前八十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維離散型R.v.的邊緣分布例1

設二維離散型隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關于X、Y的邊緣分布目前九十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點關于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關于X的邊緣分布為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯(lián)合分布目前九十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布

關于X的邊緣概率密度為關于Y的邊緣概率密度為的概率關于目前九十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例2

設（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個邊緣分布密度函數(shù)解由得當時關于X的邊緣分布密度為113目前九十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點113解所以，關于X的邊緣分布密度為所以，關于Y的邊緣分布密度為當時當時當時關于Y的邊緣分布密度為目前九十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點注意已知二維分布可以求X,Y的邊緣分布已知X,Y的邊緣分布不能求出二維分布二維分布比X,Y各種的邊緣分布要精細目前九十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點選學：邊緣分布密度和概率的計算例3設（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<-1)和P(X>1/2)目前九十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點(2)均勻分布解(1)由得當時-11目前九十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點當時所以，關于X的邊緣分布密度函數(shù)為-11續(xù)解………..

目前九十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點-11解當時當時所以，關于Y的邊緣分布密度函數(shù)為目前九十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解（3）

目前一百頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點第八節(jié)相互獨立的隨機變量（R.v.）目的：定義了兩個隨機變量X,Y的獨立性重點：1.與第一章事件獨立性的關系2.會用定義去驗證離散和連續(xù)R.v.的獨立性3.會判斷和應用X,Y獨立性從而解決問題目前一百零一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點隨機變量的相互獨立性特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于：★★定義設X,Y兩個隨機變量，對于任意的a,b,c,d,有對任意i,j對任意x,y成立，則稱隨機變量X，Y相互獨立。目前一百零二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

在實際問題或應用中，當X的取值與Y的取值互不影響時，我們就認為X與Y是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用.在X與Y是相互獨立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實際意義補充說明目前一百零三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐個驗證等式目前一百零四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點證

∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y目前一百零五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例2

設（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）

(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨立。解①設A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11目前一百零六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點②邊緣密度函數(shù)分別為當時當時所以，同理可得目前一百零七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點③所以X與Y相互獨立。目前一百零八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例3

已知二維隨機變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨立。解（X,Y）的密度函數(shù)為目前一百零九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點當時，所以，關于X的邊緣分布密度為關于X的邊緣分布密度為當或時目前一百一十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點當時，所以，關于Y的邊緣分布密度為關于Y的邊緣分布密度為當或時目前一百一十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點所以所以，X與Y不獨立。目前一百一十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設（X,Y)服從矩形域上的均勻分布，求證X與Y獨立。課后：時解目前一百一十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點于是同理所以即X與Y獨立。時目前一百一十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點第九節(jié)一維隨機變量函數(shù)的分布目的：學會由已知隨機變量X的簡單分布，得到復雜分布的方法。重點：掌握簡單離散和連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布的求法。目前一百一十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點隨機變量的函數(shù)隨機變量密度函數(shù)分布函數(shù)目前一百一十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點若X為離散型隨機變量,其分布律為X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．pk

p1p2p3．．．．．．．pn．．．．則隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．如果g(xi)與g(xj)相同，此時將兩項合并，對應概率相加．離散隨機變量的函數(shù)的分布目前一百一十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設隨機變量X的分布律為求Y=2X2+1的分布律．解例1由題設可得如下表格X－1012pk

0.20.30.40.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的分布律為y

139pk

0.30.60.1目前一百一十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解由題設可得如下表格設圓半徑X的分布律為求周長及面積的分布律．例2X

9.51010.511pk

0.060.50.40.04x9.51010.511周長19π20π21π22π面積90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04目前一百一十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解周長19π20π21π22π概率0.060.50.40.04所以，周長的分布律為面積90.25π100π110.25π121π概率0.060.50.40.04面積的分布律為目前一百二十頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設X為一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為

f(x)。y=g(x)為一個連續(xù)函數(shù)，求隨機變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)(1)求Y的分布函數(shù)FY(y)根據分布函數(shù)的定義(2)對FY(y)求導，得到fY(y)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布一般方法目前一百二十一頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點設隨機變量X的密度函數(shù)為求隨機變量Y=2X+8的概率密度。先求Y=2X+8的分布函數(shù)FY(y).解（1）例3目前一百二十二頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點（2）求Y=2X+8的概率密度目前一百二十三頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點解先求分布函數(shù)FY(y)。設隨機變量X服從正態(tài)分布求的概率密度。當時，所以，選學目前一百二十四頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點當時，所以，目前一百二十五頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點推論定理正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布正態(tài)分布的標準化目前一百二十六頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點練習設圓的半徑X服從區(qū)間(1,2)上的均勻分布，求圓面積的分布密度函數(shù)。答案：目前一百二十七頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點2.9二維隨機變量函數(shù)的分布目的：已知隨機變量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是連續(xù)函數(shù)。重點：學會X，Y是獨立隨機變量時的g（X，Y）的分布目前一百二十八頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點

二維離散型隨機變量函數(shù)的分布設二維離散型隨機變量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12…pij…Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)…g(xi,yj)…目前一百二十九頁\總數(shù)一百四十三頁\編于十五點例1.設隨機變量(X,Y)的概率分布為XY-1012-10.20.150.10.320.100.10.05求隨機向量(X,Y)的函數(shù)的分布(1)Z1=X+Y(2)Z2=XY。(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,1)(2,2)pij0.20.150.10.30.100.10.05Z1=X+Y-2-1011234Z2=XY10-1-2-2024目前一百