第七章位移法§7-1位移法基本概念§7-2等截面直桿的剛度方程§7-3無側移剛架的計算§7-6對稱結構的計算§7-7支座移動和溫度改變時的計算§7-4有側移剛架的計算§7-5位移法基本體系1§7-1位移法基本概念一、位移法基本思路

1)

選擇結點位移作為基本未知量。上圖示連續(xù)梁，取結點B的轉角θB作為基本未知量，若θB已知，則AB桿與BC桿成為已知支座位移和荷載的單跨超靜定梁。qABCllEIEI2qABCllEIEI2）桿端彎矩表達式單跨超靜定梁內力可由力法或材料力學知識求得。ABlEIqBClEIMBAMBC3由結點B力矩平衡可得3）建立位移法方程并求解4）求桿端彎矩作彎矩圖將θB代入桿端彎矩表達式，得：M

圖ABCBMBAMBC41）位移法選擇結點位移(包括角位移和線位移)作為基本未知量。小結：2）各桿件桿端取對應的結點位移即滿足了結點處的變形協(xié)調條件。3）位移法方程是平衡方程，為基本未知量對應的結點平衡方程，滿足結點處的平衡條件。4）單跨超靜定梁的求解是基礎。5）先將結構拆成桿件，再將桿件搭成結構(化整為零，集零為整)。5二、位移法基本未知量1）結點分類：內部結點：桿件與桿件連接的結點(B)外部結點：只與單個桿件連接的結點(A、C)qABCllEIEI2）位移法可選擇全部結點位移作為基本未知量，亦可只選擇內部結點位移作為基本未知量。手算選擇后者(手算怕繁—盡可能減少未知量數(shù)目)；計算機計算選擇前者(機算怕亂—盡可能減少桿件類型)

。61．結點轉角位移未知量θ結構有幾個剛結點就有幾個結點轉角未知量。ABCABCDEABCD7若忽略軸向變形，可用附加鏈桿的方法確定結點線位移未知量△。從兩個不動點（無線位移的點）引出的兩根無軸向變形的桿件，其交點無線位移。若一個結構需附加n根鏈桿才能使所有內部結點成為不動點（無線位移），則該結構線位移未知量的數(shù)目就是n。2．結點線位移未知量△線位移未知量數(shù)目與是否考慮桿件軸線變形有關。若考慮桿件軸向變形，每個結點兩個線位移。為盡可能減少未知量數(shù)目，手算通常假設：對于受彎桿件，忽略軸向變形的影響。8附加鏈桿ABCDABCDEABCDEA為有限值ABCD9§7-2等截面直桿的剛度方程一、符號規(guī)則1．桿端彎矩規(guī)定桿端彎矩順時針方向為正，逆時針方向為負。桿端彎矩的雙重身份：1）對桿件隔離體，桿端彎矩是外力矩，順時針方向為正，逆時針方向為負。2）若把桿件裝配成結構，桿端彎矩又成為內力，彎矩圖仍畫在受拉邊。MBAMCBABCMBC102．結點轉角結點轉角以順時針方向為正，逆時針方向為負。

桿件兩端相對側移△的正負號與弦轉角β

的正負號一致。而β以順時針方向為正，逆時針方向為負。3．桿件兩端相對側移BAABABCD()()FP111.兩端固定梁二、等截面直桿的剛度方程ABEIMABMBAABEIAiBAiBABiMABMBA線剛度12式中系數(shù)4i、2i、-6i/l

稱為剛度系數(shù)，即產生單位桿端位移所需施加的桿端力矩。由上圖可得：可寫成：上式就是兩端固定梁的剛度方程。132.一端固定、一端滾軸支座的梁

BAiBAiBAEI143.一端固定、一端滑動支座的梁BAEIMABMBA154.

