機(jī)電工程學(xué)院計(jì)算方法1主要內(nèi)容數(shù)值積分的意義插值積分公式的構(gòu)造插值積分公式的精度龍貝格積分公式2在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)f(x)?有解析表達(dá)式；?f(x)的原函數(shù)F(x)為初等函數(shù)．為什么要數(shù)值積分？F(x)有解析表達(dá)式3問(wèn)題f(x)沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式

e.g.

x12345f(x)44.5688.5f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù)e.g.，它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù)。4求定積分就得通過(guò)近似計(jì)算－數(shù)值積分求得積分近似值?；舅枷?是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行近似，給出數(shù)值積分，同時(shí)考慮近似精度?？刹捎脭?shù)據(jù)插值方法獲得f(x)的近似函數(shù)5由插值節(jié)點(diǎn)決定，與f(x)無(wú)關(guān),記為Ak插值求積公式，Ak為求積系數(shù)(可事先求出)6數(shù)值積分就是將定積分計(jì)算簡(jiǎn)化為計(jì)算被積函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的線性組合。求積系數(shù)的確定以及求積公式的誤差分析成為數(shù)值積分研究的主要內(nèi)容。由插值節(jié)點(diǎn)決定，與f(x)無(wú)關(guān),記為Ak插值求積公式，Ak為求積系數(shù)(可事先求出)7用過(guò)點(diǎn)A(a,f(a))和B(b,f(b))的線段近似代替曲線y=f(x),x

[a,b].1.梯形公式:

f(x)abf(a)f(b)兩節(jié)點(diǎn)插值（一次插值）設(shè)x1為a和b的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A(a,f(a))，C(x1,f(x1))和B(b,f(b))的拋物線近似代替曲線y=f(x),x

[a,b].2.辛甫生公式:

注：Simpson公式又叫拋物線公式。三節(jié)點(diǎn)插值（拋物線插值、二次插值）8（五節(jié)點(diǎn)插值）將[a,b]分成四份，xk=a+(b-a)k/4(k=0,1,2,3,4)，類似于前面的推導(dǎo)過(guò)程，可以得到3.柯特斯公式:

Cotes公式通常求積區(qū)間[a,b]上的已知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)都>4，但高次插值公式的精度不見得就好。類似于分段低次插值的概念，我們通常使用復(fù)化的求積公式91.復(fù)化梯形公式h稱為步長(zhǎng)復(fù)化梯形公式，有時(shí)也簡(jiǎn)稱為梯形公式102.復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式113.復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式12問(wèn)題：當(dāng)區(qū)間[a,b]為多個(gè)等分段時(shí)，我們?cè)撊绾芜x用求積公式？哪一個(gè)求積公式的精度更高呢？六個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用梯形公式構(gòu)成復(fù)化梯形求積公式三個(gè)子區(qū)間分別應(yīng)用辛甫生公式構(gòu)成復(fù)化辛甫生求積公式結(jié)果會(huì)一樣嗎？13是增加子區(qū)間數(shù)，還是使用高次積分？？……例5.1：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502結(jié)論：相同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，辛甫生求積公式的精度更高14插值積分公式的截?cái)嗾`差分析插值積分公式的截?cái)嗾`差15復(fù)化來(lái)梯形級(jí)公式快的截談斷誤脹差16復(fù)化禁梯形勻公式或的截鉤斷誤衡差17類似聲地，可得巧到復(fù)酒化辛到甫生讀公式開與柯頓特斯閥公式燭的截咬斷誤呈差復(fù)化辛甫生公式復(fù)化柯特斯公式復(fù)化梯形公式似乎臣沒有照可比粒性怎么危辦？哪個(gè)須公式少的精秩度更慈高呢咬？18代數(shù)產(chǎn)精度球的概弊念定義手5.蓬1:若某盞個(gè)求職積公惕式對(duì)f(x)=xk(k=0,拒1,冊(cè)…,m)精確瓜成立遠(yuǎn)，但杯對(duì)f(x)=xm+1不精坦確成浮立，沾則稱洗此求趴積公缺式的代數(shù)踩精度為m。代入P0=押1：=代入P1=x：=代入P2=x2：如梯貞形公盲式：代數(shù)騙精度=1。19容易策驗(yàn)證取:梯形顫公式隊(duì)1競(jìng)次炸精度辛甫忌生公飽式冤3登次道精度柯特宇斯公誼式關(guān)5梯次部精度20實(shí)際燥問(wèn)題禿：1、對(duì)于f(x)在區(qū)六間[a,b]上定稠積分萄的計(jì)望算，填如何詠知道聲該劃罩分出恥多少芝個(gè)子澇區(qū)間稍才能淚得到芽精確逼解常用鹽做法篇：判斷件|T2N－TN|是否撥足夠罩小，殊即21實(shí)際閥問(wèn)題超：2、如果票已經(jīng)參計(jì)算熱出劃銀分為N個(gè)子殲區(qū)間顛時(shí)的鴨積分博值TN，并且鞭發(fā)現(xiàn)滿該計(jì)賣算結(jié)潛果不旁夠精泊確，零在計(jì)定算T2N時(shí)，拍是否姥能利制用上珍一次增的計(jì)里算結(jié)欄果TN以避太免重識(shí)復(fù)計(jì)盤算（東減少堆計(jì)算嬌工作拒量）趨呢？需要倦尋求T2N與TN之間獵的遞文推關(guān)成系22梯形坡公式列的遞扎推關(guān)腦系全區(qū)蠢間二等百份四等潤(rùn)份2k等份只計(jì)算新增節(jié)點(diǎn)給出的補(bǔ)償量前面核不是強(qiáng)說(shuō)梯馬形公系式的軍精度馬不夠擾高嗎炮？那陜豈不額是要暢多計(jì)爪算好析多節(jié)足點(diǎn)的鎮(zhèn)函數(shù)響值嗎墾？23龍貝欺格求舊積公意式突出會(huì)貢獻(xiàn)渾：給出遼了由晃低精跳度求窩積公鋒式到獨(dú)高精華度求忠積公收式轉(zhuǎn)滿換時(shí)宮的組渾合系刪數(shù)。梯形公式到辛甫生公式（m=1）T1為[a,b]上的偷直接他求積擠結(jié)果T2為[a,b]二等各份后居的求遭積結(jié)氧果T4為[a,b]四等米份后分的求綢積結(jié)復(fù)果……卡……催……傻……興……剃……脆…T2k為[a,b]幫2k等份偵后的損求積跪結(jié)果梯形支公式改的遞堆推關(guān)獎(jiǎng)系已堅(jiān)知，餓于是把遞推零的同而時(shí)又灑能提踏高積坊分精逢度24龍貝沉格求給積公嚴(yán)式突出營(yíng)貢獻(xiàn)剩：給出橋了由侄低精霜度求柄積公易式到屢高精彈度求俯積公獸式轉(zhuǎn)壯換時(shí)慌的組膀合系坦數(shù)。辛甫生公式到柯特斯公式（m=2）25龍貝袋格求乎積公的式突出焦貢獻(xiàn)錄：給出孫了由表低精穩(wěn)度求江積公鑄式到甘高精坦度求斑積公遷式轉(zhuǎn)澡換時(shí)格的組脾合系仰數(shù)?？绿仄Ｋ构允降椒妪堌愖砀窆喪剑╩=3）26龍貝繭格求酸積的輩計(jì)算城過(guò)程k區(qū)間等份數(shù)N=2k梯形公式T2k辛甫生公式S2k柯特斯公式C2k龍貝格公式R2k01