北京通州區(qū)潞州中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，以及虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，求得復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），從而得出結(jié)論．【解答】解：∵復(fù)數(shù)==，它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），故選D．2.已知命題:函數(shù)的最小正周期為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱.則下列命題是真命題的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知一組函數(shù)fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，]，n∈N*，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①?n∈N*，fn（x）≤恒成立②若fn（x）為常數(shù)函數(shù)，則n=2③f4（x）在[0，]上單調(diào)遞減，在[，]上單調(diào)遞增．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①x∈[0，]，可得fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=，即可判斷出正誤；②當(dāng)n=1時(shí)，f1（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=sin2x+cos2x=1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)n≠2時(shí)，令sin2x=t∈[0，1]，則fn（x）=+=g（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤；③利用平方關(guān)系、倍角公式可得：f4（x）=+，即可判斷出其單調(diào)性．【解答】解：①∵x∈[0，]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=≤，因此正確；②當(dāng)n=1時(shí)，f1（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=sin2x+cos2x=1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)n≠2時(shí)，令sin2x=t∈[0，1]，則fn（x）=+=g（t），g′（t）=﹣=，當(dāng)t∈時(shí)，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈時(shí)，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增加，因此函數(shù)fn（x）不是常數(shù)函數(shù)，因此②正確．③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，當(dāng)x∈[0，]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上單調(diào)遞增，因此正確．綜上可得：①②③都正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、平方公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4.設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a3=10，且a1a3=16，則a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．120參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知得a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的兩個(gè)根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，從而能求出a11+a12+a13的值．【解答】解：∵{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a1+a3=10，且a1a3=16，∴a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的兩個(gè)根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3，∴a11+a12+a13=3a1+33d=3×2+33×3=105．故選：C．5.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠DAB=60°，=3，則的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意畫(huà)出圖形，把都用表示，則答案可求．【解答】解：如圖，∵AB=AD=4，∠DAB=60°，=3，∴=====9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．6.某程序框圖如右圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的k值是（

）A．5

B．6C．7

D．8參考答案：C7.過(guò)雙曲線1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F1作一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若A恰好是F1B的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.參考答案：C【分析】由題意可知，漸近線方程為y＝±x，則F1A的方程為y﹣0（x+c），代入漸近線方程yx可得B的坐標(biāo)，由若A恰好是F1B的中點(diǎn)，所以|OB|＝c，即可求得離心率．【詳解】由題意可知，漸近線方程為y＝±x，則F1A的方程為y﹣0（x+c），代入漸近線方程yx可得B的坐標(biāo)為（，），因?yàn)槿鬉恰好是F1B的中點(diǎn)，所以|OB|＝c，所以（）2+（）2＝c2，所以b2＝3a2，所以c2＝a2+b2＝4a2，所以e＝2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8.函數(shù)的最小值和最大值分別為A.－3，1

B.－2，2

C.－3，

D.－2，參考答案：C9.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A.

B.

C.

D.

參考答案：A略10.若函數(shù)的反函數(shù)為，則函數(shù)與的圖象可能是（

）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（理）．參考答案：π+2【考點(diǎn)】：定積分．【專題】：計(jì)算題．【分析】：根據(jù)定積分的定義，找出三角函數(shù)的原函數(shù)然后代入計(jì)算即可．解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案為π+2．【點(diǎn)評(píng)】：此題考查定積分的性質(zhì)及其計(jì)算，是高中新增的內(nèi)容，要掌握定積分基本的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出原函數(shù)．12.在中，，①__________；②若，則__________．參考答案：①；②①∵，，整理得，∴．②∵，．13.已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4,則的解析式為=

參考答案：14.設(shè)＝，＝(0，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足0≤≤1，0≤≤1，則z＝y(tǒng)－x的最小值是

．參考答案：－115.已知，，則__________．參考答案：

16.幾何證明選講）已知⊙O1和⊙O2交于點(diǎn)C和D，⊙O1上的點(diǎn)P處的切線交⊙O2于A、B點(diǎn)，交直線CD于點(diǎn)E，M是⊙O2上的一點(diǎn)，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半徑為

.參考答案：略17.曲線在點(diǎn)處的切線方程是

▲

．參考答案：x－y－2=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.

已知圓，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)，且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡為曲線C(1)求C的方程；(2)點(diǎn)P是曲線C上橫坐標(biāo)大于2的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E在y軸上，圓內(nèi)切于

PDE，求PDE面積的最小值參考答案：略19.(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）

已知數(shù)列滿足

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Il)證明：參考答案：略20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若圓C的極坐標(biāo)方程是，且直線l與圓C相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：由，得，所以，即圓的方程為，又由，消，得，由直線與圓相交，所以，即.

21.如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．（3）求AF與平面BFC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）要證AC⊥平面BDEF，只要證AC垂直于平面BDEF內(nèi)的兩條相交直線即可，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD為菱形得到AC⊥BD，則由線面垂直的判定定理得到答案；（2）由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出二面角A﹣FC﹣B的兩個(gè)面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；（3）求出向量的坐標(biāo)，直接用向量與平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF與平面BFC所成角的正弦值．【解答】（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)．又FA=FC，所以AC⊥FO．

因?yàn)镕O∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．

（2）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF為等邊三角形．因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，所以O(shè)B=1，．所以．所以，．設(shè)平面BFC的法向量為，則有，所以，取x=1，得．由圖可知平面AFC的法向量為．由二面角A﹣FC﹣B是銳角，得=．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值為；（3）解：，平面BFC的法向量，所以=．則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線和平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求線面角和面面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．22.（滿分12分）如右圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B