等截面直桿只要兩端的桿端位移對應相同，則相應的桿端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA16BAMABMBABAMABMBA3)2)BAMABBAMAB171.兩端固定梁三、固端彎矩qABFPAB單跨超靜定梁在荷載作用下產生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時針方向為正，逆時針方向為負。182.一端固定、一端輥軸支座的梁ABFPBAq193.一端固定、一端滑動支座的梁

各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查表7-1。ABABFPq20四、正確判別固端彎矩的正負號ABABqqqBABAq桿端彎矩順時針方向為正！21§7-3無側移剛架的計算剛架內部結點無線位移，只有角位移?；疚粗浚簝炔拷Y點的角位移。ABCDE8kN/miii圖示剛架，若忽略軸力引起的軸向變形，則內部結點無線位移?；疚粗浚害菳、θD22解：例7-3-1

用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI相同。ABCDE8kN/miii1）未知量：θB

θD()

()2）列出桿端彎矩表達式23iABCDEiii8kN/m3）建立位移法方程并求解MBDMBAB1MDBMDCMDED224聯(lián)立①②，解得：4）求桿端彎矩并作彎矩圖將求得的θB

、θD

代入桿端彎矩表達式得：M圖(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7325§7-4有側移剛架的計算基本未知量：內部結點的線位移、角位移。桿件兩端可能有相對側移。位移法方程：增加與結點線位移對應的力的平衡方程。例7-4-1

用位移法求圖示剛架內力圖。2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)解：1）未知量：()()2）列出桿端彎矩表達式26EABCDii/22i2kN/m14kN273）建立位移法方程并求解MDCMDAMDED由結點D平衡：DA柱：作隔離體如右圖，求柱剪力。1B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE28EB柱CE梁22kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE29解方程組①、②，得4）作內力圖30EABCD173141433DFNDA=-17kN0FNDE=03EFNEB=3kN300EABCD1412216EABCD143831例7-4-2

作圖示結構M圖，忽略桿件軸向變形。解：A

C

E

B

D

F

I1

I2

I3

h1

h2

h3

EA→∞EA→∞FP

2）桿端彎矩表達式1）未知量()323）建立位移法方程并求解求各柱剪力。

k1、k2、k3稱為柱的側移剛度，在數(shù)值上等于該柱兩端產生相對側移△=1時柱的剪力值。MBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB

AC

D

F

E

h1

h2

h3

EA→∞EA→∞33考慮ACE部分平衡MBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB

AC

D

F

E

h1

h2

h3

EA→∞EA→∞344）求各柱剪力并畫彎矩圖μi

稱為剪力分配系數(shù)，且有∑μi

=1。各柱的分配系數(shù)與側移剛度成正比?？偧袅P按剪力分配系數(shù)的比例分配給各柱。35各柱端彎矩為：M

圖FPB

AC

D

F

E

這種按側移剛度來分配剪力的方法稱為剪力分配法。36§7-5位移法的基本體系qABCllEIEI在B結點加附加轉動約束()控制結點轉動qABC基本體系與原結構區(qū)別：增加了與基本未知量相應的人為約束，使基本未知量由被動位移變?yōu)槭芸刂频闹鲃游灰?。與原結構等價的條件：約束力與原結構作用在該結點自由度上的荷載相等(原來的主動荷載變?yōu)楸粍拥募s束力)。37ABC基本結構qABCllEIEI狀態(tài)分解為：BCiAiB+qABCqCB(1)ACBii(2)基本體系38例7-5-1

用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI相同。ABCDE8kN/miii39()()解:F1PF2P10.6742.6721.33ABCDEMP

圖10.670F2PD10.6742.67F2P=-3210.670F1PBF1P=-10.671）求剛度系數(shù)。400k21D2ik21=2i04i4ik11Bk11=8ik11k212i4i2i4iABCDE413ik22D4ik22=8ii2i0k12Bk12=2ik12k22ABCDE2ii4i3i42F1P=-10.67F2P=-32k11=8ik12=k21=2ik22=8i2）建立位移法方程上述剛度系數(shù)實質上是剛結點附加轉動約束產生的約束力矩，由于原結構并沒有附加轉動約束，各附加轉動約束上的約束力矩之和應等于零，據(jù)此可以建立位移法典型方程。位移法典型方程的物理意義：結點附加約束的約束力之和等于原結構作用在該結點自由度上的荷載。位移法方程是平衡方程。432kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例7-3-2

用位移法求圖示剛架內力圖。解：1）未知量：()()44F1P=14D14F2P14kNEABCD2kN/m4kN.mF1PMP圖14kN.m1）求剛度系數(shù)。B042kN/m14kNEACDF2PF2P=3F1P45

