第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2022-2023學(xué)年江蘇省南京重點(diǎn)學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若復(fù)數(shù)z滿足z?i=z?i(A.?12?12i B.?2.3coA.12 B.22 C.13.向量a=(2,0)，b=(x,y)A.2 B.23 C.4 4.《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白，與著名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隔，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S=14[c2a2?(c2+a2?b22)A.34 B.54 C.5.正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，若AFA.3 B.5 C.32 D.6.已知sin(α?π3A.23 B.29 C.?17.在△ABC中，tanA+B2=A.213 B.32 C.8.在給出的下列命題中，不正確的是(

)A.設(shè)O，A，B，C是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若OA=m?OB+(1?m)?OC(m∈R)，則點(diǎn)A，B，C必共線

B.若向量a，b是平面α上的兩個(gè)向量，則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ、λ∈R)二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(2?iA.復(fù)數(shù)z的模為15 B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為?25?15i

C.復(fù)數(shù)z10.設(shè)向量a=(1,A.|a?b|=|a| B.(a?11.已知函數(shù)f(x)=A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π2

B.x=5π6為函數(shù)f(x)圖像的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)f(12.如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3(acosC+ccos

A.△ABC的內(nèi)角B=π3

B.△ADC一定是鈍角三角形

C.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=?2x上，且|z|=14.設(shè)x、y∈R，若向量a，b，c滿足a=(x,1)，b=(2,y15.已知△ABC的邊AC=2，且3t16.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”(1弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成).類(lèi)比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)AD=λAB+μ四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知z是復(fù)數(shù)，且z?i和z1?i都是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．

(1)求復(fù)數(shù)z和|z|；18.(本小題12.0分)

在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=6，AD=CD=3，對(duì)角線AC交BD19.(本小題12.0分)

如圖所示，近日我漁船編隊(duì)在島A周?chē)Ｓ蜃鳂I(yè)，在島A的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站B，某時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測(cè)得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航，上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時(shí)的速度向島A直線航行以保護(hù)我漁船編隊(duì)，30分鐘后到達(dá)D處，此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得B，D間的距離為21海里．

(1)求sin∠BDC20.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x21.(本小題12.0分)

在①ba=cosB+13sinA，②2bsinA=atanB，③(a?c)sinA+cs22.(本小題12.0分)

已知m=(3sinx,?acosx)，n=(?2acosx,2c答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由z?i=z?i得：z=i1?i=i(1+2.【答案】D

【解析】解：3cos15°?4sin215°cos15°

3.【答案】C

【解析】解：由題意和向量加減的三角形法則可得a，b與b?a構(gòu)成三角形，

對(duì)應(yīng)的角分別為A、B、C，則A=30°，

由正弦定理可得|b|sinB=|4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閟inA：sinB：sinC=(2?1)：5：(2+1)，

所以由正弦定理得，a：b：c=(2?1)：5：(2+1)，

又△ABC的周長(zhǎng)為4+5.【答案】D

【解析】解：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，

∵AF?AE=|AE|2，

由數(shù)量積的幾何意義可知EF⊥AE，

由E是BC中點(diǎn)，

AE=5，E6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閟in(α?π3)+3cosα=13，

所以17.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查解三角形，涉及正弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求最值，屬于中檔題．

由已知式子化簡(jiǎn)變形討論可得C=π3，再由正弦定理可得12AC+BC=13sin(2π3?A)+23sinA，由三角函數(shù)的輔助角公式可得答案．

