1.7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限-習(xí)題1.7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限-習(xí)題/1.7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限-習(xí)題第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解1．計(jì)算以下極限：limtan3x；0x【解】這是“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式lim0sinf(x)1：0f(x)f(x)為將tan3x化出sin3x，利用tan3xsin3x，得：cos3xlimtan3xlimsin3x3313。x0xx03xcos3xcos0limxsin1；x【解】由于limsin1sin00，這是“0”型極限，x1sin1應(yīng)化為商式極限求解：limxsinlimx，xx011xx這又成為了“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式0sin11limx11，亦即limxsin1。0xx1xxlimxcotx；0【解】由于limcotx，這是“0”型極限，x0應(yīng)化為商式極限求解：limxcotxx，limx0x0tanx這又成為了“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式0同樣利用tanxsinx，得：cosxlimxlimxcosx1cos01，x0tanxx0sinx亦即limxcotx1。x0

limf(x)0limf(x)0

sinf(x)1：f(x)sinf(x)1：f(x)1第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解lim1cos2x；x0xsinx【解】這是“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式lim0sinf(x)1：0f(x)f(x)為將1cos2x化出正弦函數(shù)，利用cos2x12sin2x，得：lim1cos2xlim2sin2x2limsinx212。x0xsinxx0xsinxx0xlimsinx；x【解】這是“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式limsinf(x)1：0f(x)0f(x)由于不可以能將x轉(zhuǎn)變成x，應(yīng)試慮利用引誘公式，將sinx變換為sin(x)，得：limsinxlimsin(x)1。x0xxx⑹limx；1cosxx0【解】這是“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式limsinf(x)1：0f(x)0f(x)為將根號(hào)去掉，并將余弦函數(shù)轉(zhuǎn)變成正弦函數(shù)，可利用cosx12sin2x，得：2limxlimx1limx1limxx01cosxx02sin2x2x0sinx2x0sinx2222x2212。limx22x0sin2limxsinx；0xsinx【解】這是“0”型含三角函數(shù)極限，可考慮套用極限公式lim0sinf(x)1：0f(x)f(x)xsinx1sinx11limlimx0。x0xsinxx0sinx111x2第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解⑻lim2nsinxn（x為不等于零的常數(shù)）。n2【解】由于limsinxsin0nsinx屬于“0”型極限，n0，知lim2nn2n2xxxsinsin應(yīng)化為商式極限求解：lim2nsin2nlim2nx1xx。nlim1xn2nn2n2n2．計(jì)算以下極限：1⑴lim(1x)x；x01【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)011(1)1lim(1x)xlim[1(x)]xlim{[1(x)]x}1e1。x0x0x0⑵lim(1x)2x；x1【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)0lim(1x)2xlim[(11)x]2e2。xxxx1⑶lim(1)kx（kN）；x1【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)0lim(11)kxlim(11)x(k)lim[(11)x]kek。xxxxxx⑷lim(x)x3；x1x1【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)0【解法一】lim(x)x3lim(x)x12lim(x)x1(x)2x1xx1xx1x1xlim(11x1(1)x)2)1(x1x1x1x11lim[(11)1]1()2xx11x3第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解e112e1?！窘夥ǘ縧im(1x)x3lim(1)x3lim13lim1xxx1x1xx1x131(1)(1)(1)xxxx11e1。1e⑸lim(1xex)x；x01【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)011ex1]exee0lim(1xex)xlim(1xex)xexlim[(1xex)xexe。x0x0x0⑹lim(xa)x（aR）.xxa1【解】這是“1”型極限，可考慮套用極限公式lim[1f(x)]f(x)e：f(x)0【解法一】lim(xa)xlim(xa)xaalim(xa)xa(xa)axxaxxaxxaxalim(12a)xa2axa)a2a(xxaxa2axa1ae2a(10)alim[(1)2a]2a(x)ae2a。xxa1a10x1a(1a)x(1xaxa)xa)a【解法二】lim(lim(x)xlimxlimxxxax1ax(1a)xx(1x(a)a)axxxaxalim[(1x)a]ea2aa)xeae。x[(1a]ax3．已知lim(xc)2x3，求常數(shù)c.xxc【解】先求出lim(xc)2x，這有以下兩種解法：xxc4第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解【解法一】lim(xxlim(12c)xcclim[(12cxc]c(12cc)c(xxcxxcxxcxccec12ec。x1cxc(1c)cxc(1c)cxc【解法二】由于lim(xc)2lim(x)c2lim[(1xx]2lim[xx]2xxcxxxxxcc[e1]2[e2]2ece即由已知得ec3，從而知cln3。4．利用極限存在準(zhǔn)則證明：⑴limn(11L1)1；n2n22n2nn【證明】由于在括號(hào)內(nèi)的n個(gè)分式中，分母最大的是n2n，最小的是n2，因此這n個(gè)分式中最小的是1，最大的是1，從而有n2n2nn11L1n，n2nn2n22n2nn2可得n2111n2nn(n2n22Ln2n)n2，n2而limn211，limn2lim11，2lim2nnn1nnnn1n2n即由夾逼準(zhǔn)則得，limn(11L1)1。222nnn2nn證畢。⑵limn1x1。x0【證明】由于x0，故不如設(shè)1x1，又因x0的方式可以分為x0和x0，從而可以分1x0和0x1兩種情況進(jìn)行證明：①當(dāng)1x0時(shí)，有01x1，使指數(shù)函數(shù)u(1x)v是減函數(shù)，5第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解10獲取(1x)11(1x)0，于是由1(1x)nn1亦即1x(1x)n1，而lim(1x)1，lim11，x0x01即由夾逼準(zhǔn)則得，lim(1x)n1，亦即limn1x1；x0x0②當(dāng)0x1時(shí)，有11x2，使指數(shù)函數(shù)u(1x)v是增函數(shù)，1x)01x)1，于是由01獲取(1(1x)n(1n1亦即1(1x)n1x，而x)1lim11，x0x0，1即由夾逼準(zhǔn)則得，lim(1x)n1，亦即limn1x1，x0x0綜上有l(wèi)imn1x1，limn1x1，x0x0從而得limn1x1。證畢。x05．利用極限存在準(zhǔn)則證明：數(shù)列2，22，222，的極限存在，并求出極限?！咀C明】⑴先證明數(shù)列有界：令a12，a222，a3222，，可見an2an1且，an0由于a22，a222222，，1假設(shè)an12，于是，有an2an1222，由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)所有nN，均成立0an2，可知該數(shù)列有界。⑵再證明數(shù)列單調(diào)：6第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1．7極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限習(xí)題解由于an2an1