3ik11=5iD

2ik11EABCDii/22i2i

i3i-0.75i0iEACDBk21=-0.75i46k12=-0.75iD0.75i

1.5ik12EABCDii/22i0.75i0.75ik220.375i0.375i

0.75i0.75iEACDBk22=0.75i

1.5i472）建立位移法方程并求解k11=5i

k12=k21=-0.75ik22=0.75i

F1P=14F2P=3附加轉動約束的反力矩之和等于零附加鏈桿上的反力之和等于零3）桿端彎矩內力圖見前圖。48§7-6對稱結構的計算結構對稱是指結構的幾何形狀、支座條件、材料性質及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。利用結構對稱性簡化計算，基本思路是取半邊結構以減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結構時，該截面應加上與位移條件相應的支座。1.對稱荷載49對稱結構在對稱荷載作用下，其內力和變形均對稱(彎矩圖、軸力圖對稱，剪力圖反對稱)。在取半邊結構時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應加倍。與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP50

Bii1i2ii1i2i

FP

FPii1i22iBCA未知量

FP512．反對稱荷載對稱結構在反對稱荷載作用下，其內力和變形均反對稱(彎矩圖、軸力圖反對稱，剪力圖對稱)

。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i252未知量B

2i2i1C

FP

FPBi2i1i1

FPC53二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對稱軸相交的截面。1.對稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i542.反對稱荷載FPBII1/2I2

將中柱分成慣性矩各為I1/2的兩個柱，兩柱間跨度為零，則原結構變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結構在反對稱荷載作用下的結論就可以得到圖示簡化結果。FPFPBIII1I2

I2

0FPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

55例7-6-1

作圖示結構M

圖。三、舉例FPi0i0i1i12i1解：

i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN=-FP/2

FN=-FP/2

2i1i0i0i1i1FP/2FP/256M圖（FPh）BFP/42i0i13FPh/28FPh/7AChFPFP/2i0i1i1i0i1i1FP/4FP/4M=0FN=-FP/4

i0i1i1FP/4FP/457例7-6-2

作下圖示結構M圖。解:FPFP/2FP/20CBIIII2IIIlllFP/2FP/2CBIIII2IIIFPFP/2FP/2CBIIII2IIIFP00FP/2CBIII58FP/4CBIIIFP/4FP/4CBIIIFP/4FN=-FP/4FP/4CII

M圖（FPl）59§7-7支座移動和溫度改變時的計算一、支座移動時的位移法求解解題思路：1）鎖住結點，即令結點位移未知量等于零；2）令結構產生已知的支座移動，此時各桿產生固端彎矩；3）令結構分別產生結點位移，此時各桿產生桿端彎矩；4）疊加2)、3)的結果就求得各桿最終的桿端彎矩。60例7-7-1

作下圖示結構M

圖。解：()未知量。1）桿端彎矩表達式△ABCEIEIllA△BCEIEIllABCEIEIll612）建立位移法方程并求解3）作彎矩圖62在支座移動作用下，超靜定結構內力與桿件EI的絕對值成正比。M

圖ABC5.1434.286結構彎矩圖如下圖示。63二、溫度改變時的計算解題思路：1）鎖住結點，即令基本未知量等于零；2）令結構溫度變化，此時各桿產生固端彎矩；3）令結構分別產生結點位移，此時各桿產生桿端彎矩；4）疊加2)、3)的結果就求得各桿最終的桿端彎矩。對超靜定結構，溫度也是一種荷載，溫度改變引起結構內力和變形。求解思路同一般荷載。注意：2）中溫度變化引起的桿件軸向變形不能忽略！64例7-7-2作右圖示剛架M圖。解:1）未知量2）桿端彎矩表達式ABCEIEI４m４mbh=0.5mt1=30C°

t1=30C°

t2=-10C°

θB＝0、△=0時由溫度變化產生的固端彎矩；△=0時由產生的桿端彎矩；θB＝0時由△產生的桿端彎矩。123()()65桿BA伸長桿BC伸長桿BA相對側移桿BC相對側移桿伸長產生相對側移ABC△BA△BCt0=10C°

溫差產生的固端彎矩ABC△t=40C°

66由相對側移產生的固端彎矩：由桿兩側溫差產生的固端彎矩：67總的固端彎矩為桿端彎矩表達式為683）建立位移法方程并求解取隔離體，求剪力FQBA

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