【解答】

解：∵在△ABC中，tanA+B2=2sinC，

∴tan(π2?C2)=2sinC，

∴8.【答案】B

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，

∵OA=mOB+(1?m)OC(m∈R)，

∴OA?OC=m(OB?OC)，

∴CA=mCB，

即CA//CB，

又CA與CB有公共點(diǎn)C，

∴點(diǎn)A，B，C共線，

即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，

由平面向量基本定理：若向量a，b是平面α上的兩個(gè)不共線的向量，

則平面α上的任一向量c都可以表示為c=λa+μb(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的，

而選項(xiàng)中沒(méi)有強(qiáng)調(diào)向量a，b不共線，

即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C，

∵OA?OB=OA?OC，

∴OA?(OB?OC)=0，

即OA?CB=0，

即OA⊥BC，

∴OA為BC9.【答案】AB【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z，再分別判斷A、B、C、D的結(jié)論即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z(2?i)=i2020，整理得z=(i2)10102?i=12?i=2+i5．

對(duì)于A，由于z=25+15i，故|z|=

10.【答案】AC【解析】解：因?yàn)閍=(1,?1),b=(2,0)，所以a?b=(?1,?1)，

對(duì)A：|a?b|=2，|a|=2，所以|a?b|=|a|，故A正確；

對(duì)B：因?yàn)?1.【答案】BC【解析】解：由題意得：f(x)=?4cosxcos(x+π3)+1

=?4cosx(12cosx?32sinx)+1

=?2cos2x+23cosxsinx+1

=?(1+cos2x)+3sin2x+1

12.【答案】AC【解析】解：∵3(acosC+ccosA)=2bsinB，

∴3(sinAcosC+sinCcosA)=2sinB?sinB，即3sin(A+C)=3sinB=2sinBsinB，

∵sinB≠0，

∴sinB=32，

又∵13.【答案】1?2i【解析】解：設(shè)z=a+bi，則b=?2aa2+b2=5，解得a=1b=?2或14.【答案】3【解析】解：a?b=(x?2,1?y)，且a?b與c互相平行，

∴x?2?(1?y)=0，

∴y=3?x，

∴a+215.【答案】2【解析】解：由題意，設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)度分別為a，b，c，則有b=2，

由3tanA+2tanB=1，可得3cosAsinA+2cosBsinB=1，

整理得3cosAsinB+2sinAcosB=sinAsinB，16.【答案】1213【解析】解：不妨設(shè)DF=2，AF=1，∠ADB=2π3，

在△ABD中，由余弦定理得，

AB2=AD2+BD2?2AD?BDcos120°

=32+12?2×3×1×(?12)=13，

故AB=13；

再由正弦定理可得，

DBsin∠DAB=ABsin∠17.【答案】解：(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z?i=a+(b?1)i，

∵z?i是實(shí)數(shù)，∴b=1，則z=a+i，

【解析】(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，利用z?i與z1?i都是實(shí)數(shù)求解a與b的值，可得z18.【答案】解：(1)以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(6,0)，D(0,3)，C(3,3)，

因?yàn)锳B//CD，AB=6，CD=3，

所以△ABO∽△CDO，所以O(shè)AOC=OBOD=ABCD=2，

所以點(diǎn)O(2,2)，

設(shè)M(m,0)，則OM=【解析】(1)以A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)△ABO∽△CDO，可求得點(diǎn)O的坐標(biāo)，設(shè)M(m,0)，由OM?BD19.【答案】解：(1)由已知可得CD=40×12=20，

△BDC中，根據(jù)余弦定理求得cos∠BDC=212+202?3122【解析】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)由已知可得CD=20，△BDC中，根據(jù)余弦定理求得cos∠BDC的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠20.【答案】解：(1)由輔助角公式得f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

則y=[f【解析】(1)由輔助角公式可得f(x)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)y的解析式，可得函數(shù)的周期；

(221.【答案】解：若選①：

(1)因?yàn)閎a=cosB+13sinA，由正弦定理可得：3sinBsinA=sinAcosB+sinA，

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以sinA≠0，

所以3sinB=cosB+1，可得：2sin(B?π6)=1，即sin(B?π6)=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，可得B?π6∈(?π6,5π6)，可得B?π6=π6，

所以可得B=π3．

(2)因?yàn)閎2=a2+c2?2accosB=(a+c)2?3ac=16?3ac，即3ac=16?b2，【解析】若選①：

(1)由正弦定理，輔